高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

　参考答案

第一章　集合与常用逻辑用语

1.1　集合的概念

【课前预习】

知识点一

1.元素　组成的总体

2.元素

4.属于　a∈A　a不是集合A的元素　a∉A

5.N　N*　N+　Z　Q　R

6.确定性　互异性

诊断分析

1.(1) ×　(2) √　(3)√　[解析] (1)“中国著名的科学家”是不确定的,不能组成集合.

(2)“2022年参加北京冬奥会短道速滑的运动员”是确定的,有一个明确的标准,可以组成集合.

(3)任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”,即“0≤x≤2019”与“x<0或x>2019”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过2019的非负数”能组成一个集合.

2.解:(1)因为集合A是由2021级高一年级8个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素.

(2)a,b是高一年级8个班中两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班.

知识点二

1.花括号“{　}”

2.共同　{x∈A|P(x)}　{x∈A:P(x)}　{x∈A;P(x)}

诊断分析

1.(1)×　(2)√　[解析] (1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根为-2,1,可以用列举法表示为{-2,1},还可以用描述法表示为{x|(x-1)(x+2)=0},所以(1)错误.

(2)由抛物线y=x2+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2+4,x∈N},(2)正确.

2.解:(1)表示同一个集合.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示-1到2之间的实数,所以它们表示同一个集合.

(2)不表示同一个集合.因为集合{y|y=x-1}是数集,集合{(x,y)|y=x-1}是点集,所以它们不表示同一个集合.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)集合中的元素需满足三个要素:确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”是不确定的,故接近于0的数不能组成集合,故选C.

(2)D中的对象都是确定的,而且是不同的,因此D中对象可以组成集合.A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A,B,C中的对象都不能组成集合.

例2　(1)C　(2)①②　[解析] (1)是实数,是无理数,|-3|=3是自然数,|-|是无理数,0是自然数,3是正整数,故①②⑥正确,③④⑤不正确,故选C.

(2)2-中,m=2,n=-1,符合条件;5=5+×0中,m=5,n=0,符合条件;==-中,m=,n=-,不符合条件;+1中,m=1,n=,不符合条件.故属于集合A的数的序号是①②.

变式　(1)②③　[解析] 能被2整除的数不一定能被3整除,能被6整除的数一定能被3整除,能被-3整除的数一定能被3整除,能被5整除的数不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③.

(2)解:①∵3×(-1)+2=-1<0,∴-1不是集合M中的元素,即-1∉M.

又3×0+2=2>0,∴0是集合M中的元素,即0∈M.

②∵a-1∈M,∴3(a-1)+2>0,∴3a>1,∴a>.

拓展　-2,,,3　[解析] 由3∈M,得=-2∈M;由-2∈M,得=∈M;由∈M,得=∈M;由∈M,得=3∈M.所以M中必含有的元素是-2,,,3.

探究点二

例3　解:∵A与B中的元素相同,∴或解得x=±1.

x=1时,不符合集合元素的互异性,∴x=-1.

变式　AC　[解析] 由题意得,2=3x2+3x-4或2=x2+x-4.若2=3x2+3x-4,即x2+x-2=0,则x=-2或x=1,当x=-2时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当x=1时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去.若2=x2+x-4, 即x2+x-6=0,则x=2或x=-3,经验证x=2或x=-3为满足条件的实数x.故选AC.

探究点三

探索 解:能.(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药.(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.

例4　解:(1) 15的正约数组成的集合为{1,3,5,15}.

(2)方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的所有实数解组成的集合为{0,1}.

(3)由解得即两直线的交点为(1,1),

故所求集合用列举法表示为{(1,1)}.

变式　(1)B　[解析] 集合A={(4,2),(1,3)}中有两个元素(4,2)和(1,3),故选B.

(2)解:当x1=1时,x2可以取1或2,则x1+x2=2或3;

当x1=2时,x2可以取1或2,则x1+x2=3或4;

当x1=3时,x2可以取1或2,则x1+x2=4或5.

∴A*B={2,3,4,5}.

探索 解:(1)不能.(2)利用描述法.

例5　解:(1)函数值组成的集合就是y的取值集合,所以A={y|y=x2+1,x∈R}.

(2)设被3除余2的正整数为x,则x=3n+2,n∈N,所以B={x|x=3n+2,n∈N}.

(3)正奇数x可用式子x=2n-1,n∈N*表示,所以C={x|x=2n-1,n∈N*}.

变式　解:(1)用描述法表示为{x|2<x<5,且x∈Q}.

(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.

(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.

拓展　BC　[解析] 对于方程(a2-1)x2+(a+1)x+1=0,当a2-1=0,即a2=1时,解得a=±1,当a=1时,代入方程解得x=-,满足题意;当a=-1时,方程无解,不满足题意;当a2-1≠0,即a≠±1时,由Δ=(a+1)2-4(a2-1)=0,整理可得(3a-5)(a+1)=0,得a=,满足题意.故选BC.

【课堂评价】

1.C　[解析] ∵A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.

2.A　[解析] ∵x∈N,且x<5,∴x的值为0,1,2,3,4,故集合用列举法表示为{0,1,2,3,4}.

3.B　[解析] 由阴影知,-2≤x≤0且-2≤y≤0,∴{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}表示题图中阴影部分的点的坐标的集合,故选B.

4.ACD　[解析] 根据集合的概念可知“函数y=2x(x∈{1,2,3})的函数值”“河北省参加2021年高考报名的学生”“小于0的实数”能够组成一个集合.故选ACD.

5.2　[解析] 因为a∈{1,a2-2a+2},所以a=1或a=a2-2a+2.当a=1时,a2-2a+2=1,与集合元素的互异性矛盾,舍去;当a≠1,且a=a2-2a+2时,可得a=2.