北师大版高中数学必修第二册第2章6-2平面向量在几何、物理中的应用举例作业含答案

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例

课后训练巩固提升

1.若=(2,2),=(-2,3)分别表示F1,F2,则|F1+F2|为(　　).

A.(0,5) B.25 

C.2 D.5

解析:因为F1+F2=(0,5),所以|F1+F2|==5.

答案:D

2.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD等于(　　).

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:建立平面直角坐标系,如答图所示.

(第2题答图)

设AD=t(t>0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0),

则=(1,t),=(-1,t).

由AC⊥BC知=-1+t2=0,解得t=1,故AD=1.

答案:A

3.已知点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的(　　).

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

解析:∵,

∴()·=0,

∴=0,

∴OB⊥AC.

同理OA⊥BC,OC⊥AB,

∴O为三条高的交点.

答案:D

4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,若,则||等于(　　).

(第4题)

A. B.2 

C.3 D.2

解析:如答图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),E(2,0).

(第4题答图)

设AD=m,则D(0,m),C(4,m).

∵,

∴=0,而=(2,-m),=(4,m),∴8-m2=0,即m2=8,

∴||==2.

答案:B

5.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m,若牵绳与行进方向的夹角为30°,纤夫的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为　　　　　J. 

解析:所做的功W=60×50×cos30°=1500(J).

答案:1 500

6.已知一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5),在这个过程中三个力的合力所做的功等于　　　　　. 

解析:∵F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),

∴合力F=F1+F2+F3=(8,-8).

又=(0-1,5-1)=(-1,4),

∴F·=8×(-1)+(-8)×4=-40,即三个力的合力做的功等于-40.

答案:-40

7.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　　　. 

解析:=(3,6)=.

因为=(4,-2)·(3,6)=0,

所以四边形ABCD为矩形,

所以||==2,||==3,所以S=||||=2×3=30.

答案:30

8.如图,一物体受到两个大小均为60 N的力的作用,两力的夹角为60°,且有一力方向水平,求合力的大小及方向.

(第8题)

解:设向量分别表示两力,以为邻边作平行四边形OACB,即为合力.

由已知可得△OAC为等腰三角形,且∠COA=30°.

(第8题答图)

过点A作AD⊥OC于点D,则在Rt△OAD中,||=||cos30°=60×=30.

故||=2||=60,即合力的大小为60N,方向与水平方向成30°角.

9.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为点E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.

(第9题答图)

证明:如答图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).

设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).

又因为=(-1,2),,所以=0,

所以-2λ+2(2-2λ)=0,解得λ=,所以=.所以=.

又因为=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=.

又因为∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.