人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时学案及答案

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第1课时 三角函数式的化简与求值
【课前预习】
知识点一
1-2sin2α2 2cs2α2-1 ±1-csα2 ±1+csα2
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)当α=π时,半角的正切公式不成立.
(2)只有当-π2+2kπ≤α2≤π2+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,csα2=1+csα2成立.
(3)当csα2=-3+12时,csα2=12cs α成立.
知识点二
(1)a2+b2sin(x+φ) aa2+b2 ba2+b2 ba
(2)a2+b2cs(x-φ) ba2+b2 aa2+b2 ab
诊断分析
1.(1)√ (2)× [解析] (1)3sin x-3cs x=2332sin x-12cs x=23sin xcsπ6-cs xsinπ6=23sinx-π6.
(2)方法一:2sin θ+2cs θ=22sin θ·22+cs θ·22=22sinθ+π4.
方法二:2sin θ+2cs θ=22sin θ·22+cs θ·22=22csθ-π4.
2.解:公式asin x+bcs x=a2+b2sin(x+φ)中的角φ是由a,b决定的,且sin φ=ba2+b2,cs φ=aa2+b2.当x∈R时,y=asin x+bcs x的最大值为a2+b2,最小值为-a2+b2.
【课中探究】
探究点一
例1 解:∵θ∈5π2,3π,且sin θ=45,
∴cs θ=-35,θ2∈5π4,3π2,
∴sin θ2=-1+352=-255,
cs θ2=-1-352=-55,∴tan θ2=sinθ2csθ2=2.
变式 (1)D (2)76565 [解析] (1)∵5π<θ<6π,∴θ4∈5π4,3π2.又csθ2=m,∴sinθ4=-1-csθ22=-1-m2.
(2)因为α为钝角,β为锐角,sin α=45,sin β=1213,所以cs α=-35,cs β=513,所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=-35×513+45×1213=3365.因为π2<α<π且0<β<π2,所以0<α-β<π,即0<α-β2<π2,所以csα-β2= 1+cs(α-β)2=1+33652=76565.
(3)解:方法一:∵180°<θ<270°,∴90°<θ2<135°,即θ2是第二象限角,∴tanθ2<0,∴tanθ2=-1-csθ1+csθ=-1-(-35)1+(-35)=-2.
方法二:∵180°<θ<270°,∴θ是第三象限角,∴sin θ=-1-cs2θ=-1-925=-45,∴tanθ2=1-csθsinθ=1-(-35)-45=-2.
例2 解:原式=(2cs2α2+2sinα2csα2)(sinα2-csα2)2×2cs2α2=2csα2(csα2+sinα2)(sinα2-csα2)2csα2=csα2(-csα)csα2.
∵180°<α<360°,∴90°<α2<180°,∴csα2<0,∴原式=csα2(-csα)-csα2=cs α.
变式 解:∵α∈3π2,2π,∴α2∈3π4,π,∴cs α>0,cs α2<0,
故原式=12+12cs2α=12+12csα=cs2α2=csα2=-csα2.
探究点二
探索 2sinα±π4 2sinα±π3 2sinπ6±α
例3 (1)D (2)1 xx=2kπ+π6,k∈Z (3)π [-1,2] [解析] (1)∵f(x)=1+3·sinxcsxcs x=cs x+3sin x=2sinx+π6,∴fπ12=2sinπ12+π6=2sinπ4=2.
(2)f(x)=12sin x+32cs x=sinx+π3,则当sinx+π3=1时,函数f(x)取得最大值1,此时x+π3=2kπ+π2,k∈Z,即x=2kπ+π6,k∈Z,即f(x)取到最大值时x的集合为xx=2kπ+π6,k∈Z.
(3)f(x)=2cs2x+23sin xcs x-1=3sin 2x+cs 2x=2sin2x+π6,所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.因为x∈0,π2,所以2x+π6∈π6,7π6,则-12≤sin2x+π6≤1,故f(x)∈[-1,2].
变式 (1)C (2)-π6 (3)22+12 π2 [解析] (1)∵f(x)=sin x+acs x=1+a2sin(x+φ),其中tan φ=a,∴f(x)max=1+a2,依题意f π4=22+22a=1+a2,解得a=1.
(2)因为3sin x-3cs x=2332sin x-12cs x=23sinx-π6,φ∈(-π,π),所以φ=-π6.
(3)y=cs 2x(sin 2x+cs 2x)=sin 2xcs 2x+cs22x=12sin 4x+1+cs4x2=12sin 4x+12cs 4x+12=22sin 4x·csπ4+cs 4x·sinπ4+12=22sin4x+π4+12,所以函数的最大值为22+12,最小正周期为π2.
【课堂评价】
1.A [解析] sinπ12csπ12=12sinπ6=14,故选A.
2.D [解析] 1-cs2αsin2α=2sin2α2sinαcsα=sinαcsα=tan α.
3.D [解析] f(x)=sin2x-12=1-cs2x2-12=-12cs 2x,∴函数f(x)是最小正周期为π的偶函数.
4.A [解析] ∵csα1+sinα·csαsinα-1=cs2αsin2α-1=1-sin2αsin2α-1=-1,且csα1+sinα=-3,∴csαsinα-1=33.
5.[0,3] [解析] y=-3sin x+cs x=2sinπ6-x,∵-π6≤x≤π6,∴0≤π6-x≤π3,∴0≤y≤3.
6.π6 [解析] f(x)=sin x+3cs x=212sin x+32cs x=2sinx+π3,因为f(θ)=2,θ为锐角,所以2sinθ+π3=2,解得θ=π6.