北师大版高中数学必修第二册第2章6-1第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形作业含答案

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形

课后训练巩固提升

1.若等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为(　　).

A.- B. 

C.- D.

解析:设等腰三角形的底边长为a,顶角为θ,则腰长为2a,

由余弦定理得,cosθ=.

答案:B

2.(多选题)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sin A=sin C且S△ABC=bc,则对△ABC判断错误的是(　　).

A.一定是等腰非等边三角形

B.一定是等边三角形

C.一定是直角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

解析:在△ABC中,因为sinA=sinC,所以A=C,所以角A是锐角,

又有S△ABC=bcsinA=bc,所以sinA=,得A=60°,所以三角形是等边三角形.

答案:ACD

3.在△ABC中,A=120°,a=,S△ABC=,则b等于(　　).

A.1 B.4 

C.1或4 D.5

解析:S△ABC=bcsinA=bc=,故bc=4,①

又a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=21,②

解①②组成的方程组,可得b=1或b=4,选C.

答案:C

4.已知△ABC的周长为20,面积为10,A=60°,则BC边的长为(　　).

A.5 B.6 C.7 D.8

解析:由题设a+b+c=20,bcsin60°=10,

得bc=40.

a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,解得a=7,即BC边的长为7.

答案:C

5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,=3,B=,则△ABC的面积为(　　).

A. B. 

C. D.

解析:由=3,得a2+c2=3ac.因为b=2,B=,b2=a2+c2-2accosB,得4=3ac+ac,

所以ac=1,故△ABC的面积S=acsinB=.

答案:D

6.在△ABC中,若b=2,A=120°,其面积S=,则△ABC外接圆的半径为(　　).

A. B.2 

C.2 D.4

解析:因为S=bcsinA,所以×2csin120°,解得c=2,

所以a===2.

设△ABC外接圆的半径为R,则2R==4,R=2.

答案:B

7.已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,则AC的长为(　　).

A.6 B.7 C.8 D.9

解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=89-80cosB,

(第7题答图)

在△ACD中,由余弦定理得AC2=CD2+AD2-2AD·CDcosD=34-30cosD,

∴89-80cosB=34-30cosD.

∵B+D=180°,∴cosB=-cosD,

∴cosD=-,

∴AC2=34-30×=49,

∴AC=7.

答案:B

8.在△ABC中,AB=2,AC=4,()·=8,则△ABC的面积等于　　　　　. 

解析:因为()·=8,

所以=8⇒22+2×4×cosA=8⇒cosA=,

故A=.

所以S△ABC=·AB·AC·sinA=×2×4×=2.

答案:2

9.如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,∠BAD=,2AB=BD=4.

(第9题)

(1)求sin∠ADB;

(2)若BC=,求CD.

解:(1)△ABD中,,即,解得sin∠ADB=.

(2)因为AD⊥CD,

所以sin∠ADB==cos∠CDB.

△BCD中,cos∠CDB=,即,

故CD2-2CD-6=0,化简得(CD-3)(CD+)=0,解得CD=3.

10.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=,AD=3,sin C=,连接BD,3BD=4BC.

(第10题)

(1)求∠BDC的值;

(2)若BD=,∠E=,求△ABE面积的最大值.

解:(1)在△BCD中,由正弦定理得,

∴sin∠BDC=.

∵3BD=4BC,∴BD>BC,

∴∠BDC为锐角,

∴∠BDC=.

(2)在△ABD中,∵AD=3,BD=,∠ADB=,

∴AB==2.

在△ABE中,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BE·cos,

∴12=AE2+BE2-AE·BE≥2AE·BE-AE·BE=AE·BE,当且仅当AE=BE时等号成立,

∴AE·BE≤12,

∴S△ABE=·AE·BE·sin×12×=3,即△ABE面积的最大值为3.