人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角同步训练题

【优选】3.3 二项式定理与杨辉三角-3作业练习

一．单项选择

1．二项式的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

2．的展开式中，常数项为（    ）

A．45 B．66 C．76 D．90

3．已知，则等于（    ）

A．1 B．129 C．-128 D．21

4．整数除以7的余数为（    ）

A．6 B．5 C．3 D．1

5．展开式中的第5项为常数项，则正整数n的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．设，则（    ）

A．0 B． C． D．

7．估算的结果，精确到0. 01的近似值为（    ）

A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16

8．已知，则的值是（    ）

A． B． C． D．

9．展开式中的系数为（    ）

A． B． C．10 D．20

10．已知的展开式中，各项系数之和为128，则展开式中含项的系数为 （    ）

A．63 B．21 C．7 D．

11．在的展开式中，含的项的系数为（    ）

A．69 B．121 C． D．

12．定义：两个正整数，，若它们除以正整数所得的余数相等，则称，对模同余，记作，比如：．已知，满足，则可以是（    ）

A．23 B．21 C．19 D．17

13．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（    ）．

A． B． C． D．

14．已知，则（    ）

A． B． C． D．

15．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第行中从左至右第与第个数的比值为（    ）

A． B． C． D．1

16．已知的展开式中含项的系数为-2，则实数（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

17．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

18．当为常数时，展开式中常数项为，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】分析：首先写出展开式的通项，的幂指数为1可求得，从而可得答案．

详解：解：二项式的展开式的通项，

令，得，

所以二项式的展开式中的系数为，

故选：．

2．【答案】C

【解析】分析：把视为1与的和的二项式，先求其通项，再求展开式通项并分析x的幂指数即可得解.

详解：，则其展开式的通项为，

时，展开式的通项为，

即时，，则展开式常数项必有，即有或，而时，是常数项，

所以所求常数项为.

故选：C

3．【答案】B

【解析】分析：令得，令得所有项的系数和，相减可得结论．

详解：在已知式中，令得，

令得，

所以．

故选：B．

4．【答案】A

【解析】分析：变形55＝56﹣1，利用二项式定理展开即可得出答案．

详解：解：

因为能被7整除，

所以除以7的余数为6.

故选：A.

5．【答案】A

【解析】分析：由二项式知其展开项通项为，结合题设知，即可求n的值.

详解：由二项式知：，

∵第5项为常数项，

∴，有，可得.

故选：A

6．【答案】A

【解析】分析：将原式化为，然后通过分别比较左右两边，的系数，列方程组可求得结果

详解：解：由题意得，，

左边的系数为，右边的系数为，

所以，

左边的系数为，右边的系数为，

所以，

所以，

故选：A

7．【答案】A

【解析】分析：利用二项式定理进行计算．

详解：原式

+

．

故选：A．

8．【答案】B

【解析】分析：分别令和，两式先减即可求出.

详解：令，则；令，则，则.

故选：B.

9．【答案】C

【解析】分析：首先得到，令，解得，再代入通项求解即可.

详解：，

令，解得.

所以的系数为.

故选：C

10．【答案】B

【解析】分析：令，根据各项系数和建立方程求得a，再运用二项式的展开式的通项公式可求得选项.

详解：令得，所以，解得，

所以，其展开式的通项公式为，

令，解得，所以展开式中含项的系数为，

故选：B.

11．【答案】C

【解析】分析：首先利用等比数列求和，根据形式可知含的系数，即求中含的系数与中含的系数差.

详解：

，

要求展开式中含的系数，即求中含的系数与中含的系数差，

中含的项是，中含的项是，

所以展开式中含的系数是.

故选：C

12．【答案】B

【解析】分析：利用二项式定理可以看出，进一步写成，再利用二项式定理展开，进而求得n被10除所得余数，然后即可做出判定.

详解：由二项式定理可得

,等号右边除了第一项1外，其余各项都是10的倍数，∴n被10除所得余数为1，在选项中，只有21倍10除所得余数为1，

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理在求余数中的应用，关键是灵活使用二项式定理进行变形.

13．【答案】C

【解析】分析：根据题意由可知是第行的第个数减去下一行的第个数，等于下一行即第行的第个数，结合数图进行举例即可得解.

详解：根据题意可得，

即是第行的第个数减去下一行的第个数，

等于下一行即第行的第个数，

其中，

当时，为，

当时，为，等等.

由图知是与同一行的右边一个数，

所以是第行的第个数，故.

故选：C

14．【答案】A

【解析】分析：把表示为，再利用二项式定理按展开即可得解.

详解：，

把按展开的第十项为，

所以.

故选：A

15．【答案】A

【解析】分析：第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，由此可求得结果.

详解：由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，

因此，第行中从左至右第与第个数的比值为.

故选：A.

16．【答案】A

【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.

详解：展开式的通项公式为，当时，；当时，，∴的展开式中含项的系数为，解得，

故选：A.

【点睛】

方法点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零．有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

17．【答案】B

【解析】分析：把看成个因式的乘积形式，先从个因式中，选出个得到，再从剩余的个中选出个得到，其余的个得到，再利用分步计数原理求解.

详解：把看成个因式的乘积形式，从个因式中，选出个因式得到，选法有种；

再从剩余的个因式中选出个因式得到，选法有种；

其余的个因式得到，选法有种.

根据分步计数原理得的系数是.

故选：B.

18．【答案】D

【解析】分析：先写出展开式的通项，然后根据指数部分为求解出的值，根据的值确定出常数项的表示，由此求解出的值.

详解：因为展开式的通项为，

令，所以，所以常数项为，所以，

所以，

故选：D.