2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共58页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 如图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A. B. C. D.
2. 已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. -1 D. 1
3. 对于二次函数y=2(x﹣1)2﹣8，下列说确的是（　　）
A. 图象的开口向下 B. 当x=﹣1时，取得最小值为y=﹣8
C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=﹣1
4. 如图，O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）

A. 34° B. 35° C. 43° D. 44°
5. 口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列中，发生的可能性为1的是（ ）
A. 从口袋中拿一个球恰为红球 B. 从口袋中拿出2个球都是白球
C. 拿出6个球中至少有一个球是红球 D. 从口袋中拿出5个球恰为3红2白
6. 如图，在△ABC中，D在AB上，E在AC上，F在BC上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论一定正确的是（　　）

A B. C. D.
7. 在△ABC中，若tanA＝1，si＝，你认为最确切的判断是(　　)
A. △ABC是等腰三角形 B. △ABC是等腰直角三角形
C. △ABC是直角三角形 D. △ABC是一般锐角三角形
8. 函数与二次函数在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　）

A. 1 B. 1.2 C. 2 D. 3
10. 如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E，F分别是AD，AC上动点，则的最小值为　　

A. B. C. D. 6
二、填 空 题（每题5分，共20分）
11. 如图，点A在反比例函数的图像上，AB⊥x轴，垂足为B，且，则_____ ．

12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧的长为_____（保留π）

13. 已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，写出S1与S2的关系式__________
14. 如图,在菱形ABCD中，sinD=,E、F分别是AB,CD上的点，BC=5，AE=CF=2，点P是线段EF上一点，则当△BPC时直角三角形时，CP的长为____________

三、解 答 题（共90分）
15. 计算：．
16. 如图，在边长为1正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．

17. 如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果到0.1m．参考数据：≈1.73）

18. 如图，已知反比例函数y1＝与函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出没有等式≤x+b的解．

19. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
20. 如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．

21. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷，将统计数据绘制成如图两幅没有完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．

（1）m= %，这次共抽取了 名学生进行；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
22. 某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场整理出如下信息：
①该产品90天内日量（m件）与时间（第 x天）满足函数关系，部分数据如下表：
时间（第 x 天
） 1
3
6
10
…
日量（m件）
198
194
188
180
…
②该产品 90 天内每天的价格与时间（第 x 天）的关系如下表：
时间（第 x 天）
1≤x＜50
50≤x≤90
价格（元/件）
x+60
100
（1）求m关于x的函数表达式；
（2）设该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的利润？利润是多少？
（3）在该产品的过程有多少天利润没有低于5400元，请直接写出结果．
23. 提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：
（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如没有能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．











2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 如图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】解：从上边看是一个同心圆，內圆是虚线，故选D．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，注意看得到的线用虚线．
2. 已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. -1 D. 1
【正确答案】B

【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.
【详解】∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a=﹣2，b=﹣1，
∴a+b=﹣3.
故选B.
关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
3. 对于二次函数y=2(x﹣1)2﹣8，下列说确的是（　　）
A. 图象的开口向下 B. 当x=﹣1时，取得最小值为y=﹣8
C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=﹣1
【正确答案】C

【详解】分析：利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案．
详解：A、y=2（x-1）2-8，
∵a=2＞0，
∴图象的开口向上，故本选项错误；
B、∵y=2（x-1）2-8，
∴当x=1时，取得最小值为y=-8，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x=1，开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、图象的对称轴是直线x=1，故本选项错误；
故选C．
点睛：本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=a（x-h）2+k，当a＞0时，抛物线开口向上，当x=h时，函数y有最小值k；对称轴是直线x=h；当x＜h时，y随x的增大而减小．
4. 如图，O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）

A. 34° B. 35° C. 43° D. 44°
【正确答案】B

【分析】由∠A=42°∠D=∠A可得∠D=42°，再∠APD=∠B+∠D，即可求得∠B的度数．
【详解】解：∵∠D=∠A，∠A=42°，
∴∠D=42°，
又∵∠APD=∠B+∠D=77°，
∴∠B=77°-42°=35°
故选：B．
本题考查圆周角定理及三角形外角性质，熟悉“在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”和“三角形的一个外角等于没有相邻两个内角的和”是解答本题的关键．
5. 口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列中，发生的可能性为1的是（ ）
A. 从口袋中拿一个球恰为红球 B. 从口袋中拿出2个球都是白球
C. 拿出6个球中至少有一个球是红球 D. 从口袋中拿出的5个球恰为3红2白
【正确答案】C

【详解】对于A，从口袋中拿一个球恰为红球，可能性小于1,故没有符合题意；
对于B，从口袋中拿出2个球都是白球，这是一个随机，发生的可能性小于1,故没有符合题意；
对于C，拿出6个球中，至少有一个球是红球是正确的，因为蓝球3个，白球5个，如果在极端情况下，这6个球尽可能的没有是红球，那么至多有五个没有是红球，至少有一个是红球，所以C正确.
对于D, 从口袋中拿出的5个球恰为3红2白是一个随机,可能性小于1,故没有符合题意.
故选C.
6. 如图，在△ABC中，D在AB上，E在AC上，F在BC上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论一定正确的是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：根据DE∥BC、EF∥AB可得出△ADE∽△ABC、△EFC∽△ABC、四边形BFED为平行四边形，再根据相似三角形的性质平行四边形的性质可得出．
详解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BFED为平行四边形，
∴△ADE∽△EFC，DE=BF，
∴，即．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，根据相似三角形的性质平行四边形的性质找出是解题的关键．
7. 在△ABC中，若tanA＝1，si＝，你认为最确切的判断是(　　)
A. △ABC是等腰三角形 B. △ABC是等腰直角三角形
C. △ABC是直角三角形 D. △ABC是一般锐角三角形
【正确答案】B

【分析】试题分析：由tanA=1，si=角的锐角三角函数值可得∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状.
【详解】∵tanA=1，si=
∴∠A=45°，∠B=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
故选B.
考点：角的锐角三角函数值
点评：本题是角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选一选、填 空 题形式出现，难度一般.
8. 函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出函数图象的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴函数图象应该过、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
本题主要考查二次函数图象与函数图象的综合，掌握二次函数与函数系数与图象的关系，是解题的关键．
9. 如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　）

A. 1 B. 1.2 C. 2 D. 3
【正确答案】A

【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=-5x，
∴CE=28-25x，
∵AC=4，
∴x+28-25x=4，
解得：x=1．
故选：A．
题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．
10. 如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则的最小值为　　

A. B. C. D. 6
【正确答案】C

【详解】解：如图所示：在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD于点E．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10．
∵AC=AC′，∠CAD=∠C′AD，AE=AE，
∴△AEC≌△AEC′，
∴CE=EC′，∴CE+EF=C′E+EF，
∴当C′F⊥AC时，CE+EF有最小值．
∵C′F⊥AC，BC⊥AC，
∴C′F∥BC，
∴△AFC′∽△ACB，
∴，即，解得FC′=．
故选C．

二、填 空 题（每题5分，共20分）
11. 如图，点A在反比例函数的图像上，AB⊥x轴，垂足为B，且，则_____ ．

【正确答案】8

【分析】由=4，根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去值即可得到满足条件的的值．
【详解】∵=4，
∴，
∵点A在象限，
∴，
∴．故8．
本题综合考查了反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数的系数的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键．
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧的长为_____（保留π）

【正确答案】

【详解】分析：连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，然后利用弧长公式l=来计算劣弧的长．
详解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴劣弧的长为：．
故答案为．
点睛：本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC=60°是解题的关键所在．
13. 已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，写出S1与S2的关系式__________
【正确答案】

【详解】分析：根据黄金分割的概念知AP：AB=PB：AP，即AP2=PB•AB，再根据等边三角形与直角三角形的性质分别表示出S1与S2，即可得解．
详解：根据黄金分割的概念得：AP：AB=PB：AP，即AP2=PB•AB，
∵S1=AP2，S2=PB•AB，
∴．
故答案为．
点睛：此题主要考查了黄金分割的概念，等边三角形与直角三角形的性质，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
14. 如图,在菱形ABCD中，sinD=,E、F分别是AB,CD上的点，BC=5，AE=CF=2，点P是线段EF上一点，则当△BPC时直角三角形时，CP的长为____________

【正确答案】4或或

【详解】分析：根据∠D的正弦求出以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4，然后以DC所在的直线为x轴，点F为坐标原点建立平面直角坐标系，根据菱形的对角线互相垂直平方可知点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°，点P与点E重合时∠BPC=90°；∠BCP=90°时写出点B、C的坐标，利用待定系数法求函数解析式求出直线OE、BC的解析式，再求出CP的解析式，然后联立直线OE、CP的解析式求出点P的坐标，再利用勾股定理列式计算即可求出CP．
详解：∵sin∠D=，菱形边AD=BC=5，
∴以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4
如图，以DC所在的直线为x轴，点F为坐标原点建立平面直角坐标系，

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°，
此时，CP=AC=×，
点P与点E重合时∠BPC=90°，
此时，CP=4；
∠BCP=90°时，由图可知，点B（5，4）、C（2，0），
易求直线OE的解析式为y=2x，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线BC的解析式为y=x-，
∵CP⊥BC，
∴设直线CP的解析式为y=-x+c，
将点C（2，0）代入得，-×2+c=0，
解得c=，
所以，直线CP的解析式为y=-x+，
联立，解得，
所以，点P的坐标为，
此时，CP=，
综上所述，当△BPC是直角三角形时，CP的长为或4或．
故答案为或4或．
点睛：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标的方法，难点与解题的关键在于考虑利用平面直角坐标系求解，注意要分情况讨论．
三、解 答 题（共90分）
15. 计算：．
【正确答案】1

【详解】分析：
代入45°角的余弦函数值，“零指数幂的意义”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”计算即可.
详解：
原式，
，
．
故答案为1．  
点睛：熟记“45°角的余弦函数值”、“零指数幂的意义：”及“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键.
16. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，28．

【分析】（1）画出A、B、C关于x轴对称点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形．
如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，
∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），
∴=8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10=28．

本题考查作图﹣位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．
17. 如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果到0.1m．参考数据：≈1.73）

【正确答案】观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m

【详解】试题分析：过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB=AB=65m，AD=BD=65m．再解Rt△ADC，得出CD=AD=65m，根据BC=BD+CD即可求解．
试题解析：解：如图，过A作AD⊥BC于D．根据题意，得∠ABC=40°+20°=60°，AB=130m．
在Rt△ADB中，∵∠DAB=30°，∴DB=AB=×130=65m，AD=BD=65m．
∵∠BAC=180°﹣65°﹣40°=75°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣75°=45°．
在Rt△ADC中，∵tanC==1，∴CD=AD=65m，∴BC=BD+CD=65+65≈177.5m．
故观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m．

点睛：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
18. 如图，已知反比例函数y1＝与函数y2＝k2x+b图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出没有等式≤x+b的解．

【正确答案】（1）k1=8，k2=2，b=6；（2）15；（3）-4≤x＜0或x≥1

【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数的解析式，可得出反比例函数解析式，再点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）先求出函数图像与y轴的交点坐标，再将△AOB的面积分成两个小三角形面积分别求解即可；
（3）根据两函数图像的上下位置关系即可得出没有等式的解集．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=与函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（-4，m），
∴k1=1×8=8，m=8÷（-4）=-2，
∴点B的坐标为（-4，-2）．
将A（1，8）、B（-4，-2）代入y2=k2x+b中， ，解得：．
∴k1=8，k2=2，b=6．
（2）当x=0时，y2=2x+6=6，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，6）．
∴S△AOB=×6×4+×6×1=15．
（3）观察函数图象可知：当-4＜x＜0或x＞1时，函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴没有等式x+b的解为-4≤x＜0或x≥1．
本题考查了函数和反比例函数的综合题，求解析式，函数与没有等式的关系，关键是正确理解没有等式与函数的关系以及运用分割的方法算三角形的面积
19. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）由平行的性质条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论；
（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由直角三角形的性质勾股定理可求得AE．
试题解析：
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=．
20. 如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（1）连接OD，如图，先证明∠CDA=∠ODB，再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，则∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由于∠CDA=∠ODB，则tan∠CDA=tan∠ABD=，根据正切的定义得到tan∠ABD=，接着证明△CAD∽△CDB，由相似的性质得，然后根据比例的性质可计算出CD的长．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，

∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠CDA=∠ODB，
∴tan∠CDA=tan∠ABD=，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=，
∵∠DAC=∠BDC，∠CDA=∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD=×6=4．
本题考查了切线的判定：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．
21. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷，将统计数据绘制成如图两幅没有完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．

（1）m= %，这次共抽取了 名学生进行；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【正确答案】（1）20；50；（2）360；（3）.

【分析】（1）首先由条形图与扇形图可求得；由跳绳的人数有4人，占的百分比为，可得总人数；
（2）由，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；
（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解】解：（1）；
跳绳的人数有4人，占的百分比为，
；
故20，50；
如图所示；（人．

（2）；
故360；
（3）列表如下：

男1
男2
男3
女
男1

男2，男1
男3，男1
女，男1
男2
男1，男2

男3，男2
女，男2
男3
男1，男3
男2，男3

女，男3
女
男1，女
男2，女
男3，女

所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
抽到一男一女的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识，解题的关键是注意列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的，树状图法适合两步或两步以上完成的．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22. 某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场整理出如下信息：
①该产品90天内日量（m件）与时间（第 x天）满足函数关系，部分数据如下表：
时间（第 x 天
） 1
3
6
10
…
日量（m件）
198
194
188
180
…
②该产品 90 天内每天的价格与时间（第 x 天）的关系如下表：
时间（第 x 天）
1≤x＜50
50≤x≤90
价格（元/件）
x+60
100
（1）求m关于x的函数表达式；
（2）设该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的利润？利润是多少？
（3）在该产品的过程有多少天利润没有低于5400元，请直接写出结果．
【正确答案】（1）m=-2x+200；（2）在90天内该产品第40天的利润，利润是7200元；（3）在该产品的过程有46天利润没有低于5400元．

【详解】试题分析：（1）根据待定系数法解出函数解析式即可；
（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=-2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=-120x+12000，分别求出各段上的值，比较即可得到结论；
（3）直接写出在该产品的过程有46天利润没有低于5400元．
试题解析：（1）∵m与x成函数，
∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：

解得：．
所以m关于x的函数表达式为m=-2x+200；
（2）设该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：，
当1≤x＜50时，y=-2x2+160x+4000=-2（x-40）2+7200，
∵-2＜0，
∴当x=40时，y有值，值是7200；
当50≤x≤90时，y=-120x+12000，
∵-120＜0，
∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值，值是6000；
综上所述，当x=40时，y的值，值是7200，即在90天内该产品第40天的利润，利润是7200元；
（3）在该产品的过程有46天利润没有低于5400元．
考点：二次函数的应用．
23. 提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：
（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如没有能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）没有会；（3）答案见解析．

【详解】分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段AC的中垂线BD即可．
（2）小华没有会成功．直线CD可能平分△ABC的面积，若也平分周长，则AC=BC，与题中的AC≠BC冲突，故没有会成功；
（3）①若直线顶点，则AC边上的中垂线即为所求．②若直线没有过顶点，可分以下三种情况考虑：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直线与AB、AC分别交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，此种情况没有存在．则符合条件的直线共有三条．
详解：（1）作线段AC的中垂线BD即可．
（2）小华没有会成功．
若直线CD平分△ABC的面积，过C作CE⊥AB于E，那么S△ADC=S△DBC，
∴AD•CE=BD•CE，
∴BD=AD．
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴小华没有会成功．

（3）①若直线顶点，则AC边上的中垂线即为所求．
②若直线没有过顶点，可分以下三种情况：
（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图1所示．
过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G．
易求，BG=4，AG=CG=3．
设CF=x，则CE=8﹣x，由△CEH∽△CBG，可得EH=．
根据面积相等，可得，∴x=3（舍去，即为①）或x=5，
∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．
（b）直线与AB、AC分别交于M、N，如图2所示．
由（a）可得：AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．
（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，如图3所示．
过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X．
由面积法可得：AY=，设BP=x，则BQ=8﹣x，
由相似，可得PX=，根据面积相等，可得，
∴（舍去），或．
而当BP=时，BQ=，舍去，∴此种情况没有存在．
综上所述：符合条件的直线共有三条．

点睛：本题主要考查了相似三角形综合应用以及相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论的数学思想得出是解题的关键．





























2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列函数中是二次函数的是　　
A. B. C. D.
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为(　 　)

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
4. 抛物线顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）
A. B. C. D.
6. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
7. 已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（ ）
A B. C. 3 D. 2
8. 已知，如图，AB是⊙O直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（　　）

A. 75° B. 65° C. 60° D. 50°
9. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（　　）


A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
10. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）


A. 110° B. 120° C. 150° D. 160°
11. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）

A. 10 B. 18 C. 20 D. 22
12. 如图，点A在双曲线y=的象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（ ）

A. 16 B. C. D. 9
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 如果抛物线y＝（m﹣1）x2有点，那么m的取值范围为_____．
14. 如图，已知反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
15. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.

16. 已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．
17. 在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是_____．
18. 如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（没有与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=_____．

19. 如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是______.

20. 已知抛物线A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的值为_____．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分）
21. 甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转)．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．

（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
22. 如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到时，求点P的坐标．

23. 已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．

（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
24. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．

25. 已知，在△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′，BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．

26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是x轴下方抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？












2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列函数中是二次函数的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据二次函数的定义逐个分析即可.
【详解】A. 是函数；
B. ，是三次函数；
C. =2x+1，是函数；
D. ，是二次函数.

故选D
本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数的定义.
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为(　 　)

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【正确答案】B

【详解】∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC=6.
故选B.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】已知抛物线解析式顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】∵二次函数的解析式为，
∴其顶点坐标为：(4,5).
故选A.
考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为
5. 从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵在 这5个数中只有0、3.14和6有理数，
∴从这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．
故选C．
6. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
【正确答案】D

【分析】根据反比例函数的单调性反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1-m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出1-m＞0．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键．
7. 已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（ ）
A. B. C. 3 D. 2
【正确答案】A

【详解】如图OA=2，求AB长，
∠AOB=360°÷3=120°
连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，

∵OA=OB，
∴AB=2AC,∠AOC=60°，
∴AC=OA×sin60°=cm，
∴AB=2AC=2cm，
故选A.
8. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（　　）

A. 75° B. 65° C. 60° D. 50°
【正确答案】B

【详解】因为AB是⊙O的直径，所以求得∠ADB=90°，进而求得∠B的度数，又因为∠B=∠C，所以∠C的度数可求出．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BAD=25°，
∴∠B=65°，
∴∠C=∠B=65°（同弧所对的圆周角相等）．
故选B．

9. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（　　）


A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
【正确答案】D

【详解】∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠CAC′=40°，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∵CC′∥AB，
∴∠BAC=∠ACC′=70°，
故选：D.
10. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）


A. 110° B. 120° C. 150° D. 160°
【正确答案】A

【详解】设C′D′与BC交于点E,如图所示：


∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=110°，
∴∠1=∠BED′=110°.
故选：A.
11. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）

A. 10 B. 18 C. 20 D. 22
【正确答案】C

【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10
＝20．
故选：C．
本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB．
12. 如图，点A在双曲线y=的象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（ ）

A 16 B. C. D. 9
【正确答案】B

详解】试题解析：连DC，如图，

∵AE=3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，
而点D为OB的中点，
∴BD=OD=b，
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，
∴ab=，
把A（a，b）代入双曲线y=，
∴k=ab=．
故选B．
考点：反比例函数综合题.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 如果抛物线y＝（m﹣1）x2有点，那么m的取值范围为_____．
【正确答案】m＞1

【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=（m－1）x2有点，
∴m－1＞0，
解得：m＞1．
故答案为m＞1．
本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 如图，已知反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
【正确答案】-2

【详解】解：设点A的坐标为(m，n)，因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，
∴=2，
∴=2，
∴k=±2，
由函数图象位于第二、四象限知k<0，
∴k=-2．
故-2．
15. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.

【正确答案】8.5

【分析】先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE=AB-AE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得AB=10.5，
∴DE=AB-AE=10.5-2=8.5．
故8.5.
16. 已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．
【正确答案】5

【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，那么外接圆的半径等于斜边的一半，计算即可解答．根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．
【详解】∵三角形的三条边长分别为6，8，10，62+82=102，
∴此三角形是以10为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为10÷2=5．
故答案为5．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
17. 在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是_____．
【正确答案】

【详解】树状图如下：

对于A选手，进入下一轮比赛的概率是=.
故答案为.
18. 如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（没有与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=_____．

【正确答案】

【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°,从折叠知,∠DFE=∠A=60°，
在△BDF中,∠BDF+∠BFD=180°−∠B=120°,∠DFB+∠EFC=180°−∠DFE=120°，
∴∠BDF=∠EFC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△DBF∽△FCE.
∴,即，
解得CE=.
故答案为
19. 如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是______.

【正确答案】3

【详解】试题分析：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=3，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=3．

考点：旋转的性质；等边三角形的性质．
20. 已知抛物线A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的值为_____．
【正确答案】4

【详解】设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−2)，
将B(0,−4)代入得：−4=−8a,即a=，
则抛物线解析式为y=(x+4)(x−2)=x2+x−4；
过M作MN⊥x轴,

设M的横坐标为m,则M(m,m2+m−4)，
∴MN=|m2+m−4|=−m2−m+4，ON=−m，
∵A(−4,0),B(0,−4)，∴OA=OB=4，
∴S△AMB =S△AMN+S梯形MNOB−S△AOB
=×(4+m)×(−m2−m+4)+×(−m)×(−m2−m+4+4)−×4×4
=2(−m2−m+4)−2m−8
=−m2−4m
=−(m+2)2+4，
当m=−2时，S取得值，值为4.
故答案为4.
此题考查了二次函数综合题.涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，坐标与图形的性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键.
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分）
21. 甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转)．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．

（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
【正确答案】（1）(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿)共9种情况；（2）没有公平．

【分析】（1）采用画树状图的方法，列举出所有可能的情况；
（2）分别求出甲乙获胜的概率，然后比较判定游戏是否公平.
【详解】（1）树状图，如图所示：

(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿) 共9种情况；
（2）


所以游戏没有公平．
此题主要考查树状图列举的画法以及概率的应用，熟练掌握，即可解题.
22. 如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到时，求点P的坐标．

【正确答案】（1）反比例函数的解析式为y=﹣；（2）D（﹣2，）；﹣2＜x＜0或x＞3；（3）P（4，0）．

【详解】试题分析：（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数中，即可求得k的值；
（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；
（3）把A（1，a）是反比例函数的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵B（3，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴-1=，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为；
（2），
∴=，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y=，
∴D（－2，）；
y1＞y2时x的取值范围是-2；
（3）∵A（1，a）是反比例函数的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b,
，
∴，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
23. 已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．

（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）.

【详解】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠CAB．
∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE；
（2）∵△ABC∽△DAE.
∴．
∵AB=8，AD=6，AE=4，
∴．
∴．
24. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）4．

【分析】（1）证明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，证出BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F，求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt△CDF中，根据勾股定理得出x的值即可．
【详解】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，∵OB=OE，CB=CE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC于F；
如图所示：设CE=x，
∵CE，CB为⊙O切线
∴CB=CE=x
∵DE，DA为⊙O切线
∴DE=DA=1
∴DC=x+1
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形
∴DF=AB=4， BF=AD=1
∴FC=x﹣1
Rt△CDF中，根据勾股定理得：
解得：x=4，∴CE=4．

考点：切线的判定与性质．
25. 已知，在△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′，BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．

【正确答案】（1）证明见解析（2）①6②旋转角α为36°或72°

【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等∠B=∠C，再根据平行线的性质得出，∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，进一步得出结论；
（2）①求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
②把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF.
(2)①由旋转的性质得,∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
，
∴△CAE′≌△BAF′(SAS)，
∴CE′=BF′=6；
②由(1)可知AE=BC，
所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,点E的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以,∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°−72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述,当旋转角α为36°或72°.
26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？

【正确答案】（1）；（2）；（3），有5个．

【分析】（1）设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）设E（t，t2-2t-3），讨论：当03时，2（t-1）=t2-2t-3，然后分别解方程得到满足条件的t的值，再计算出对应的正方形的边长；
（3）设P（x，x2-2x-3），讨论：当-1 【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把C(0,−3)代入得−3a=−3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=(x+1)(x−3)，
即y=x2−2x−3；
(2)抛物线的对称轴为直线x=1，

设E(t,t2−2t−3)，
当0 ∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH,即2(1−t)=−(t2−2t−3)，
整理得t2−4t−1=0,解得t1=2+ (舍去),t2=2− (舍去)；
当1 ∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH,即2(t−1)=−(t2−2t−3)，
整理得t2−5=0,解得t1=,t2=− (舍去)，
此时正方形EFGH的边长为2−2；
当t>3时,EF=2(t−1),EH=t2−2t−3,
∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH,即2(t−1)=t2−2t−3，
整理得t2−4t−1=0,解得t1=2+,t2=2− (舍去)，
此时正方形EFGH的边长为2+2，
综上所述,正方形EFGH的边长为2−2或2+2；
(3)设P(x,x2−2x−3)，
当−1 ∵S△ABC=×4×3=6，
∴0 当0
易得直线AC的解析式为y=x−3,则M(x,x−3)，
∴PM=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x，
∴S△APC=×3(−x2+3x)=−x2+x=−(x−)2+，
当x=时,S△APC的面积的值为,即0 综上所述,0 ∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个.
本题考查了二次函数的综合题.熟练掌握正方形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会解一元二次方程；会运用分类讨论的思想解决数学问题.