高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质课后练习题

1.2　椭圆的简单几何性质

1.已知直线2x+y-2=0经过椭圆=1(a>b>0)的上顶点与右焦点,则椭圆的方程为(　　).

A.=1 B.+y2=1

C.=1 D.=1

解析:直线2x+y-2=0与坐标轴的交点坐标为(1,0),(0,2),由题意得c=1,b=2,所以a=.

所以椭圆的方程为=1.故选A.

答案:A

2.(多选题)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是(　　).

A.|PF1|+|PF2|=2

B.离心率e=

C.△PF1F2面积的最大值为

D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切

解析:对于A,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2,故A正确;

对于B,由椭圆方程知a=,b=1,c=1,所以离心率e=,故B错误;

对于C,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆的短轴端点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为·2c·b=c·b=1,故C错误;

对于D,以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-=0的距离为=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切,故D正确.

答案:AD

3.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是(　　).

A. B. C. D.

解析:∵=2,∴||=2||.

又由BF⊥x轴,可得PO∥BF,

∴,即,

∴e=.

答案:D

4.椭圆M:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是(　　).

A. B.

C. D.

解析:设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,

因为(x2+y2)max=a2,所以()max=b2,于是c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.

答案:B

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆=1(a>b>

(第5题)

0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　　. 

解析:由题意得B,C,F(c,0),由∠BFC=90°得=(c+a,-)·=c2-=0,3c2=2a2,故e=.

答案:

6.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为　　　　　. 

解析:设P(x0,y0),而F(-1,0),

∴|OP|2+|PF|2=+(x0+1)2+.

又=1-,

∴|OP|2+|PF|2=+2x0+3=(x0+1)2+2≥2.

∴|OP|2+|PF|2的最小值为2.

答案:2

7.已知点A,B分别是椭圆=1的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.

(1)求点P的坐标;

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,且M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.

解:(1)由已知,可得A(-6,0),B(6,0),F(4,0),

设点P的坐标为(x,y),

则=(x+6,y),=(x-4,y).

因为PA⊥PF,所以=0,

即(x+6)(x-4)+y2=0.

由

得2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6.

由于y>0,故只能取x=,于是y=.

所以点P的坐标是.

(2)由(1)可得,直线AP的方程是x-y+6=0.

设点M的坐标是(m,0),

则点M到直线AP的距离是,又B(6,0),

于是=|m-6|,

解得m=2或m=18.

又因为-6≤m≤6,

所以m=2,M(2,0).

设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,则d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=+15,由于-6≤x≤6,故当x=时,d取最小值,为.