人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时课堂检测

4.2.2　等差数列的前n项和公式

第1课时　等差数列的前n项和

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为(　　)

A.6 B.7

C.8 D.9

答案D

解析设{an}的公差为d,则解得所以a7=a1+6d=-3+6×2=9,故选D.

2.(2021江西景德镇一中高二期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=2,a4-a2=2,则S5=(　　)

A.21 B.15

C.10 D.6

答案C

解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a3=2,a4-a2=2,

∴2a1+2d=2,2d=2,解得a1=0,d=1,则S5=0+×1=10.

3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于(　　)

A.n B.n2

C.2n+1 D.2n-1

答案D

解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(n∈N*).

4.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=(a1+a2+…+an),则数列{bn}的前10项和T10=(　　)

A.70 B.75

C.80 D.85

答案B

解析∵an=2n+1,

∴数列{an}是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn==n2+2n,∴bn=Sn=n+2,∴数列{bn}也是等差数列,首项b1=3,公差为1.

∴其前10项和T10=10×3+×1=75,故选B.

5.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马,发长安至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马.问:相逢时良马走了(　　)

A.17天 B.18天

C.15天 D.16天

答案D

解析由题意知,良马每天所行路程成等差数列,记为{an},则{an}是以193为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程成等差数列,记为{bn},则{bn}是以97为首项,以-为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn≥2×3 000,所以193n+×13+97n+≥6 000,

化简得5n2+227n-4 800≥0,解得n≥16(n∈N*).

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S1=1,S5=25,则=　　　　. 

答案3

解析因为等差数列{an}中,a1=S1=1,设公差为d,则S5=5+10d=25,

所以d=2.则=a2=a1+d=3.

7.(2019全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　　. 

答案4

解析设等差数列{an}的公差为d.

∵a1≠0,a2=3a1,

∴a1+d=3a1,即d=2a1.

∴=4.

8.为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划,第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m,李强10天一共跑了　　　　m. 

答案68 000

解析将李强每一天跑的路程记为数列{an},由题意知,{an}是等差数列,则a1=5 000,公差d=400.

所以S10=10a1+d=10×5 000+45×400=68 000,

故李强10天一共跑了68 000 m.

9.已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)数列{an}是不是等差数列?

解(1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-[-2(n-1)2+3(n-1)+1]=-4n+5.

又当n=1时,a1=2不满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=

(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列.

关键能力提升练

10.在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和S9等于(　　)

A.3 B.6

C.9 D.12

答案C

解析设等差数列{an}的公差为d,因为2a4+a7=3,

所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,

即a5=1,

所以S9==9a5=9.

11.若公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为(　　)

A.20 B.21

C.22 D.23

答案C

解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.

12.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于(　　)

A.30 B.45

C.90 D.186

答案C

解析由等差数列{an}易得公差d1=3.又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.

13.(2020山东,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　. 

答案3n2-2n

解析数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.

所以{an}的前n项和为Sn=n×1+×6=3n2-2n.

14.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明∵-an=2SnSn-1(n≥2),∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).又Sn≠0(n=1,2,3,…),

∴=2.

又=2,

∴是以2为首项,2为公差的等差数列.

(2)解由(1)可知=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-或当n≥2时,an=-2SnSn-1=-;

当n=1时,S1=a1=.

故an=

学科素养创新练

15.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).

(1)若a3=,求λ的值.

(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

解(1)因为Sn=λan-1,

所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.

由a1=λa1-1,可知λ≠1,

所以a1=,a2=,a3=.

因为a3=,所以,解得λ=0或λ=2.

(2)不存在.理由如下:假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,则2a2=a1+a3,

由(1)可得,

所以,即=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.