人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理课后测评

课时作业(三)　空间向量基本定理

一、选择题

1．(2022山东曲阜一中月考)A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)

A．不共面 

B．共面

C．不一定共面 

D．无法判断是否共面

答案：B

2．(2022广西南宁三中月考)已知四面体OABC，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ＝(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：A

3．(2022甘肃玉门一中模拟)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，则其中可以作为空间向量的一组基底的有(　　)

A．1个   B．2个 

C．3个   D．4个

答案：C

解析：如图所示，令＝a，＝b，＝c，则＝x，＝z，＝y.

∵x＝a＋b，∴a，b，x共面，

∴①{a，b，x}不能作为空间向量的一组基底．

∵x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，

∴x，y，z不共面，

∴②{x，y，z}可作为空间向量的一组基底．

同理，b，c，z不共面，x，y，a＋b＋c不共面，

∴③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}都可作为空间向量的一组基底．

故选C.

4．(多选题)若向量，，的始点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则不能使向量，，成为空间一组基底的关系的是(　　)

A.＝＋＋ 

B.＝＋

C.＝＋＋ 

D.＝2－

答案：ABD

5．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底

D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等

答案：AC

解析：A项中若a，b不共线，则任意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一个基底，A对；B项中空间基底有无数个，B错；C项显然正确；D项中因为基底不唯一，所以D错．

二、填空题

6．已知空间的一组基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c.若向量m与n共线，则x＝__________，y＝__________.

答案：2　－2

7．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.

答案：3a＋3b－5c

8．(2022山东滨州检测)如图所示，在四面体OABC中，点P为棱BC的中点．设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为________．

答案：－a＋b＋c

三、解答题

9．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面．

证明：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边的中点，∴＝＝，

∴E，F，G，H四点共面．

10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．

(1)求的长；

(2)求cos〈，〉的值．

解：令＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2且a·b＝a·c＝b·c＝0.

(1)＝－＝＋－＝a＋c－b，

所以||＝

＝

＝＝.

(2)因为＝－＝＋－＝a＋c－b，

＝＋＝b＋c，

所以||＝

＝

＝，

同理||＝，

又因为·＝(a＋c－b)·(b＋c)

＝a·b＋a·c＋b·c＋c2－b2－b·c

＝4－1＝3.

所以cos〈，〉＝

＝＝.