数学北师大版3.2基本不等式与最大(小)值综合训练题

课时分层作业(十九)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)

A．3　　　　　 B．3－2

C．3－2 D．－1

C　[y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，

当且仅当3x＝，即x＝时取等号．]

2．函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)

A．－3 B．3

C．4 D．－4

B　[因为x＋＋5

＝(x－1)＋＋6

≥2 ＋6＝8.

所以log2≥3，所以ymin＝3.

当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．]

3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16 B．25

C．9 D．36

B　[(1＋x)(1＋y)≤2

＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]

4．已有x>1，y>1且xy＝16，则log2x·log2y(　　)

A．有最大值2 B．等于4

C．有最小值3 D．有最大值4

D　[因为x>1，y>1，

所以log2x>0，log2y>0.

所以log2x·log2y≤2

＝2＝4，

当且仅当x＝y＝4时取等号．

故选D.]

5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝(　　)

A．－3 B．2

C．3 D．8

C　[y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2 －5＝2×3－5＝1.当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.]

二、填空题

6．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________．

2　[①当x∈(0,2)时，x,4－2x＞0，f(x)＝x(4－2x)≤2＝2，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立．

②当x≤0或x≥2时，f(x)≤0，故f(x)max＝2.]

7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．

　[设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.]

8．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．

8　[因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.]

三、解答题

9．已知x，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．

[解]　因为x，y是正实数，故30＝x＋2y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝2y，

即x＝6，y＝3时，等号成立．

所以xy＋2－30≤0.

令＝t，则t＞0，得t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3.

又t＞0，知0＜≤3，

即xy的范围是(0,18]．

10．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．

[解]　因为x＋y＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，

当且仅当＝，即＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为(＋)2＝18，

又a＋b＝10，所以ab＝16.

所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.

[能力提升练]

1．已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是(　　)

A． B．－

C．1 D．－1

A　[∵a⊥b则a·b＝0，∴4(x－1)＋2y＝0，

∴2x＋y＝2，

∴xy＝(2x)·y≤·2＝，当且仅当2x＝y时，等号成立．]

2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)

A．   B．

C．2 D．4

D　[圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，

∴a＋b＝1，

∴＋＝(a＋b)

＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．]

3．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．

9　[∵x>－1，∴x＋1>0，

设x＋1＝t>0，则x＝t－1，

于是有y＝＝＝t＋＋5

≥2 ＋5＝9，

当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时x＝1.

∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.]

4．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图像如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．

5　[二次函数顶点为(6,11)，设为y＝a(x－6)2＋11，代入(4,7)得a＝－1，

∴y＝－x2＋12x－25，年平均利润为＝＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]

5．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

[解]　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得，

f(x)＝Q(x)＋

＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N＋)，

f(x)＝50x＋＋3 000

≥2 ＋3 000＝5 000(元)．

当且仅当50x＝，即x＝20时，上式取“＝”．因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．