高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念学案

第一章　集合与常用逻辑用语

第1节　集合的概念

1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.

2.掌握集合的三种表示方法，常用数集及其专用符号,集合的三个基本特征.

1.集合的含义与表示方法，元素与集合的关系；

2.选择恰当的方法表示一些简单的集合

一、集合的基本概念

1．元素与集合的概念

(1)把                      统称为          ，通常用          ________表示．

(2)把                              叫做      (简称为集)，通常用     ______ 表示．

2．集合中元素三个特征：              、____________、___________

3、集合相等_____________________________________________________

4．元素与集合的关系：

(1)如果a.是集合A的元素，就说a      A

(2)如果a不是集合A的元素，就说a       A

5．常用的数集及其符号表示：

非负整数集（自然数集）____________________________记作__________

正整数集__________________________________________记作__________

整数集____________________________________________记作__________

有理数集__________________________________________记作_________ 

实数集____________________________________________记作__________

二、集合的表示方法

1、列举法：将集合的元素             出来，并置于花括号“{__}”内．元素之间要用        分隔，列举时与                无关．

2．描述法：将集合的所有元素                      表示出来，写成{x|φ(x)}的形式

探究一、集合的含义

1.考察下列问题：

（1）（1）1～20以内的所有偶数；

（2）立德中学今年入学的全体高一学生；

（3）所有正方形；

（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;

（5）方程的所有实数根；

（6）地球上的四大洋。

思考:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？

探究二、集合中元素的性质

1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？

2. 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5 个元素，这种说法正确吗？

3. 高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？

归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？

练习1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:

 (1) 大于3小于11的偶数;      (2) 我国的小河流.

探究三：元素和集合的关系

1..元素与集合的“属于”关系

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a___A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a___A.

2、常用数集及其记法：非负整数（自然数集）      、正整数集      、整数集      、有理数集       、实数集          .

练习2. 用符号“∈”或“∉”填空.

(1)2___N；(2)_____Q；(3)0___{0}；(4)b_____{a,b,c}；(5) 0______N＋.

例1已知集合A是由三个元素a－2，2a2＋5a，12组成的，且－3∈A，求a.

探究四、 集合的表示方法

1.列举法

思考：地球上的四大洋组成的集合如何表示？

问题：你能总结归纳出列举法的概念吗？

例2 用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）          方程x2=x的所有实数根组成的集合.

2.描述法

思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？

思考：所有奇数的集合，偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？

问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？

例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？

1．下列对象不能构成集合的是(　　)

①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．　　　　　　

A．①②     B．②③    C．①②③     D．①③

2．下列三个关系式：①∈R；②∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．0

3.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)

A．矩形    B．平行四边形    C．菱形     D．梯形

4.设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.

5．用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组的解集；

(2)所有的正方形；

(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

二、探究二 1.不能. 其中的元素不确定    集合中的元素是确定的

2.不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .集合中的元素是互异的

练习1.（1）是由4,6,8,10四个元素组成的集合.

        （2）由集合元素的确定性知其不能组成集合.

练习2.(1)  ∈  (2)  ∉ （3）∈ （4）∈ (5) ∉

例1.          解：

当 此时不满足元素的互异性，故舍去。

当或，经检验满足互异性。

所以。

例2.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

    （2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.  

例3.解：(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.

方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}.

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为

B={x∈Z∣10<x<20}.

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

思考：自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.

达标检测

1.【解析】　研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.

【答案】　D

2.【解析】　①正确；②因为∈Q，错误；③0∈Z，正确．

【答案】　B

3.【解析】　由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.

【答案】　D

4.【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，

∴a＝－4，

∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．

【答案】　{－1,4}

5.【解】　(1)解方程组得

故解集为{(4，－2)}．

(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．

(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．