数学1.1.2 空间向量基本定理当堂达标检测题

课时作业(二)　空间向量的数量积

一、选择题

1．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　)

A．14  B.  C．4  D．2

答案：B

2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则·的值为(　　)

A．5  B．25  C．25  D．5

答案：B

3.(多选题)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是(　　)

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角

答案：ACD

4．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)

A．直角三角形　   B．等腰三角形

C．等腰直角三角形　   D．等边三角形

答案：B

解析：由(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，得||＝||，故△ABC为等腰三角形．

5．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)

A．12　  B．8＋　  C．4　  D．13

答案：D

解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13.

二、填空题

6．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．

答案：－

7．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

答案：－13

8．(2022北京人大附中月考)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则AC′＝________.

答案：

三、解答题

9．如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.

证明：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|.

∵＝－＝b－a，∴·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0，

∴⊥，即CC1⊥BD.

10．(2022浙江金华模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝60°，A1A与AB，AD的夹角都为60°，求：

(1)AC1的长；

(2)，夹角的余弦值．

解：(1)设＝a，＝b，＝c，

所以a·b＝|a||b|cos 60°＝，

a·c＝|a||c|cos 60°＝1，b·c＝|b||c|cos 60°＝1.

因为＝a＋b，

所以平行四边形AA1C1C中

＝＋＝a＋b＋c，

||2＝(a＋b＋c)2

＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c

＝1＋1＋4＋2×＋2×1＋2×1

＝11，

所以||＝，

所以AC1的长为.

(2)＝a＋b，故||＝＝，

＝－＝＋－＝b＋c－a，

故||＝

＝

＝.

·＝(a＋b)·(b＋c－a)

＝b2－a2＋a·c＋b·c＝2，

所以cos〈，〉＝＝＝.