高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式同步练习题

这是一份高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式同步练习题，共4页。

A.a＝4 B．a＝ eq \r(2)
C．a＝－ eq \r(2) D．a＝± eq \r(2)
2．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋ eq \f(4,a) ≥4 B．a2＋b2≥4ab
C． eq \r(ab) ≥ eq \f(a＋b,2) D．x2＋ eq \f(3,x2) ≥2 eq \r(3)
3．若a，b都为正实数且a＋b＝1，则2ab的最大值是( )
A． eq \f(2,9) B． eq \f(1,8) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
4．已知p＝a＋ eq \f(1,a－2) (a＞2)，q＝－b2－2b＋3(b∈R)，则p，q的大小关系为( )
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q
5．(多选)已知两个不为零的实数x，y满足x＞y，则下列结论正确的是( )
A． eq \f(1,x) ＞ eq \f(1,y) B． eq \f(1,x) ＜ eq \f(1,y)
C． eq \f(|x|,|y|) ＋ eq \f(|y|,|x|) ≥2 D．( eq \f(x＋y,2) )2＜ eq \f(x2＋y2,2)
6．函数f(x)＝ eq \f(x,2) ＋ eq \f(2,x) (x＞0)的最小值是________．
7．已知t>0，则函数y＝ eq \f(t2－4t＋1,t) 的最小值为________．
8．已知x>0，求x－1＋ eq \f(2,x) 的最小值．
甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误．
请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误的原因．
9.已知x，y，z都是正实数，若xyz＝1，则(x＋y)(y＋z)(z＋x)的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
10．[2022·湖北武昌高一期末](多选)下列说法正确的是( )
A．x＋ eq \f(1,x) (x＞0)的最小值是2
B． eq \f(x2＋2,\r(x2＋2)) 的最小值是 eq \r(2)
C． eq \f(x2＋5,\r(x2＋4)) 的最小值是2
D．2－3x－ eq \f(4,x) 的最小值是2－4 eq \r(3)
11．已知a，b均为正数，且2a＋b＝4，则ab的最大值为________，a2＋b2的最小值为________．
12．已知a>0，b>0，c>0，且abc＝1，求证： eq \r(a) ＋ eq \r(b) ＋ eq \r(c) ≤ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,c) .
13.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
课时作业(十) 基本不等式
1．解析：此不等式等号成立的条件为a2＝ eq \f(4,a2) ，即a＝± eq \r(2) .
答案：D
2．解析：a＜0，则a＋ eq \f(4,a) ≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则 eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) ，故C；由基本不等式可知D项正确．
答案：D
3．解析：因为a，b都为正实数，a＋b＝1，
所以2ab≤2×( eq \f(a＋b,2) )2＝ eq \f(1,2) ，
当且仅当a＝b，即a＝ eq \f(1,2) ，b＝ eq \f(1,2) 时，2ab取最大值 eq \f(1,2) .
答案：D
4．解析：因为a＞2，可得p＝a＋ eq \f(1,a－2) ＝(a－2)＋ eq \f(1,a－2) ＋2≥2 eq \r(（a－2）·\f(1,a－2)) ＋2＝4，
当且仅当a－2＝ eq \f(1,a－2) 时，即a＝3时，等号成立，即p≥4，
又由q＝－b2－2b＋3＝－(b＋1)2＋4，所以q≤4，
所以p≥q.
答案：A
5．解析：当x＞y＞0时，得 eq \f(1,x) ＜ eq \f(1,y) ，A错；
当x＞0＞y时， eq \f(1,x) ＞ eq \f(1,y) ，B错；
eq \f(|x|,|y|) ＞0， eq \f(|y|,|x|) ＞0， eq \f(|x|,|y|) ＋ eq \f(|y|,|x|) ≥2 eq \r(\f(|x|,|y|)·\f(|y|,|x|)) ＝2，当且仅当|x|＝|y|时，等号成立．C正确；
x，y是实数，则x2＋y2≥2xy，2(x2＋y2)≥x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2，所以( eq \f(x＋y,2) )2≤ eq \f(x2＋y2,2) ，当且仅当x＝y时等号成立，D正确．
答案：CD
6．解析：因为x＞0，
所以f(x)＝ eq \f(x,2) ＋ eq \f(2,x) ≥2 eq \r(\f(x,2)·\f(2,x)) ＝2，
当且仅当 eq \f(x,2) ＝ eq \f(2,x) ，即x＝2时，取等号，
所以函数f(x)＝ eq \f(x,2) ＋ eq \f(2,x) (x＞0)的最小值为2.
答案：2
7．解析：∵t>0，∴y＝ eq \f(t2－4t＋1,t) ＝t＋ eq \f(1,t) －4≥2－4＝－2，当且仅当t＝ eq \f(1,t) ，即t＝1时，等号成立．
答案： －2
8．解析：甲同学的解答是错误的，
x－1＋ eq \f(2,x) ≥2 eq \r(（x－1）·\f(2,x)) 不对，
不满足基本不等式：“一正二定三相等”中，“定”的要求，即积不是定值，不可以这样求解．
9．解析：由x＞0，y＞0，z＞0可知
x＋y≥2 eq \r(xy) ＞0(当且仅当x＝y时等号成立)
y＋z≥2 eq \r(yz) ＞0(当且仅当y＝z时等号成立)
x＋z≥2 eq \r(xz) ＞0(当且仅当x＝z时等号成立)
以上三个不等式两边同时相乘，可得
(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8 eq \r(x2y2z2) ＝8(当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立)
答案：D
10．解析：当x＞0时，x＋ eq \f(1,x) ≥2 eq \r(x·\f(1,x)) ＝2(当且仅当x＝ eq \f(1,x) ，即x＝1时取等号)，A正确；
eq \f(x2＋2,\r(x2＋2)) ＝ eq \r(x2＋2) ，因为x2≥0，所以 eq \f(x2＋2,\r(x2＋2)) ＝ eq \r(x2＋2) ≥ eq \r(2) ，B正确；
eq \f(x2＋5,\r(x2＋4)) ＝ eq \f(x2＋4＋1,\r(x2＋4)) ＝ eq \r(x2＋4) ＋ eq \f(1,\r(x2＋4)) ≥2，当且仅当 eq \r(x2＋4) ＝ eq \f(1,\r(x2＋4)) ，即x2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当x＝1时，2－3x－ eq \f(4,x) ＝2－3－4＝－5<2－4 eq \r(3) ，D错误．
答案：AB
11．解析：由题意，得4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab) ，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立，
所以0a2＋b2＝a2＋(4－2a)2＝5a2－16a＋16＝5(a－ eq \f(8,5) )2＋ eq \f(16,5) ≥ eq \f(16,5) ，当a＝ eq \f(8,5) ，b＝ eq \f(4,5) 时取等号．
答案：2 eq \f(16,5)
12．解析：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ≥2 eq \r(\f(1,ab)) ＝2 eq \r(c) ， eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,c) ≥2 eq \r(\f(1,bc)) ＝2 eq \r(a) ， eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,c) ≥2 eq \r(\f(1,ac)) ＝2 eq \r(b) ，
以上三个不等式相加，得
2( eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,c) )≥2( eq \r(a) ＋ eq \r(b) ＋ eq \r(c) )，即 eq \r(a) ＋ eq \r(b) ＋ eq \r(c) ≤ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,c) .当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．
13．解析：∵a＋b≥2 eq \r(ab) ，∴ab≤( eq \f(a＋b,2) )2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
∵c＋d≥2 eq \r(cd) ，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时取等号．
故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．
答案：A
练 基 础
甲同学的解答：
因为x＞0，
所以x－1＋ eq \f(2,x) ≥2 eq \r(（x－1）·\f(2,x)) .
上式中等号成立当且仅当x－1＝ eq \f(2,x) ，即x2－x－2＝0，
解得x1＝2，x2＝－1(舍).
当x＝2时，2 eq \r(（x－1）·\f(2,x)) ＝2.
所以当x＝2时，x－1＋ eq \f(2,x) 的最小值为2.
乙同学的解答：
因为x＞0，
所以x－1＋ eq \f(2,x) ＝x＋ eq \f(2,x) －1≥2 eq \r(x·\f(2,x)) －1＝2 eq \r(2) －1.
上式中等号成立当且仅当x＝ eq \f(2,x) ，即x2＝2，解得x1＝ eq \r(2) ，x2＝－ eq \r(2) (舍).
所以当x＝ eq \r(2) 时，x－1＋ eq \f(2,x) 的最小值为2 eq \r(2) －1.
提 能 力
培 优 生