- 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 试卷 试卷 0 次下载
- 4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 试卷 试卷 0 次下载
- 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 试卷 试卷 0 次下载
- 4.4 数学归纳法 试卷 试卷 0 次下载
- 第四章 数列 习题课——数列求和 试卷 0 次下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时同步测试题
展开4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于( )
A.10 B.210
C.a10-2 D.211-2
答案D
解析∵=2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2.∴S10==211-2.
2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为 ( )
A.81 B.120
C.168 D.192
答案B
解析设公比为q,则=27=q3,所以q=3,a1==3,S4==120.
3.已知等比数列{an}的公比q=-2,前6项和S6=21,则a6=( )
A.-32 B.-16
C.16 D.32
答案D
解析因为q=-2,S6=21,则有S6==-21a1=21,
即a1=-1,所以a6=a1q5=(-1)×(-2)5=32.
4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案B
解析设公比为q,a1=14,an+2=,则Sn+2=,
解得q=-.所以an+2=14·,
解得n=3.故该数列共5项.
5.(2021四川乐山高三调研)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=4,a6=64,前n项和Sn=510,则n= ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案C
解析由题意知q4==16且q>0,则q=2,a1=2,
∴Sn==510,解得n=8.
6.(多选)(2021湖南衡阳高二期末)“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》,其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半,永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺,第二天被截取剩下的一半剩下a2尺……第六天被截取剩下的一半剩下a6尺,则( )
A.a6=
B.=8
C.a5+a6=
D.a1+a2+…+a6=
答案BD
解析依题意可知,a1,a2,a3,…成等比数列,且首项与公比均为,
则a6=6==8,a5+a6=,a1+a2+…+a6=.
故选BD.
7.在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q= .
答案3
解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q==3.
8.已知等比数列{an}是递减数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两个根,则公比q= ,S5= .
答案
解析∵a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两根,且等比数列{an}是递减数列,∴a1=1,a2=,则公比q=,
∴S5=.
9.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若Sn=93,求n.
解(1)设等比数列{an}的公比为q,
则解得
所以an=a1qn-1=48·.
(2)Sn==96.
由Sn=93,得961-=93,解得n=5.
10.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,
可得解得所以an=2n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)·2n,
所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n, ①
2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1, ②
由①-②,得-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2=2·-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n)·2n+1-6.所以Tn=(2n-3)·2n+1+6.
关键能力提升练
11.(2021陕西宝鸡高二期中)在等比数列{an}中,an=3×2n-1,则a1+a3+…+a2k-1=( )
A.4k-1 B.3(2k-1)
C.2(4k-1) D.3(4k-1)
答案A
解析∵{an}是首项为3,公比为2的等比数列,
∴{a2k-1}是首项为3,公比为4的等比数列,
∴a1+a3+…+a2k-1==4k-1.
12.(2021内蒙古包头高三期末)已知等比数列{an}的各项均不相等,且满足a2+2a1=6,=2a6,则该数列的前4项的和为( )
A.120 B.-120
C.22.5 D.-22.5
答案A
解析设{an}的公比为q,由题意得解得
又数列{an}的各项均不相等,所以
所以a1+a2+a3+a4=-6+18-54+162=120.
13.在等比数列{an}中,a4=3a3,则+…+=( )
A. B.
C. D.
答案D
解析设等比数列{an}的公比为q.∵a4=3a3,∴q=3.
∴+…+=q+q2+q3+…+qn=.
14.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27,+…+=3,则a3=( )
A.±9 B.9
C.±3 D.3
答案C
解析(方法1)设等比数列的公比为q,则由已知可得
两式相除,得q4=9,即=9,所以a3=±3.
(方法2)设等比数列的公比为q,则a1+a2+a3+a4+a5=+a3+a3q+a3q2=a3+1+q+q2=27,
q2+q+1+=3,
两式相除可得=9,因此a3=±3.
15.(多选)已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则( )
A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1
C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1
答案BC
解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由a2a3a4=64,得=43,则a3=4,由a2+a4=10,得+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.又因为数列{an}是递增数列,所以q=2,所以2a1+8a1=10,解得a1=1.
所以an=2n-1,Sn==2n-1,所以Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC.
16.(多选)(2020江苏启东中学高二开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则( )
A.数列{an}为等差数列
B.数列{an}为等比数列
C.+…+
D.m+n为定值
答案BD
解析由题意,当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2,
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以Sn-Sn-1=an=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,
所以=2,所以数列{an}是以首项a1=2,公比q=2的等比数列,an=2n,故选项A错误,选项B正确;
数列{}是以首项=4,公比q1=4的等比数列,
所以+…+,故选项C错误;
aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6为定值,故选项D正确.
故选BD.
17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=2S2,则数列{an}的公比q= .
答案±1
解析由S4=2S2,得a3+a4=q2(a1+a2)=a1+a2,故a1+a2=0或q2=1.若a1+a2=0,则q=-1,若q2=1,则q=±1.
18.如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”,已知数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.在下列关于{an}的三组量中,一定能成为数列{an}的“基本量”的是 .(写出所有符合要求的序号)
①S1与a3;②S2与S3;③q与S3.
答案③
解析①S1=a1,因为a3=a1q2,可以确定q2,q有两个值,不唯一;
②若q=1,则可唯一确定,若q不为1,S2=a1+a2=,S3=a1+a2+a3=,
由,得到关于q的一元二次方程,无法具体确定q;
③已知q,代入S3=可求出a1,所以唯一确定了数列.
19.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3+S6=2S9,则公比q等于 .
答案-
解析若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9.
∴q≠1,∴,
即 2q9-q6-q3=0,∴q3(2q6-q3-1)=0.
∵q≠0,∴2q6-q3-1=0,∴(q3-1)(2q3+1)=0,
∴q3=-或q3=1(舍),∴q=-.
20.(2021湖南长沙高二期末)条件①:设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+k(n∈N*,k∈R),a1=1.
条件②:对∀n∈N*,有=q>1(q为常数),a3=4,并且a2-1,a3,a4-1成等差数列.
在以上两个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并作答.
在数列{an}中, .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,求T10的值.
解(1)选条件①,由S1=2+k=a1=1,得k=-1,
∴Sn=2n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,
a1=1符合上式,
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.
选条件②,由=q知数列{an}是公比为q的等比数列,
则a2=,a4=a3q=4q,由2a3=a2-1+a4-1,
得8=+4q-2,解得q=2或q=(舍去).
∴a1==1,∴an=2n-1.
(2)T10=1+2×2+3×22+4×23+…+10×29,
∴2T10=2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210,
两式相减,得-T10=1+2+22+23+…+29-10×210=-10×210.
∴T10=9×210+1.
学科素养创新练
21.(2021安徽亳州高二期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,a1=1,a12=9a10,要使数列{λ+Sn}为等比数列,则实数λ的值为( )
A. B.
C.2 D.不存在
答案B
解析由公比q>0,a12=9a10可得q=3,而a1=1,
∴Sn=.
若数列{λ+Sn}为等比数列,则有(λ+S2)2=(λ+S1)(λ+S3),
即(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=,
于是λ+Sn=×3n,而=3,
故当λ=时,数列{λ+Sn}为等比数列.
22.(2021东北三省四市教研联合体高三模拟)5G是第五代移动通信技术的简称,其意义在于万物互联,即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中,它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信,将给社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6 500米.从全国范围看,中国5G发展进入了全面加速阶段,基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站,从第二个工程队开始,每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少,则第一个工程队承建的基站数(单位:万)约为( )
A. B.
C. D.
答案B
解析设第一个工程队承建的基站数为a1万个,因为从第二个工程队开始,每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少,所以a2=a1,a3=a2,…
即数列{an}是以为公比的等比数列,设其前n项和为Sn,
所以S8=a1+a2+…+a8==10,解得a1=.
故选B.
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步练习题: 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步练习题,共11页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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