2021学年3.3 二项式定理与杨辉三角学案

这是一份2021学年3.3 二项式定理与杨辉三角学案，共9页。


知识点二 二项式系数的性质
1．每一行的两端都是____，其余每个数都等于____________________．即____________________.
2．每一行中，与首末两端“________”的两个数相等．即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
3．如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项____的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项________与________的二项式系数相等且最大．
4．二项展开式的二项式系数的和等于________．
知识点三 杨辉三角的特点
1．在同一行中，每行两端都是____，与这两个1等距离的项的系数________．即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________，即________________．
[基础自测]
1．下列判断正确的( )
A．(a＋b)n展开式中共有n项．
B．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．
C．Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．
D．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．
2．在(x－eq \r(3))10的展开式中，含x6的项的系数是( )
A．－27Ceq \\al(6,10) B．27Ceq \\al(4,10)
C．－9Ceq \\al(6,10) D．9Ceq \\al(4,10)
3．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．
4．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．
题型一 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)用二项式定理展开eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))5；
(2)化简：Ceq \\al(0,n)(x＋1)n－Ceq \\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq \\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)kCeq \\al(k,n)(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCeq \\al(n,n).
eq \x(状元随笔) (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
方法归纳
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
跟踪训练1 (1)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的展开式；
(2)化简：1＋2Ceq \\al(1,n)＋4Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n).
题型二 二项式系数与项的系数问题
例2 (1)求二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,x)))6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))9的展开式中x3的系数．
eq \x(状元随笔) 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
方法归纳
1．二项式系数都是组合数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ceq \\al(k,n).例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝Ceq \\al(3,7)17－3(2x)3，其二项式系数是Ceq \\al(3,7)＝35，而第四项的系数是Ceq \\al(3,7)23＝280.
跟踪训练2 (1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．
题型三 求展开式中的特定项
eq \x(状元随笔) 1.如何求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4展开式中的常数项？
[提示] 利用二项展开式的通项Ceq \\al(k,4)x4－k·eq \f(1,xk)＝Ceq \\al(k,4)x4－2k求解，令4－2k＝0，则k＝2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4展开式中的常数项为Ceq \\al(2,4)＝eq \f(4×3,2)＝6.
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
[提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．
3．如何求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项？
[提示] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋eq \f(1,x)中的x与eq \f(1,x)分别与(2x＋1)3展开式中常数项Ceq \\al(3,3)＝1及x2项Ceq \\al(1,3)22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·Ceq \\al(3,3)＋eq \f(1,x)·Ceq \\al(1,3)(2x)2＝x＋12x＝13x.即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
例3 已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
eq \x(状元随笔) eq \x(写出通项Tk＋1)→eq \x(令k＝5，x的指数为零)
→eq \x(1求出n值)→eq \x(修正通项公式)→eq \x(2求x2项的系数)
→eq \x(考查x指数为整数)→eq \x(分析求出k值)
→eq \x(3写出有理项)
方法归纳
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Ceq \\al(k－1,n)an－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
(2)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(a),x2)))6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
题型四 求展开式的系数和
先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．例4 设(1－2x)2 019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019·x2 019(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 019的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 019|的值．
方法归纳
1．解决二项式系数和问题思维流程
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
跟踪训练4 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
题型五 二项式系数性质的应用
eq \x(状元随笔) 1. 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
[提示] 对称性，因为Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
2．计算eq \f(C\\al(k,n),C\\al(k－1,n))，并说明你得到的结论．
[提示] eq \f(C\\al(k,n),C\\al(k－1,n))＝eq \f(n－k＋1,k).
当k1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>eq \f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小．
3．二项式系数何时取得最大值？
[提示] 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Ceq \f(n －1,2)n，Ceq \f(n ＋1,2)n相等，且同时取得最大值．
例5 已知f(x)＝(eq \r(3,x2)＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项．
eq \x(状元随笔) 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
方法归纳
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练5 (1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
教材反思
3．3 二项式定理与杨辉三角
新知初探·自主学习
知识点一
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N＋) k＋1
知识点二
1．1 它“肩上”两个数的和 Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n)
2．等距离
3．
4．2n
知识点三
(1)1 相等 (2)和 Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n)
[基础自测]
1．解析：A错误，因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．B错误，因为二项式的第k＋1项Ceq \\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Ceq \\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．C错误，因为Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．D正确，因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Ceq \\al(k,n).
答案：D
2．解析：含x6的项是T5＝Ceq \\al(4,10)x6(－eq \r(3))4＝9Ceq \\al(4,10)x6.
答案：D
3．解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以eq \f(n,2)＋1＝5，所以n＝8.
答案：8
4．解析：二项式系数之和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n＝32，所以n＝5.
答案：5
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))5＝Ceq \\al(0,5)(2x)5＋Ceq \\al(1,5)(2x)4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))＋…＋Ceq \\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))5＝32x5－120x2＋eq \f(180,x)－eq \f(135,x4)＋eq \f(405,8x7)－eq \f(243,32x10).
(2)原式＝Ceq \\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq \\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq \\al(2,n)(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Ceq \\al(k,n)(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Ceq \\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
跟踪训练1 解析：(1)方法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq \\al(0,4)(3eq \r(x))4＋Ceq \\al(1,4)(3eq \r(x))3·eq \f(1,\r(x))＋Ceq \\al(2,4)(3eq \r(x))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq \\al(3,4)(3eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
方法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq \f(3x＋14,x2)＝eq \f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
(2)原式＝1＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n.
例2 【解析】 (1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1
＝Ceq \\al(k,6)(2eq \r(x))6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k
＝(－1)kCeq \\al(k,6)·26－k·，
∴T6＝－12·.
∴第6项的二项式系数为Ceq \\al(5,6)＝6，
第6项的系数为Ceq \\al(5,6)·(－1)·2＝－12.
(2)Tk＋1＝Ceq \\al(k,9)x9－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k＝(－1)k·Ceq \\al(k,9)·x9－2k，
∴9－2k＝3，∴k＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·Ceq \\al(3,9)＝－84.
跟踪训练2 解析：T6＝Ceq \\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq \\al(6,n)(2x)6，依题意有Ceq \\al(5,n)25＝Ceq \\al(6,n)26，∴n＝8.
∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝Ceq \\al(4,8)(2x)4＝1 120x4.
例3 【解析】 通项公式为：
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n) (－3)k ＝Ceq \\al(k,n)(－3)k .
(1)∵第6项为常数项，
∴k＝5时，有eq \f(n－2k,3)＝0，即n＝10.
(2)令eq \f(10－2k,3)＝2，得k＝eq \f(1,2)(10－6)＝2，
∴所求的系数为Ceq \\al(2,10)(－3)2＝405.
(3)由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(10－2k,3)∈Z，,0≤k≤10，,k∈Z.))令eq \f(10－2k,3)＝m(m∈Z)，
则10－2k＝3m，即k＝5－eq \f(3,2)m.
∵k∈Z，∴m应为偶数，
m＝2,0，－2，即k＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
跟踪训练3 解析：(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为Ceq \\al(5,10)＋Ceq \\al(2,10)(－1)＝207.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(a),x2)))6的展开式的通项是
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)x6－k·(－eq \r(a))kx－2k＝Ceq \\al(k,6)x6－3k(－eq \r(a))k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ceq \\al(2,6)a，
根据已知得Ceq \\al(2,6)a＝60，解得a＝4.
答案：(1)207 (2)4
例4 【解析】 (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝(－1)2 019＝－1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 019＝32 019.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 019)＝－1－32 019，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝eq \f(－1－32 019,2).
(3)∵Tk＋1＝Ceq \\al(k,2 019)(－2x)k＝(－1)k·Ceq \\al(k,2 019)·(2x)k，
∴a2m－1＜0(m∈N＋)，a2m＞0(m∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
跟踪训练4 解析：(1)令x＝0，则a0＝－1；
令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
所以a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，
∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.
例5 【解析】 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝Ceq \\al(2,5)( )3(3x2)2＝90x6，
T4＝Ceq \\al(3,5)( )2(3x2)3＝270 .
跟踪训练5 解析：该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
答案：C
最新课程标准
1.会证明二项式定理．(难点)
2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)
3．了解杨辉三角，并探索其中的规律．(难点)
4．掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．(重点)
二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝________________________________________称为二项式定理
二项式系数
各项系数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数
二项式通项
Ceq \\al(k,n)an－kbk是展开式中的第________项，可记做Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)
二项展开式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N＋)
备注
在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Ceq \\al(1,n)x＋Ceq \\al(2,n)x2＋…＋Ceq \\al(k,n)xk＋…＋Ceq \\al(n,n)xn(n∈N＋)