北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式课后复习题

【基础】3.1 等比数列作业练习

一．填空题

1．已知数列满足，且，则数列的前6项和__________.

2．已知各项都为正数的数列，是其前n项和，满足，，则___________.

3．等比数列的前n项和为，若，，则________．

4．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则________．

5．已知数列的前n项和，则的最大值为___________.

6．已知数列满足：，若，且数列是单调递增数列，则实数t的取值范围是_____________．

7．已知正项等比数列的前项和为，，则__________.

8．写出一个满足的等比数列的通项公式______.

9．在等比数列中，，，则的前项和为___________.

10．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC？ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有，则a的值为___________.

11．数列中，，，，且为等比数列，则数列的前2021项和___________.(只需写出表达式)

12．任意正整数的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为；因为，所以135的所有正约数之和为.参照上述方法，可求得1000的所有正约数之和为___________.

13．正三棱锥中，，侧棱长为2，点是棱的中点，定义集合如下：点是棱上异于的一点，使得()，我们约定：若除以3的余数，则(例如：？等等)

（1）若，求三棱锥的体积；

（2）若是一个只有两个元素的有限集，求的范围；

（3）若是一个无限集，求各线段，，，的长度之和(用表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为())

14．已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______．

15．已知等比数列的前项和为，，，则公比___________.

16．各项均为正数的等比数列，其公比，且，请写出一个符合条件的通项公式______.

17．已知数列的前项和为，若，，，则______．

18．已知公比为q的等比数列的前n项和为，公差为d的等差数列的前n项和为，且，则的值为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】63

【解析】分析：先确定数列是首项为1，公比为2的等比数列，计算得到答案.

详解：根据题意可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，

故.

故答案为：63.

2．【答案】

【解析】分析：先整理递推关系，证明数列是等比数列，再利用公式求得，计算即得结果.

详解：因为，所以，即，而，则，故，

即，

故数列是等比数列，首项为，公比为，

则，故.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于利用递推关系化简证明数列是等比数列，再结合公式计算即突破难点.

3．【答案】

【解析】分析：设等比数列的公比为，根据，求得，再结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解.

详解：由题意，设等比数列的公比为，且，

当时，不符合题意；

当时，可得，可得，

解得，可得，

又由，所以，所以.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：首先根据题目信息求出，再根据等比数列通项公式求得即可

详解：各项均为正数的等比数列的前项和为，即，

又，所以，

故解得或（舍），

所以，

故答案为：.

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

5．【答案】

【解析】分析：由数列的递推公式可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求得数列的通项公式，写出的表达式，分n为偶数和奇数两种情况求得的取值范围即可得解.

详解：已知，令，则，解得，

当时，，

两式相减，得，即，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，则，，

当n为偶数时，；

当n为奇数时，.

，即的最大值为.

故答案为：

【点睛】

已知求步骤：

6．【答案】

【解析】分析：凑配出等比数列求出通项，可得，再利用递增数列的定义求解．

详解：因为，得，是等比数列，

所以，，

，，

是递增数列，

时，，，所以，，

又，所以，，

综上，．

故答案为：．

【点睛】

易错点睛：本题考查数列的单调性，根据单调性的定义解题是基本方法．求解时要注意表达式适用的范围，题中在由已知关系式求得通项公式中是从开始的项的表达式，因此在由求参数范围时，，不包含，因此最后还有一步：，否则会出错．

7．【答案】

【解析】分析：根据等比数列的性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可.

详解：设正项等比数列的公比为，，

因为，所以，

因此，

而，所以，

故答案为：

8．【答案】（取一个值即可）

【解析】分析：由条件可得，然后可得答案.

详解：设的公比为，由可得，即，所以，

故答案为：（取一个值即可）

9．【答案】

【解析】分析：由，，利用“ ”法求解,

详解：设等比数列的公比为，

因为，，

所以，

解得，

则.

所以的前项和为.

故答案为：

10．【答案】1010

【解析】分析：由题设知每次的增量是前一次增量的倍，增量通项为，进而可得，结合题设恒成立即可求最大的正整数a.

详解：由题设知：且，

图2相对图1：线段长度之和的增量为，

图3相对图2：线段长度之和的增量为，

图4相对图3：线段长度之和的增量为，

图n相对图：线段长度之和的增量为，

∴，要使对任意的正整数n成立，

∴，即，又a为正整数，

∴.

故答案为：1010.

【点睛】

关键点点睛：根据题意写出线段和在每次操作后增量的通项，进而得到第n次线段和，结合数列不等式恒成立求参数的最大值.

11．【答案】或

【解析】分析：令，根据为等比数列，求出通项公式，由利用等比数列的求和公式计算即可得解.

详解：，，， 为等比数列，

令，则，

公比，

.

故答案为：或

12．【答案】2340

【解析】分析：1000=,然后仿照题中给出的方法计算，可以借助以等比数列的求和公式简化计算.

详解：1000=,

所有正约数之和为,

故答案为：2340.

13．【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】分析：由正三棱锥及()可知是等腰三角形，则可得数列是一个以为首项，为公比的等比数列.

（1）可推知时，三棱锥为棱长为1的正四面体，则可求出其高．底面积，从而求出体积；

（2）是一个只有两个元素的有限集等价于且，由等比数列的可分别求出和，解不等式组，即可求出的范围；

（3）根据是一个无限集可知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果.

详解：点是正三棱锥棱上异于的一点，

且()

是等腰三角形，且．为两腰

又正三棱锥中，，

，

，

则数列是一个以为首项，

为公比的等比数列，

（1）当时，，

且，则三棱锥为正四面体，

其高，底面积，

故其体积；

（2）是一个只有两个元素的有限集，

，即

由，

得，，

由解得

；

（3）是一个无限集，且，

则数列是一个以为首项，

为公比的无穷等比数列，

.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是发现是等腰三角形，且．为两腰，从而得到，则可得知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列.

14．【答案】3

【解析】分析：设的公比为，由，，解得和，

由数列是等比数列，用公式法求和，解不等式求出n.

详解：已知为等比数列，设其公比为，由得，，，解得，又．∴．

因为，所以数列也是等比数列，其首项为，公比为．

∴，从而有．

∴．故．

故答案为：3.

【点睛】

等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．

15．【答案】1或

【解析】分析：先根据，，得到，再由求解.

详解：在等比数列中，，，

所以，

所以，即，

解得或.

故答案为：1或.

16．【答案】（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）

【解析】分析：根据等比数列的性质，可得，根据，不妨令，根据等比数列通项公式，即可得答案.

详解：因为为正项等比数列，所以，

所以，又，不妨令，

所以.

故答案为：（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）

17．【答案】

【解析】分析：由得，从而可得数列是等比数列，求得通项后，结合和与项的关系可得．

详解：解：数列的前项和为，若，，，

整理得，

故，

由于，

所以，

故，①，

整理得，

故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

故（首项符合通项），

所以：．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列的通项与和的关系，解题关键是是得出后，把化为，从而得出数列的递推关系，得其为等比数列，易于求解．在与的相互转化中注意相互性，主要看怎样转化得解题．

18．【答案】1

【解析】分析：将分别用前项和表示，然后根据等式的特征，可得，再解方程即可.

详解：令等比数列的首项为，等差数列的首项为，

所以

所以，

因此.

故答案为：1.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是运用等比数列及等差数列的前项和公式，然后建立方程组.