高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.5 空间中的距离习题

课时作业(十)　空间中的距离

一、选择题

1．(2022山东青岛二中模拟)如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体OABC—D′A′B′C′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　　)

A.a　  B.a　  C．a　  D.a

答案：B

解析：由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)，则F，E.

∴|EF|＝

＝

＝a.

2．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离是(　　)

A.  B．1  C.  D．2

答案：A

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：B

4．(2022山东五莲模拟)已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点P(1,2，－2)到平面α的距离为(　　)

A.  B.  C．2  D.

答案：A

5．(2022山东师范大学附中月考)四棱锥P－ABCD中，＝(2，－1,3)，＝(－2,1,0)，＝(3，－1,4)，则这个四棱锥的高为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：A

6．(多选题)(2022泉州科技中学月考)已知直线l的方向向量n＝(1,0，－1)，A(2，1，－3)为直线l上一点，若点P(－1,0，－2)为直线外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为(　　)

A．2  B.  C.  D．1

答案：AB

7．(多选题)(2022山东师范大学附属中学月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　)

A．点A到直线BE的距离是

B．点O到平面ABC1D1的距离为

C．平面A1BD与平面B1CD1的距离为

D．点P到直线AB的距离为

答案：BC

解析：如图，建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，E，

所以＝(－1,0,0)，＝.

设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，

sin θ＝＝.

故A到直线BE的距离

d1＝||sin θ＝1×＝，故A错．

易知＝＝，

平面ABC1D1的一个法向量＝(0，－1,1)，

则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B对．

＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)．

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

则所以

令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1,1,1)．

所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝.

因为平面A1BD∥平面B1CD1，

所以平面A1BD与平面B1CD1的距离等于点D1到平面A1BD的距离，

所以平面A1BD与平面B1CD1的距离为，故C对．

因为＝＋＋，

所以＝，

又＝(1,0,0)，则＝，

所以点P到AB的距离

d＝＝＝，故D错．

故选BC.

二、填空题

8．(2022江苏泰州检测)已知A(2,2,0)，B(1，4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为________．

答案：

9．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．

答案：

10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为__________.

答案：

解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，

则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．

∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，∴＝，＝，

∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.

设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，则解得

取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)．

平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离．

∵＝(0,4,0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝.

11．(2022湖南天心区长郡中学模拟)如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为，，则顶点D到平面α的距离为________．

答案：

解析：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，C(3,0,0)，B(0,3,0)，A(3,3,0)，D(3,3,3)，

所以＝(3,0,0)，＝(0,3,0)，＝(0,0,3)．

设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，

则点B到平面α的距离为

d1＝＝＝，①

点C到平面α距离为

d2＝＝＝，②

由①②可得|y|＝|x|，|z|＝|x|，

所以点D到平面α的距离为

＝＝＝.

故答案为.

三、解答题

12．(2021新高考全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．

答案：(1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)解：取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1,0)，C，D(0,1,0)，

设A(0,0，t)，则E，

因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为＝(0,0，t)，

设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，

又＝，＝，

所以由得

令x＝，则y＝－1，z＝，故n＝，

因为二面角E－BC－D的大小为45°，

所以|cos〈n，〉|＝＝＝，

解得t＝1，所以OA＝1，

又S△OCD＝×1×1×＝，所以S△BCD＝，

故VA－BCD＝·S△BCD·OA＝××1＝.

13．(2022辽宁瓦房店实验高级中学月考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.

(1)求证：B1D⊥平面ABD；

(2)求证：平面EGF∥平面ABD；

(3)求平面EGF与平面ABD的距离．

答案：(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系．

设AB＝a，则A1(a,0,0)，B1(0,0,0)，C1(0,2,0)，

F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G.

所以＝(0,2,2)，＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)．

所以·＝0＋0＋0＝0，

·＝0＋4－4＝0.

所以⊥，⊥，所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.

又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.

(2)证明：由(1)可得＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)，＝，＝(0,1，－1)，

所以＝2，＝2，所以∥，∥.

所以GF∥AB，EF∥BD.

又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，所以平面EGF∥平面ABD.

(3)解：由(1)(2)知，是平面EGF和平面ABD的法向量．

因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.

因为＝(0,0,3)，＝(0,2,2)，

所以d＝＝＝.

即平面EGF与平面ABD间的距离为.