北师大版高中数学必修第二册第2章6-1第1课时余弦定理--第2课时正弦定理作业含答案

§6　平面向量的应用

6.1　余弦定理与正弦定理

第1课时　余弦定理

第2课时　正弦定理

课后训练巩固提升

1.(多选题)在△ABC中,若b=,c=3,B=30°,则a的值可以为(　　).

A. B.2 

C.3 D.4

解析:根据b2=a2+c2-2accosB,得3=a2+9-2a×3×,即a2-3a+6=0,解得a=或a=2.

答案:AB

2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,则对应的三边之比a∶b∶c等于(　　).

A.3∶2∶1 B.∶2∶1

C.∶1 D.2∶∶1

解析:因为A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,所以A=90°,B=60°,C=30°,

所以a∶b∶c=sin90°∶sin60°∶sin30°=1∶=2∶∶1.

答案:D

3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,A=,则B=(　　).

A. B.

C. D.

解析:由题意知a=3,b=,A=,由正弦定理,可得sinB=,

又因为b<a,可得B为锐角,所以B=.

答案:A

4.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(　　).

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.锐角三角形

解析:因为bcosA=acosB,所以b·=a·,所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,所以a2=b2.所以a=b.故此三角形是等腰三角形.

答案:B

5.在△ABC中,若a=2,b=3,cos(A+B)=,则c=(　　).

A. B.4 

C. D.3

解析:因为cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC=,

所以cosC=-.又a=2,b=3,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×=17,

所以c=,故选A.

答案:A

6.在△ABC中,已知a,b是方程x2-5x+2=0的两根,C=120°,则边c=　　　　　. 

解析:由根与系数的关系,得a+b=5,ab=2.

由(a+b)2=a2+b2+2ab,得a2+b2=52-2×2=21.

∴c2=a2+b2-2abcos120°=23,∴c=.

答案:

7.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:cosB=,因为0<B<π,所以B∈.

答案:

8.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为　　　　　. 

解析:不妨设A=45°,B=60°,则AB=1,C=180°-45°-60°=75°.

∵A<B<C,∴BC<AC<AB.

由正弦定理得BC=-1.

∴这个三角形最小的边长为-1.

答案:-1

9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC的三边长分别为a,b,c,则=　　　　　. 

解析:由正弦定理,得=2R=2,=R=1,=4R=4,

故=2+1+4=7.

答案:7

10.在△ABC中,已知a=10,B=75°,C=60°,试求c及△ABC的外接圆半径R.

解:∵A+B+C=180°,∴A=180°-75°-60°=45°.

由正弦定理,得=2R,

∴c==5,

∴2R==10,∴R=5.

11.已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).

(1)若c=5,求cos A的值;

(2)若A为钝角,求c的取值范围.

解:(1)因为A(3,4),B(0,0),所以AB=5.当c=5时,BC=5,所以AC==2.

由余弦定理,知cosA==.

(2)因为A(3,4),B(0,0),C(c,0),

所以AC2=(c-3)2+42,BC2=c2.

由余弦定理,得cosA=.

因为A为钝角,所以cosA<0,即AB2+AC2-BC2<0,所以52+(c-3)2+42-c2=50-6c<0,

所以c>.

故c的取值范围为.