人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念导学案

【新教材】1.1 集合的概念 学案

（人教A版）

1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．

2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．

3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。

1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；

3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；

4. 数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；

5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．

难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．

一、   预习导入

阅读课本2-5页，填写。

1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把__________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为_______)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：只要构成两个集合的_______是一样的，就称这两个集合是相等的．

(4)元素的特性：_________、__________ 、___________．

2．元素与集合的关系

3．常用的数集及其记法

4．列举法

把集合的元素_____________，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．

5．描述法

(1)定义：用集合所含元素的___________表示集合的方法．

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__________及____________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)你班所有的姓氏能组成集合． (　　)

(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．(　　)

(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　)

(4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(　　)

(5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　)

(6)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)

2．下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)

A．0∈N　　　　　　　　 B．π∈Q

C.∈Q   D．－1∉Z

3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是(　　)

A．0   B．1

C．－1   D．0或1

4．方程组的解集是(　　)

A．(－1,2)　　　　　　　 　B．(1，－2)

C．{(－1,2)}   D．{(1，－2)}

5．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为(　　)

A．{0,1,2,3,4}　　　　　　 　B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5}   D．{1,2,3,4,5}

6．不等式4x－5<7的解集为________．

例1　考查下列每组对象，能构成一个集合的是(　　)

①某校高一年级成绩优秀的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．

A．③④　　 B．②③④     C．②③    D．②④

例2　(1)下列关系中，正确的有       (　　)

①∈R；② ∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.

A．1个     B．2个    C．3个   D．4个

(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

例3　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．

变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．

变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．

例4　用列举法表示下列集合．

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；

(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．

例5　用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整数的集合；

(2)坐标平面内第一象限的点的集合；

(3)大于4的所有偶数．

例6　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝                                (　　)

A．1   B．2         C．0        D．0或1

(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．

例7　用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．

变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？

变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？

1．下列说法正确的是(　　)

A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合

B．由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等

C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素

2．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　)

A．3∈A　　　　　　　 　B．1∈A

C．0∈A   D．－1∉A

3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　)

A．2   B．2或4

C．4   D．0

4．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)

A．0∈M   B．－1∈M

C．3∉M   D．1∈M

5．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)

A．2∈A，且2∈B

B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B

C．2∈A，且(3,10)∈B

D．(3,10)∈A，且2∈B

6．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是(　　)

A．6个   B．7个

C．8个   D．9个

7．下列说法中：

①集合N与集合N＋是同一个集合；

②集合N中的元素都是集合Z中的元素；

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；

④集合Q中的元素都是集合R中的元素．

其中正确的有________(填序号)．

8．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．

9．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

答案

小试牛刀

1．答案：(1)√　(2)×　(3)×  (4)×　(5)×　(6)√

2-5．AACB      6．{x|4x－5<7}

自主探究

例1   B

例2   (1) C   (2) 0,1,2

例3  a＝－1.

变式1． a＝2，或a＝，或a＝－.

变式2． a≠0且a≠1.

变式3． a＝0.

例4　(1) {0,2,4,6,8,10}．(2) {0,1，－1}． (3) {(0,1)}．

例5　 (1) {x|x＝3n＋1，n∈N}．(2) {(x，y)|x＞0，y＞0}．(3) {x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．

例6　　(1) D　(2)

例7　 {(x，y)|y＝x2＋1}．

变式1

解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．

变式2

解：集合{ y| y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{ y| y＝x2＋1}＝{ y| y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．

当堂检测

1-6． CCBBCA　    7．②④

8．{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}

9．解：当a＝0时，A＝；

当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，

所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.

故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.