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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题公开课课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题公开课课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1. 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
一、全称量词与全称量词命题 1.全称量词（1）定义：“所有”“任意” “每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词.（2）符号表示：.【注意】（1）常见的全称量词还有“一切”“凡是”“任给”等.（2）全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定.
【提示】1.并不是所有的“所有”“任意”等词语都是量词，只有表示数量范围时这些词才是量词.2.从集合的观点看，全称量词命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.3.一个全称量词命题可以包含多个变量.如“x∈R， y∈R，x2+ y2≥0”.
2.全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题称为全称量词命题.（2）一般形式：“对集合M中的所有元素x，p（x）”.（3）符号表示：x∈M，p（x）.其中，M为给定的集合，p（x） 是一个关于x的语句.
【注意】全称量词命题都含有全称量词，但有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要先把全称量词补充出来.例如，命题“正方形都是平行四边形”应为“所有正方形都是平行四边形”.
【归纳】全称量词命题的常用表示形式（1）所有的 x∈M，r（x）；（2）对一切x∈M，r（x）；（3）对每一个x∈M，r（x）；（4）任选一个x∈M，r（x）；（5）任意x∈M，r（x）.
示例 ［多选题］下列命题是全称量词命题的是（ ）A.任何实数都有立方根B.所有的质数都是奇数C.有的平行四边形是矩形D.三角形的内角和是180°
【解析】A，B选项中的命题含有全称量词，而D选项中的命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题.
3.全称量词命题的真假判断（1）要判定一个全称量词命题“x∈M，p（x）”为真，必须对给定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；（2）要判定一个全称量词命题“x∈M，p（x）”为假，只要在给定的出集合M中找到一个元素x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
示例 判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的整数都是有理数；（2）x∈R，x2+1≥1；（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；（4）末位是0的整数，可以被5整除.
【点拨】要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行逻辑推理证明，或用已经学过的定义、定理进行证明；要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.举反例时一般要考虑问题的特殊情况、特殊数值等，这些特别的情况可能不具备某些性质.
二、存在量词与存在量词命题 1.存在量词（1）定义：“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词.（2）符号表示：.【提示】常见的存在量词还有“有些”“某一个”“某些”等.
【提示】1.不是所有的“存在”“有的”等词语都是量词，只有表示数量范围时这些词才是量词.如：有些四边形存在外接圆，其中“存在”一词就不是量词.2.从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.3.一个存在量词命题可包含多个变量，如“a，b∈R，使（a+b）2＝（a-b）2”.4.含有存在量词的命题，不管包含的程度多大，都是存在量词命题.
2.存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题称为存在量词命题.（2）一般形式：“存在集合M中的元素x，p（x）”.（3）符号表示：x∈M，p（x）.其中，M为给定的集合，p（x） 是一个关于x的语句.【注意】含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.如：命题“一元二次方程ax2+2x+1＝0有实数解”（可写为“存在x∈R，使ax2+2x+1＝0”）.
全称量词命题与存在量词命题的区别（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内的所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体”“全部”.（2）存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的部分对象具有某一性质，强调“个别”“部分”.
示例 下列命题中，存在量词命题有 （填序号）.①至少有一个偶数是质数； ②x∈R，x2-1>0； ③有的平行四边形是菱形.
【解析】①中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号 “”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词 “有的”，所以是存在量词命题.
【点评】存在量词命题的常用表示形式：（1）存在 x∈M，s（x）；（2）至少有一个x∈M，s（x）；（3）对有些x∈M，s（x）；（4）对某个x∈M，s（x）；（5）有一个x∈M，s（x）.
3.存在量词命题的真假判断（1）要判定一个存在量词命题“x∈M，p（x）”是真命题，只需在限定集合M中找到一个x，能使p（x）成立即可；（2）要判定一个存在量词命题“x∈M，p（x）”是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，都证明p（x）不成立.
示例 判断下列存在量词命题的真假：（1）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；（2）x∈Q，x2＝3；（3）x∈Z，x3<1；（4）存在正实数x，y，使x2+y2＝0.
【点拨】判断一个存在量词命题是否为真命题时要重点关注有还是没有，而不要关注有几个，考察相关元素时，要注意特殊元素，看其是否满足相关性质.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定 1.命题的否定（1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.（2）命题的否定与原命题的真假性的关系
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
【注意】对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，千万不要直接将否定写成“是”或“不是”.一般要先改写为含全称量词的命题的形式，再写出命题的否定.
【知识拓展】“一般命题的否定”与“全称量词命题和存在量词命题的否定”的区别与联系（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题.（2）全称量词命题和存在量词命题的否定要在否定结论p（x）的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.（3）与一般命题的否定相同，全称量词命题和存在量词命题的否定的关键也是对关键词的否定.因此，对全称量词命题和存在量词命题的否定，应根据命题所叙述的对象的特征，挖掘其中的量词.全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反；存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反.
3.常见量词的否定
一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：
4.命题的否定与集合运算的关系 （1）已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题p的否定对应的集合为綂UP＝{x|x∈U，且xP}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定.（2）已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈綂UP”；若“命题p的否定是真命题”对应“a∈綂UP”，则“命题p的否定是假命题”对应“a∈P”.
示例 写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）不论m取何实数，方程x2+x-m＝0必有实数根；（2）存在一个实数x，使得|x|≤0；（3）等圆的面积相等，周长也相等；（4）能被4整除的整数一定是偶数.
【解题技巧】 （1）否定存在量词命题时，先将存在量词变为全称量词，再否定它的性质.（2）否定全称量词命题时，先将全称量词变为存在量词，再否定它的性质.（3）一般而言，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，全称量词命题的否定是一个存在量词命题，因此在书写它们的否定时，应注意量词间的转换，同时还要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质.例如“矩形有一个外接圆”的本质应为“所有矩形都有一个外接圆”.这是为了语言的简练，把“所有”省略了.
一、全称量词命题、存在量词命题的真假判断例 1 判断下列命题的真假：（1）存在一个四边形不是平行四边形；（2）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；（3）x∈N，x2>0.（4）至少有一个集合A，满足A{1，2，3}.
【解】（1）真命题，如梯形不是平行四边形.（2）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.（3）因为0∈N，02＝0，所以命题“x∈N，x2>0”是假命题.（4）若A＝{3}，则A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.
二、全称量词命题与存在量词命题的否定1.含有一个量词的命题的否定例 2 （1）若命题p：x∈R，x2+2x+2≤0，则命题p的否定是（ ）A.x∈R，x2+2x+2>0B.x∈R，x2+2x+2<0C.x∈R，x2+2x+2≥0D.x∈R，x2+2x+2≥0（2）命题q：x∈R，x3>x2的否定形式为（ ）A.x∈R，x3
【分析】 改换对应量词，否定对应结论.【解】（1）命题p的否定为x∈R，x2+2x+2>0，故选A .（2）命题q的否定为x∈R，x3≤x2，故选C.
2.命题的否定的真假判断例 3 命题“x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是 （填“真”或“假”）命题.
【方法总结】判断命题的否定的真假的方法1.命题与它的否定的真假情况为一真一假或一假一真.2.判断命题的否定的真假，可以直接判断，也可转化为判断原命题的真假.
【分析】一个命题和它的否定一真一假（或一假一真），只需判断容易得出结论的一个即可.【解】因为当x＝-1时，（-1）2+2×（-1）+1＝0，所以命题“x∈R，x2+2x+1＝0”为真命题，所以该命题的否定“x∈R，x2+2x+1≠0”为假命题.
例 4 写出命题“不论m取何实数，方程x2+x-m＝0必有实数根”的否定，并判断其真假.
三、含有量词的命题的求参问题例 5 已知a∈R，命题p：x∈ {x|1≤x≤2}，a≤x2；命题q：x∈R，x2+2ax-（a-2）＝0.（1）若p是真命题，求a的最大值；（2）若p，q中一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围.
1. 下列命题的否定是真命题的是（ ）A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D. 3是方程x2-9＝0的一个根2. 命题“x∈R，n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）A.x∈R，n∈N*，使得n0，a2+b2+2ab＝（a+b）2C.a>0，b>0，a2+b2+2ab＝（a+b）2D.a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
7. 选择合适的量词（或），加在下列各个语句的前面，使其成为一个真命题.（1）x>2；（2）x2≥0；（3）x是偶数；（4）若x是无理数，则x2是无理数；（5）a2+b2＝c2.
解：（1）x∈R，x>2.（2）x∈R，x2≥0（或x∈R，x2≥0）.（3）x∈Z，x是偶数.（4）x∈R，若x是无理数，则x2是无理数.（5）a，b，c∈R，a2+b2＝c2.
1. 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
一、全称量词与全称量词命题 1.全称量词（1）定义：“所有”“任意” “每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词.（2）符号表示：.【注意】（1）常见的全称量词还有“一切”“凡是”“任给”等.（2）全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定.
【提示】1.并不是所有的“所有”“任意”等词语都是量词，只有表示数量范围时这些词才是量词.2.从集合的观点看，全称量词命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.3.一个全称量词命题可以包含多个变量.如“x∈R， y∈R，x2+ y2≥0”.
2.全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题称为全称量词命题.（2）一般形式：“对集合M中的所有元素x，p（x）”.（3）符号表示：x∈M，p（x）.其中，M为给定的集合，p（x） 是一个关于x的语句.
【注意】全称量词命题都含有全称量词，但有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要先把全称量词补充出来.例如，命题“正方形都是平行四边形”应为“所有正方形都是平行四边形”.
【归纳】全称量词命题的常用表示形式（1）所有的 x∈M，r（x）；（2）对一切x∈M，r（x）；（3）对每一个x∈M，r（x）；（4）任选一个x∈M，r（x）；（5）任意x∈M，r（x）.
示例 ［多选题］下列命题是全称量词命题的是（ ）A.任何实数都有立方根B.所有的质数都是奇数C.有的平行四边形是矩形D.三角形的内角和是180°
【解析】A，B选项中的命题含有全称量词，而D选项中的命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题.
3.全称量词命题的真假判断（1）要判定一个全称量词命题“x∈M，p（x）”为真，必须对给定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；（2）要判定一个全称量词命题“x∈M，p（x）”为假，只要在给定的出集合M中找到一个元素x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
示例 判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的整数都是有理数；（2）x∈R，x2+1≥1；（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；（4）末位是0的整数，可以被5整除.
【点拨】要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行逻辑推理证明，或用已经学过的定义、定理进行证明；要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.举反例时一般要考虑问题的特殊情况、特殊数值等，这些特别的情况可能不具备某些性质.
二、存在量词与存在量词命题 1.存在量词（1）定义：“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词.（2）符号表示：.【提示】常见的存在量词还有“有些”“某一个”“某些”等.
【提示】1.不是所有的“存在”“有的”等词语都是量词，只有表示数量范围时这些词才是量词.如：有些四边形存在外接圆，其中“存在”一词就不是量词.2.从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.3.一个存在量词命题可包含多个变量，如“a，b∈R，使（a+b）2＝（a-b）2”.4.含有存在量词的命题，不管包含的程度多大，都是存在量词命题.
2.存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题称为存在量词命题.（2）一般形式：“存在集合M中的元素x，p（x）”.（3）符号表示：x∈M，p（x）.其中，M为给定的集合，p（x） 是一个关于x的语句.【注意】含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.如：命题“一元二次方程ax2+2x+1＝0有实数解”（可写为“存在x∈R，使ax2+2x+1＝0”）.
全称量词命题与存在量词命题的区别（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内的所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体”“全部”.（2）存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的部分对象具有某一性质，强调“个别”“部分”.
示例 下列命题中，存在量词命题有 （填序号）.①至少有一个偶数是质数； ②x∈R，x2-1>0； ③有的平行四边形是菱形.
【解析】①中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号 “”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词 “有的”，所以是存在量词命题.
【点评】存在量词命题的常用表示形式：（1）存在 x∈M，s（x）；（2）至少有一个x∈M，s（x）；（3）对有些x∈M，s（x）；（4）对某个x∈M，s（x）；（5）有一个x∈M，s（x）.
3.存在量词命题的真假判断（1）要判定一个存在量词命题“x∈M，p（x）”是真命题，只需在限定集合M中找到一个x，能使p（x）成立即可；（2）要判定一个存在量词命题“x∈M，p（x）”是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，都证明p（x）不成立.
示例 判断下列存在量词命题的真假：（1）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；（2）x∈Q，x2＝3；（3）x∈Z，x3<1；（4）存在正实数x，y，使x2+y2＝0.
【点拨】判断一个存在量词命题是否为真命题时要重点关注有还是没有，而不要关注有几个，考察相关元素时，要注意特殊元素，看其是否满足相关性质.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定 1.命题的否定（1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.（2）命题的否定与原命题的真假性的关系
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
【注意】对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，千万不要直接将否定写成“是”或“不是”.一般要先改写为含全称量词的命题的形式，再写出命题的否定.
【知识拓展】“一般命题的否定”与“全称量词命题和存在量词命题的否定”的区别与联系（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题.（2）全称量词命题和存在量词命题的否定要在否定结论p（x）的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.（3）与一般命题的否定相同，全称量词命题和存在量词命题的否定的关键也是对关键词的否定.因此，对全称量词命题和存在量词命题的否定，应根据命题所叙述的对象的特征，挖掘其中的量词.全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反；存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反.
3.常见量词的否定
一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：
4.命题的否定与集合运算的关系 （1）已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题p的否定对应的集合为綂UP＝{x|x∈U，且xP}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定.（2）已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈綂UP”；若“命题p的否定是真命题”对应“a∈綂UP”，则“命题p的否定是假命题”对应“a∈P”.
示例 写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）不论m取何实数，方程x2+x-m＝0必有实数根；（2）存在一个实数x，使得|x|≤0；（3）等圆的面积相等，周长也相等；（4）能被4整除的整数一定是偶数.
【解题技巧】 （1）否定存在量词命题时，先将存在量词变为全称量词，再否定它的性质.（2）否定全称量词命题时，先将全称量词变为存在量词，再否定它的性质.（3）一般而言，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，全称量词命题的否定是一个存在量词命题，因此在书写它们的否定时，应注意量词间的转换，同时还要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质.例如“矩形有一个外接圆”的本质应为“所有矩形都有一个外接圆”.这是为了语言的简练，把“所有”省略了.
一、全称量词命题、存在量词命题的真假判断例 1 判断下列命题的真假：（1）存在一个四边形不是平行四边形；（2）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；（3）x∈N，x2>0.（4）至少有一个集合A，满足A{1，2，3}.
【解】（1）真命题，如梯形不是平行四边形.（2）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.（3）因为0∈N，02＝0，所以命题“x∈N，x2>0”是假命题.（4）若A＝{3}，则A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.
二、全称量词命题与存在量词命题的否定1.含有一个量词的命题的否定例 2 （1）若命题p：x∈R，x2+2x+2≤0，则命题p的否定是（ ）A.x∈R，x2+2x+2>0B.x∈R，x2+2x+2<0C.x∈R，x2+2x+2≥0D.x∈R，x2+2x+2≥0（2）命题q：x∈R，x3>x2的否定形式为（ ）A.x∈R，x3
【分析】 改换对应量词，否定对应结论.【解】（1）命题p的否定为x∈R，x2+2x+2>0，故选A .（2）命题q的否定为x∈R，x3≤x2，故选C.
2.命题的否定的真假判断例 3 命题“x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是 （填“真”或“假”）命题.
【方法总结】判断命题的否定的真假的方法1.命题与它的否定的真假情况为一真一假或一假一真.2.判断命题的否定的真假，可以直接判断，也可转化为判断原命题的真假.
【分析】一个命题和它的否定一真一假（或一假一真），只需判断容易得出结论的一个即可.【解】因为当x＝-1时，（-1）2+2×（-1）+1＝0，所以命题“x∈R，x2+2x+1＝0”为真命题，所以该命题的否定“x∈R，x2+2x+1≠0”为假命题.
例 4 写出命题“不论m取何实数，方程x2+x-m＝0必有实数根”的否定，并判断其真假.
三、含有量词的命题的求参问题例 5 已知a∈R，命题p：x∈ {x|1≤x≤2}，a≤x2；命题q：x∈R，x2+2ax-（a-2）＝0.（1）若p是真命题，求a的最大值；（2）若p，q中一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围.
1. 下列命题的否定是真命题的是（ ）A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D. 3是方程x2-9＝0的一个根2. 命题“x∈R，n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）A.x∈R，n∈N*，使得n
7. 选择合适的量词（或），加在下列各个语句的前面，使其成为一个真命题.（1）x>2；（2）x2≥0；（3）x是偶数；（4）若x是无理数，则x2是无理数；（5）a2+b2＝c2.
解：（1）x∈R，x>2.（2）x∈R，x2≥0（或x∈R，x2≥0）.（3）x∈Z，x是偶数.（4）x∈R，若x是无理数，则x2是无理数.（5）a，b，c∈R，a2+b2＝c2.
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