北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用本章综合与测试课后作业题

第二章　平面向量及其应用

专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题

1.(2020河北保定第一学期高一期末,)已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则=(　　)

A.(-5,13) B.(-5,12)

C.(-12,13) D.(-12,5)

2.(2020江苏海安高级中学高一下学期期中,)若向量m=(0,-2),n=(,1),则与2m+n共线的向量可以是(　　)

A.(,-1) B.(-1,)

C.(-,-1) D.(-1,-)

3.()如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则=(　　)

A.+ B.+ 

C.+          D.+

4.()已知点O是△ABC内部一点,并且满足2+3+5=0,△OAC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则=(　　)

A. B. C. D.

二、填空题

5.(2020四川乐山高一下学期期末,)如图,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则向量=　　　　(用a,b表示). 

6.()设D为△ABC所在平面内一点,=-+,若=λ(λ∈R),则λ=　　　　. 

7.(2020河北石家庄高三上学期期末联考,)已知平面向量a=(2,-7),b=(-1,2),c=(1,1),若(a+λb)∥c,则实数λ=　　　　. 

8.(2020河北保定易县中学高二下学期期末,)已知向量a=(1,x),b=(x,y-2),其中x>0,若a与b共线,则的最小值为　　　　. 

9.(2020吉林长春高二上学期期末,)如图,在矩形OABC中,点E、F分别是线段AB、BC的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　. 

三、解答题

10.()如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为BF与DE的交点,若=a,=b,试以a,b为基表示、、.

答案全解全析

专题强化练3　平面向量

基本定理及坐标表示

1.D 2.B 3.D 4.A 

一、选择题

1.D　向量(OA) ⃗=(5,12),如图,

将(OA) ⃗绕原点按逆时针方向旋转90°得到(OB) ⃗,故点B的坐标为(-12,5),

所以(OB) ⃗=(-12,5).故选D.

2.B　∵m=(0,-2),n=(√3,1),

∴2m+n=(√3,-3),

又(-1,√3)=-√3/3(√3,-3),∴B选项符合要求.故选B.

3.D　连接AC.根据题意得,(AF) ⃗=1/2((AC) ⃗+(AE) ⃗),又(AC) ⃗=(AB) ⃗+(AD) ⃗,(AE) ⃗=1/2 (AB) ⃗,所以(AF) ⃗=1/2 (AB) ⃗+(AD) ⃗+1/2 (AB) ⃗ =3/4 (AB) ⃗+1/2 (AD) ⃗.

故选D.

4.A　∵2(OA) ⃗+3(OB) ⃗+5(OC) ⃗=0,

∴2((OA) ⃗+(OC) ⃗)=-3((OB) ⃗+(OC) ⃗).

设AC的中点为M,BC的中点为N,

则2(OM) ⃗=-3(ON) ⃗,

∵MN为△ABC的中位线,且("|" (OM) ⃗"|" )/("|" (ON) ⃗"|" )=3/2,

∴S△OAC=2S△OMC=2×3/5S△CMN=6/5×(1/4 S_("△" ABC) )=3/10S△ABC,即S_1/S_2 =3/10.故选A.

二、填空题

5.答案　2b-2a

解析　连接AB.依题意得(AB) ⃗=b-a,由于A,B分别是线段MS,NS的中点,故(MN) ⃗=2(AB) ⃗=2b-2a.

6.答案　-3

解析　∵(BC) ⃗=λ(DC) ⃗(λ∈R),∴(AC) ⃗-(AB) ⃗=λ(AC) ⃗-λ(AD) ⃗,∴(AD) ⃗=1/λ (AB) ⃗+(λ"-" 1)/λ (AC) ⃗,又(AD) ⃗=-1/3 (AB) ⃗+4/3 (AC) ⃗,所以{■(1/λ="-"  1/3 "," @(λ"-" 1)/λ=4/3 "," )┤解得λ=-3.

7.答案　3

解析　由已知得a+λb=(2-λ,-7+2λ),

又(a+λb)∥c,所以(2-λ)-(-7+2λ)=0,解得λ=3.

8.答案　2√2

解析　∵a=(1,x),b=(x,y-2),a与b共线,∴1×(y-2)=x2,即y=x2+2,又x>0,

∴y/x=(x^2+2)/x=x+2/x≥2√2,当且仅当x=2/x,即x=√2时取等号,

∴y/x的最小值为2√2.

9.答案　4/3

解析　因为点E、F分别是线段AB、BC的中点,

所以(OE) ⃗=1/2((OA) ⃗+(OB) ⃗),(OF) ⃗=1/2((OB) ⃗+(OC) ⃗),

因此(OE) ⃗+(OF) ⃗=1/2((OA) ⃗+(OB) ⃗)+1/2((OB) ⃗+(OC) ⃗)=1/2((OA) ⃗+(OC) ⃗+2(OB) ⃗),

又在矩形OABC中,(OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗,

所以(OE) ⃗+(OF) ⃗=1/2((OA) ⃗+(OC) ⃗+2(OB) ⃗)=3/2 (OB) ⃗,

因此(OB) ⃗=2/3 (OE) ⃗+2/3 (OF) ⃗,

因为(OB) ⃗=λ(OE) ⃗+μ(OF) ⃗(λ,μ∈R),

所以λ=μ=2/3,所以λ+μ=4/3.

三、解答题

10.解析　由题意得,(DE) ⃗=(DC) ⃗+(CE) ⃗=(AB) ⃗+1/2 (CB) ⃗=a-1/2b,

(BF) ⃗=(BC) ⃗+(CF) ⃗=(AD) ⃗-1/2 (AB) ⃗=-1/2a+b,

连接BD,则G是△BCD的重心,连接AC,交BD于点O,则O是BD的中点,

∴点G在AC上,

∴(CG) ⃗=2/3 (CO) ⃗=-2/3 (OC) ⃗=-2/3×1/2 (AC) ⃗

=-1/3(a+b).