2020-2021学年3.1基本不等式达标测试

课时分层作业(十八)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(　　)

A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

B　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.]

2．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)

A．m>n B．m<n

C．m＝n D．不确定

A　[因为a>2，所以a－2>0.

又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．

即m∈[4，＋∞]，由b≠0得b2≠0，

所以2－b2<2.所以22－b2<4，即n<4.

所以n∈(0,4)，综上易知m>n.]

3．下列不等式中正确的是(　　)

A．a＋≥4

B．a2＋b2≥4ab

C．≥

D．x2＋≥2

D　[若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则<，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．]

4．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与的大小关系是(　　)

A．s＝ B．s≤

C．s> D．s≥

B　[由已知得(1＋s%)2

＝(1＋p%)(1＋q%)≤2＝2，

于是1＋s%≤1＋.

故s≤.]

5．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(x，y>0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为(　　)

A．M<N<P

B．N<P<M

C．P<M<N

D．P<N<M

D　[由基本不等式可知≥＝()x＋y＝3≥3，因为x≠y，所以等号不成立，故P<N<M.]

二、填空题

6．若a<1，则a＋与－1的大小关系是________．

a＋≤－1　[因为a<1，

即a－1<0，

所以－＝(1－a)＋

≥2＝2.即a＋≤－1.]

7．已知a>b>c，则与的大小关系是________．

≤　[因为a>b>c，

所以a－b>0，b－c>0.

≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.]

8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．

≤　[因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，

又a>0，所以a>1，

因为t>0，所以≥，

所以loga≥loga＝logat.]

三、解答题

9．设x>0，求证：x＋≥.

[证明]　因为x>0，所以x＋>0，

所以x＋＝x＋

＝x＋＋－

≥2－＝.

当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立．

所以x＋≥.

10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.

求证：＋＋<＋＋.

[证明]　因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，

所以＋≥2＝2，

＋≥2＝2，

＋≥2＝2，

以上三个不等式相加，得

2≥2(＋＋)，

又因为a，b，c不全相等的正实数，所以＋＋<＋＋.

[能力提升练]

1．设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)

A．q＝r＜p B．q＝r＞p

C．p＝r＜q D．p＝r＞q

C　[∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，

故f＞f()，即q＞p.

又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]

2．给出下面四个推导过程：

①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；

②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；

③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；

④∵x、y∈R，xy＜0，∴＋

＝－≤－2

＝－2.

其中正确的推导为(　　)

A．①②　　　　 B．②③

C．③④ D．①④

D　[①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．

②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，

故②的推导过程是错误的．

③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，

∴＋a≥2＝4是错误的．

④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．]

3．若0<a<b，且a＋b＝1，则a，，2ab，a2＋b2中最大的是________．

a2＋b2　[因为0<a<b，且a＋b＝1，所以a<，a2＋b2>＝，2ab＝2a(1－a)＝－2(a－)2＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的是a2＋b2.]

4．已知函数f(x)＝x，a，b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是___________________________________________．

C≥B≥A　[≤≤≤，又∵f(x)＝x为减函数，

∴f≥f()≥f，即C≥B≥A.]

5．设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋ay)＜＋loga2.

[证明]　∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2，

又∵0＜a＜1，

∴loga(ax＋ay)≤loga2＝logaax＋y＋loga2＝(x＋y)＋loga2.

∵y＋x2＝0，∴loga(ax＋ay)≤(x－x2)＋loga2＝

－2＋＋loga2≤＋loga2，

又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证.