高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程同步训练题

2.1 椭圆

一、   概念练习

1.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则面积的最大值为().

A.9 B.12 C.15 D.20

2.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为()

A. B. C. D.

3.已知椭圆的离心率为，，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为(   )

A. B. C. D.

4.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

5.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且是直角三角形，则的面积为()

A. B. C.或8 D.或8

二、能力提升

6.设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆C的离心率为()

A. B. C. D.

7.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是()

A.6 B.7 C.8 D.9

8.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为()

A. B. C. D.

9.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于点C.若，则该椭圆的离心率为()

A. B. C. D.

10.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数(   )

A.2 B.8 C. D.

11.若椭圆的离心率是，则_____________.

12.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________.

13.已知分别为椭圆的左右焦点,P为椭圆上一点,,的外接圆半径和内切圆半径分别为,若,则椭圆的离心率为_________.

14.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值.

15.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.

（1）求椭圆C的标准方程

（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题意可知，，即，因为，所以，即，.

当P为椭圆C的短轴的端点时，的面积取最大值，面积为.

2.答案：D

解析：由题意可知点，，，则直线AP的方程为.由为等腰三角形，，得，则点，代入直线AP的方程，整理得，则椭圆C的离心率.

3.答案：B

解析：依题意得，，，所以，，，故，又C的离心率，所以，，，即C的方程为，故选B.

4.答案：A

解析：解法一：设，则，易知，所以（*）.因为点P在椭圆C上，所以，得，代入（*）式，得，结合，得，所以.故选A.

解法二：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以，所以，所以.故选A.

5.答案：B

解析：由题意得，，

，

设椭圆的上顶点为B，由得，

，

因此或.

当时，，

，

，同理，当时，.

故选B.

6.答案：A

解析：设点P的横坐标为x，，

线段的中点在y轴上，

，.

与的横坐标相等，轴.

，，

，，

，

，.故选A.

7.答案：C

解析：设椭圆C的标准方程为.

依题意得，，，又，

，即，

因此椭圆的短轴长是，故选C.

8.答案：B

解析：若椭圆上存在点P，使得，

则以原点为圆心，为直径的圆与椭圆必有交点，

所以，即，即，又，

所以.

9.答案：A

解析：在中，令，得，

.

令，得，，设，则，，由得解得

由A在椭圆上，得，

，故选A.

10.答案：B

解析：由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得.故选B.

11.答案：或6

解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，则有，，由题意得，解得.

②当椭圆的焦点在y轴上时，则有，，

由题意得，解得.

综上，或.

12.答案：

解析：不妨设焦点在x轴上，则椭圆的方程为，焦点分别为、，如图所示.

若点M满足，则，可得点M在以为直径的圆上运动，

满足的点M总在椭圆内部，

以为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即圆的半径小于椭圆的短半轴长.

由此可得，即，解得.

因此椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是.

13.答案：

解析：设,则,依题意可知,

即,在中,由余弦定理可知,得,得,故,即.

又,

因此,得.

14.答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）-4

解析：（Ⅰ）依题意可知，
得，故椭圆E的方程为.

（Ⅱ）由题可知直线BC的方程为，
设，，
联立直线BC和椭圆E的方程，得，
整理得，
，，
由得，
易知直线AB的斜率，
直线AB的方程为，

令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标.





，得.

故k的值为-4.

15.答案：(1)标准方程为.

(2)过定点.

解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，

，

四边形OMPN的周长为，

，

，

，

椭圆C的标准方程为.

(2)设，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入，整理得，

则，

.

易知，

，

化简得，

或(舍去)，

直线l的方程为，即，直线l过定点.

当直线l的斜率不存在时，设，

代入，解得，

由得，

，解得或(舍去)，

此时直线l过点.

综上，直线l过定点.