高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示巩固练习

5.2　向量数量积的坐标表示

5.3　利用数量积计算长度与角度

课后训练巩固提升

1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为(　　).

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

解析:∵=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),

∴||==2,||==4,||==6,

∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.

答案:B

2.(多选题)已知向量a=(1,),b=(-1,0),则(　　).

A.a-2b=(2,)

B.|a|=2|b|

C.(a+b)⊥b

D.a与b的夹角为

解析:对于A,a-2b=(1,)-2(-1,0)=(3,),A错;对于B,|a|=2,|b|=1,则|a|=2|b|,B对;对于C,a·b=-1,故(a+b)·b=a·b+b2=-1+1=0,所以,(a+b)⊥b,C对;对于D,cos<a,b>==-,因为0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=,D错.

答案:BC

3.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是(　　).

A.(-3,0) B.(2,0)

C.(3,0) D.(4,0)

解析:设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0).

答案:C

4.已知向量a=(1,2),b=(4,λ),若a⊥b,则向量2a+b与a的夹角θ等于(　　).

A. B. C. D.

解析:因为向量a=(1,2),b=(4,λ),a⊥b,所以1×4+2λ=0,解得λ=-2.所以b=(4,-2),2a+b=(6,2),

所以设向量2a+b与a的夹角θ,则cosθ=.

又因为θ∈[0,π],所以θ=.

答案:A

5.已知=(-3,-2),=(m,1),||=3,则=(　　).

A.7 B.-7 

C.15 D.-15

解析:因为=(-3,-2),=(m,1),

所以=(m+3,3),即||==3⇒m=-3,

所以=(3,2),=(-3,1),=-9+2=-7.

答案:B

6.设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(3,y),c=(1,-1),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(　　).

A.5 B.4 

C. D.2

解析:因为a⊥c,b∥c,所以a+b=(2,2)+(3,-3)=(5,-1),

所以|a+b|=.

答案:C

7.已知函数y=tan的部分图象如图所示,则()·的值为(　　).

(第7题)

A.1 B.4 

C.6 D.7

解析:令y=tan=0,且A是第一个零点,则A(2,0);令y=tan=1,B是y轴右侧第一个周期内的点,所以x=3,则B(3,1),所以=(5,1),=(1,1),则()·=5+1=6.

答案:C

8.设a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影数量为　　　　　. 

解析:a在b方向上的投影数量为.

答案:

9.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为　　　　　. 

解析:∵a+tb=(2+t,1+2t),

∴|a+tb|=.

∴当t=-时,|a+tb|有最小值.

答案:-

10.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 

解析:因为a与b的夹角为锐角,所以0<<1,即0<<1,

解得λ<-或0<λ<或λ>.

答案:∪∪

11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证:AB⊥AD;

(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值.

(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴=(1,1),=(-3,3).

又=1×(-3)+1×3=0,

∴,即AB⊥AD.

(2)解∵,四边形ABCD为矩形,

∴.

设点C坐标为(x,y),则=(x+1,y-4),

∴解得∴点C的坐标为(0,5).

∴=(-2,4).又=(-4,2),

∴=8+8=16>0,||=2,||=2.

设的夹角为θ,则cosθ=>0,

∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.

12.设平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,5).

(1)试求向量2的模;

(2)若向量的夹角为θ,求cos θ;

(3)求向量上的投影数量.

解:(1)∵A(1,0),B(0,1),C(2,5),

∴=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5),∴|2|==5.

(2)由(1)知,=(-1,1),=(1,5),故cosθ=.

(3)由(2)知向量的夹角的余弦值为cosθ=,且||=,

故向量上的投影数量为||cosθ=.