高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量习题

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量

一、    概念练习

1.若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为(   )

A. B. C. D.

2.直线的一个方向向量是(    )

A. B. C. D.

3.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为()

A. B. C. D.

4.过，两点的直线的一个方向向量为，则(   )

A. B. C.-1 D.1

5.已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是(   )
A.-6 B.6 C.14 D.-14

二、能力提升

6.已知分别为直线的方向向量，则(   )
A.，但与不垂直
B.，但与不垂直
C.，但与不垂直
D.两两互相垂直

7.若点在直线l上，则直线l的一个方向向量为(   )

A.（1,2,3） B.（1,3,2） C.（2,1,3） D.（3,2,1）

8.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()

A.  B.

C.向量与的夹角是60° D.与AC所成角的余弦值为

9.（多选）正方体的棱长为2，M为的中点，下列命题中正确的是()

A.与成60°角

B.若，面交CD于点E，则

C.P点在正方形边界及内部运动，且，则P点的轨迹长等于

D.E，F分别在，上，且，直线EF与，所成角分别是，，则

10.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是(   )

A.

B.

C.向量与的夹角是60°

D.与AC所成角的余弦值为

11.已知的顶点坐标分别为，，，则内角A的角平分线所在直线方程为____________.

12.已知直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,且,则_____________,____________.

13.已知直线的方向向量,且过和,则_____________,__________.

14.已知,求满足的点的坐标.

15.如图，空间四边形OABC的各边及对角线长都为2，E是AB的中点，F在OC上，且.

（1）用表示；

（2）求向量与向量所成角的余弦值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设直线l的倾斜角为，因为直线l的一个方向向量为，

所以，

因为，所以，

故选：B.

2.答案：D

解析：直线的斜率为，故其方向向量为.故选：D.

3.答案：D

解析：由题意得，直线l的一个方向向量为，

则，

因此直线l的单位方向向量为，故选D.

4.答案：C

解析：解法一：由直线上的两点，，得，

又直线AB的一个方向向量为，因此，

，解得，故选C.

解法二：由直线的方向向量为得，

直线的斜率为，

所以，解得.故选C.

5.答案：A

解析：,,故选A.

6.答案：A

解析：因为，，，所以，a与c不垂直，，即，但与不垂直.

7.答案：A

解析：，与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.

8.答案：AB

解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，

所以，

，

则，所以A正确；

，所以B正确；

显然为等边三角形，则.

因为，且向量与的夹角是120°，所以与夹角是120°，所以C不正确；

因为，

所以，，

，

所以，所以D不正确.故选AB.

9.答案：ACD

解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，

，，，，.

对于A，，，，

与成60°角，A对；

对于B，，，设，则，，，由已知得，M，N，E四点共面，

，使得，

得解得

，，，B错；

对于C，设，

则，，

由，得.

点P的轨迹长为线段的长度，为，C对；

对于D，，F分别在，上，且，

，，

则，，则，

则，故，

，故，即，故D正确.

10.答案：AB

解析：由题意可知平行六面体的各棱长均相等，设棱长为1，则,
所以，而，所以A正确.
，所以B正确.
向量，显然为等边三角形，故，所以向量与的夹角是120°，即向量与的夹角是120°，所以C不正确.
因为，所以，，
，
所以，所以D不正确.
故选AB.

11.答案：

解析：,
三角形ABC的内角A的平分线的方向向量为,直线的斜率为7，所以直线的方程为,即.

12.答案：;6

解析：.

13.答案：;

解析：因为直线的方向向量,且过和,,,解得.

14.答案：设,由已知得,,.

因为,所以是直线的一个法向量,所以.①又,所以与共线,所以,即.②解①②组成的方程组,得所以点的坐标为.

15.答案：（1）因为E是AB的中点，

F在OC上，且，所以,

，

于是.

（2）由（1）得，

因此，

，

又因为，

所以向量与向量所成角的余弦值为

.