2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学月考专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学月考专项提升模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学月考专项提升模拟题（A卷）　
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）
1. 下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 如果把分式中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定( )
A. 是原来的2倍 B. 是原来的4倍 C. 是原来的 D. 没有变
3. 要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A x＞3 B. x=3 C. x＜3 D. x≠3
4. 如图，▱ABCD的周长为20，AE平分∠BAD，若CE=2，则AB的长度是（　　）

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
5. 若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（　　）
A. 六边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
6. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D.
7. 若，则的值为（ ）
A. 12 B. 2 C. 3 D. 0
8. 下列各命题中，属于假命题的是（ ）
A. 若a－b＝0，则a＝b＝0 B. 若a－b＞0，则a＞b
C. 若a－b＜0，则a＜b D. 若a－b≠0，则a≠b
9. 若分式的值为0，则x的值为（　　）．
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1
10. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
11. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）

A 73 B. 81 C. 91 D. 109
12. 小敏是一位善于思考的学生，在数学课上，她将一副三角板按如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠BAC=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，测得DE=8，则BD的长是（　　）

A. 10+4 B. 10﹣4 C. 12﹣4 D. 12+4
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 没有等式12﹣3x≥0的解集为_____．
14. 分解因式：4ax2-ay2=________________.
15. 如图，在中，，，AD是的一条角平分线，若，则的面积为__________．

16. 若没有等式组恰有两个整数解，则a的取值范是_____．
17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=________．

18. 如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是_____．

三、解 答 题（每小题10分，共20分）
19. 计算：
（1）（2x﹣y）2﹣（x+y）（2x﹣y）
（2）÷（﹣a﹣2）．
20. （1）解没有等式组
（2）解方程．
四、解 答 题（21、22每小题7分，23、24题各10分，共34分）
21. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上点，且BE=DF，求证：AE=CF
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm．
（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；
（2）求四边形AEFC的面积．

23. 如图，在8×8的方格中建立平面直角坐标系，有点A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0），P（a，b）是△ABC的AC边上点，将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b+2）．
（1）画出平移后的△A1B1C1，写出点A1、C1的坐标；
（2）若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出方格中D点的坐标．

24. 某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；
（2）根据市场预测估计，加工一个A型零件所获得的利润为30元/件，加工一个B型零件所获得的利润每件比A型少5元．现在需要加工甲、乙两种零件共300个且要求所获得的总利润没有低于8250元，求至少应生产多少个A型零件？
五、解 答 题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
25. 阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法
解：∵x﹣y=2，∴x=y+2 又∵x＞1∴y+2＞1∴y＞﹣1
又∵y＜0∴﹣1＜y＜0…①
同理可得1＜x＜2…②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是________
（2）已知关于x，y的方程组的解都是正数
①求a取值范围；②若a﹣b=4，求a+b的取值范围．
26. 如图，已知△ABC，以AC为底边作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，连接BD．
（1）如图1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的长；
（2）如图1，若∠ADC=90°，证明：AB+BC=BD；
（3）如图2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之间数量关系并证明．






2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学月考专项提升模拟题
（A卷）　
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）
1. 下列汽车标志图案中既是轴对称图形也是对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A、是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是轴对称图形，是对称图形，故此选项错误；
C、既是轴对称图形，又是对称图形，故此选项正确；
D、没有是轴对称图形，又没有是对称图形，故此选项错误．
故选C．
2. 如果把分式中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定( )
A. 是原来的2倍 B. 是原来的4倍 C. 是原来的 D. 没有变
【正确答案】A

【详解】∵分式中的a、b都扩大2倍，
∴分式的分子扩大4倍，分母扩大2倍，
∴分式的值是原来的2倍．
故选A．
3. 要使分式有意义，x应满足条件是（ ）
A. x＞3 B. x=3 C. x＜3 D. x≠3
【正确答案】D

【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：当x﹣3≠0时，分式有意义，
即当x≠3时，分式有意义，
故选D．
本题考查了分式有意义的条件，属于基本题目，掌握分式的分母没有为0是解题的关键．
4. 如图，▱ABCD的周长为20，AE平分∠BAD，若CE=2，则AB的长度是（　　）

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【正确答案】D

【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，再由平行线的性质可得∠DAE=∠AEB；又因AE平分∠BAD可得∠DAE=∠BAE，所以∠BAE=∠AEB，根据等角对等边可得AB=AE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=( x+2)cm，由已知▱ABCD的周长为20cm，可列方程2(x+x+2)=10，解得x=4，即AB=4cm．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=AE．
设AB=CD=xcm，则AD=BC=( x+2)cm，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴可列2 (x+x+2)=10，
解得x=4，
∴AB=4cm．
故选D．
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
5. 若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（　　）
A. 六边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
【正确答案】C

【详解】解：根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，
即多边形的边数:360÷40=9，即这个多边形的边数是9.
故选：C．
考点：多边形内角与外角．
6. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D.
【正确答案】B

【详解】根据没有等式的性质在没有等式两边加（或减）同一个数（或式子），没有等号的方向没有变；没有等式两边乘（或除以）同一个正数，没有等号的方向没有变；没有等式两边乘（或除以）同一个负数，没有等号的方向改变即可得出答案：
A、没有等式两边都减3，没有等号的方向没有变，正确；
B、乘以一个负数，没有等号的方向改变，错误；
C、没有等式两边都加3，没有等号的方向没有变，正确；
D、没有等式两边都除以一个正数，没有等号的方向没有变，正确．
故选：B．
7. 若，则的值为（ ）
A. 12 B. 2 C. 3 D. 0
【正确答案】A

【分析】先根据得出，然后利用提公因式法和完全平方公式对进行变形，然后整体代入即可求值．
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：A．
本题主要考查整体代入法求代数式的值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．
8. 下列各命题中，属于假命题的是（ ）
A. 若a－b＝0，则a＝b＝0 B. 若a－b＞0，则a＞b
C. 若a－b＜0，则a＜b D. 若a－b≠0，则a≠b
【正确答案】A

【详解】解：A．只要两数相等，差必定是0 但两个数本身没有一定是0，所以A是假命题；
B、C．根据没有等式的基本性质：没有等式两边同时加上同一个数没有等式的方向没有变．若a-b＞0则有a-b+b＞0+b，即a＞b，
∴B是真命题；
若a-b＜0，则a-b+b＜0+b 即a＜b，
∴C是真命题；
D．若a-b≠0，则 a-b+b≠0+b，
∴ a≠b ，
∴ D是真命题．
故选A．
9. 若分式的值为0，则x的值为（　　）．
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1
【正确答案】B

【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母没有为0列式进行计算即可得.
【详解】解：∵分式值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母没有为0是解题的关键.
10. 如图所示，DE为△ABC中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【正确答案】B

【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=5，
∵∠AFB=90°，D是AB 的中点，
∴DF=AB=3，
∴EF=DE﹣DF=2．
故选B
11. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）

A. 73 B. 81 C. 91 D. 109
【正确答案】C

【详解】试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91．
故选C．
考点：图形的变化规律.
12. 小敏是一位善于思考的学生，在数学课上，她将一副三角板按如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠BAC=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，测得DE=8，则BD的长是（　　）

A. 10+4 B. 10﹣4 C. 12﹣4 D. 12+4
【正确答案】C

【详解】过E作EG⊥l于G，过F作FH⊥l于H，如图所示：

∵∠EFD=30°，∠EDF=90°，
∴∠FED=60°，
∴∠GED=30°，
∴GE=DE=4cm，
∵EF∥AD，FH∥EG，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴FH=EG=4．
∵∠C=45°，
∴BH=FH=4，
∵∠FDH=∠EFD=30°，
∴DH=FH=12，
∴BD=（12﹣4）cm．
故选C．
运用了勾股定理和三角函数的知识，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 没有等式12﹣3x≥0的解集为_____．
【正确答案】x≤4

【详解】12﹣3x≥0，
移项，得：﹣3x≥﹣12，
系数化为1，得：x≤4，
故答案为x≤4
14. 分解因式：4ax2-ay2=________________.
【正确答案】a（2x+y）（2x-y）

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【详解】原式=a（4x2-y2）
=a（2x+y）（2x-y），
故答案为a（2x+y）（2x-y）．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到没有能分解为止．
15. 如图，在中，，，AD是的一条角平分线，若，则的面积为__________．

【正确答案】15

【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于．
∵平分，，，
∴，
∴的面积为．

本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，恰当作辅助线得出三角形的高长．
16. 若没有等式组恰有两个整数解，则a的取值范是_____．
【正确答案】﹣2＜a≤﹣1

【详解】 ，
解①得：x≥a，
解②得：x＜1，
则没有等式组的解集是：a≤x＜1，
恰有两个整数解，则整数解是0，﹣1．
则﹣2＜a≤﹣1．
故答案是：﹣2＜a≤﹣1．
17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=________．

【正确答案】

【详解】设CD=x，
∵B′C′∥AB，
∴∠BAD=∠B′，
由旋转性质得：∠B=∠B′,AC=AC′=3，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD=4−x，
在直角三角形ADC中
(4−x)2=x2+32，
解得：x=.
故答案为.
本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，能够证得∠BAD=∠B，AD=BD，构造直角三角形是解题的关键.
18. 如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是_____．

【正确答案】

【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=1，
由勾股定理得，BE=，
∵点E是AD的中点，
∴AD=2，
∴阴影部分的面积=2×1﹣=，
故答案为．
考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式是解题关键.
三、解 答 题（每小题10分，共20分）
19. 计算：
（1）（2x﹣y）2﹣（x+y）（2x﹣y）
（2）÷（﹣a﹣2）．
【正确答案】（1）2x2﹣5xy+2y2（2）

【详解】试题分析：（1）根据完全平方差公式和多项式乘多项式去括号后，再加减即可；
（2）先对因式分角和计算括号里的值，再将除法变乘法计算即可.
试题解析：
（1）原式=4x2﹣4xy+y2﹣（2x2+xy﹣y2）
=2x2﹣5xy+2y2
（2）原式=
=
20. （1）解没有等式组
（2）解方程．
【正确答案】（1）﹣1＜x≤2；（2）无解

【详解】试题分析：(1)先求得两个没有等式的解集，再求其公共部分即可;
(2) 确定方程的最简公分母为(x+2)(x-2)．确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解,再验根即可．
试题解析：
（1），
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
则没有等式组的解集为﹣1＜x≤2；
（2）
去分母得：x﹣2+4x=2x+4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
四、解 答 题（21、22每小题7分，23、24题各10分，共34分）
21. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
【正确答案】详见解析

【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．
【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF. （其他证法也可）
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm．
（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；
（2）求四边形AEFC的面积．

【正确答案】（1）3cm（2）

【详解】试题分析：（1）根据勾股定理求出AB==5cm．利用平移的性质可得AB=DE=5cm，然后根据AD=AE-DE求解即可；
（2）作CG⊥AB于G，根据三角形的面积公式求出CG，根据梯形的面积公式求出四边形AEFC的面积即可．
试题解析：
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB==5cm．
∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，
∴AD=BE=CF，BC=EF=3cm，AB=DE=5cm．
∵AE=8cm，
∴AD=AE﹣DE=3cm；
（2）作CG⊥AB于G，如图，

由三角形的面积公式得：CG•AB=AC•BC，
∴5×CG=3×4，
∴CG=，
∴四边形AEFC的面积=（CF+AE）×CG=×（3+8）×=．
答：四边形AEFC的面积是cm2．
23. 如图，在8×8的方格中建立平面直角坐标系，有点A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0），P（a，b）是△ABC的AC边上点，将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b+2）．
（1）画出平移后的△A1B1C1，写出点A1、C1的坐标；
（2）若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出方格中D点的坐标．

【正确答案】（1）A1（2，4）、C1（3，2）、B1（1，3）（2）D（0，1），D1（﹣2，﹣1），D2（﹣4，3）

【详解】试题分析：（1）根据P点对应点变化规律得出△ABC平移规律进而求出即可；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出符合题意的答案．
试题解析：
（1）∵P（a，b）是△ABC的AC边上点，将△ABC平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b+2），
∴平移后的△A1B1C1，个点坐标分别为：A1（2，4）、C1（3，2）、B1（1，3），如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：D（0，1），D1（﹣2，﹣1），D2（﹣4，3）．

24. 某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；
（2）根据市场预测估计，加工一个A型零件所获得利润为30元/件，加工一个B型零件所获得的利润每件比A型少5元．现在需要加工甲、乙两种零件共300个且要求所获得的总利润没有低于8250元，求至少应生产多少个A型零件？
【正确答案】（1）甲每天加工15个，乙每天加工20个；（2）至少应生产150个A型零件．

【详解】试题分析：（1）根据题意可得，解可得x的值，进而可得答案；
（2）设应生产a个A型零件，依据“需要加工甲、乙两种零件共300个且要求所获得的总利润没有低于8250元”列出没有等式并解答．
试题解析：
（1）根据题意，每天甲、乙两人共加工35个零件，
设甲每天加工x个，则乙每天加工35﹣x；根据题意可得：
，
解得x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．
35﹣15=20，
答：甲每天加工15个，乙每天加工20个；
（2）设应生产a个A型零件，则需要加工（300﹣a）个B型零件，
依题意得：30a+（300﹣a）（30﹣5）≥8250，
解得a≥150．
所以a最小值为150．
答：至少应生产150个A型零件．
五、解 答 题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
25. 阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法
解：∵x﹣y=2，∴x=y+2 又∵x＞1∴y+2＞1∴y＞﹣1
又∵y＜0∴﹣1＜y＜0…①
同理可得1＜x＜2…②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是________
（2）已知关于x，y的方程组的解都是正数
①求a的取值范围；②若a﹣b=4，求a+b的取值范围．
【正确答案】（1）1＜x+y＜5（2）①a＞1②﹣2＜a+b＜8

【详解】试题分析：（1）模仿阅读材料解答即可；
（2）①先把没有等式组解出，再根据解为正数列关于a的没有等式组解出即可；
②分别求a、b的取值，相加可得结论．
试题解析：
（1）∵x﹣y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞﹣1，
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1…①
同理可得2＜x＜4…②
由①+②得：﹣1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5，
故答案为1＜x+y＜5；
（2）①解方程组
解得 ，
∵x＞0，y＞0，
∴，
解没有等式组得：a＞1，
∴a的取值范围为：a＞1；
②）∵a﹣b=4，a＞1，
∴a=b+4＞1，
∴b＞﹣3，
∴a+b＞﹣2；
又∵a+b=2b+4，b＜2，
∴a+b＜8．
故﹣2＜a+b＜8，
a+b的取值范围为：﹣2＜a+b＜8．
【点评】考查了没有等式组的解的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
26. 如图，已知△ABC，以AC为底边作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，连接BD．
（1）如图1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的长；
（2）如图1，若∠ADC=90°，证明：AB+BC=BD；
（3）如图2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之间的数量关系并证明．

【正确答案】（1）（2）AB+BC=BD；（3）BD=AB+BC

【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和已知求出CD的长；
（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，证明△AED≌△CFD，得到DE=DF，AE=CF，根据正方形的性质证明结论；
（3）延长BC至G，使CG=AB，证明△DAB≌△DCG，得到△DBG是等边三角形，得到答案．
解：（1）∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=2∠CAD=90°，又∠BAC=30°，
∴AC=2BC=2，
∴CD=AC×sin∠CAD=；
（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=2∠CAD=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠FCD，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD，
∴DE=DF，AE=CF，
∵四边形DEBF是矩形，DE=DF，
∴四边形DEBF是正方形，
∴BE=BF=BD，又AE=CF，
∴AB+BC=BE+BF=BD；
（3）BD=AB+BC．
延长BC至G，使CG=AB，
∵∠ADC=60°和等腰△ACD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ABC=2∠CAD=120°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠GCD，
在△DAB和△DCG中，
，
∴△DAB≌△DCG，
∴DB=DG，∠CDG=∠ADB，又∠ADB+∠BDC=60°，
∠CDG+∠BDC=60°，
∴△DBG是等边三角形，
∴BD=BG=AB+BC．


考点：四边形综合题．

























2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学月考专项提升模拟题
（B卷）　
一、选一选：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 抛物线的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1）
2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 （ ）
A B.
C D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
4. 下列中，属于必然的是（ ）
A. 二次函数的图象是抛物线
B. 任意一个一元二次方程都有实数根
C. 三角形的外心在三角形的外部
D. 投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
5. 用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　）
A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=±
6. 如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（　　）

A 22° B. 32° C. 136° D. 68°
7. 已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

9. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
10. 如图，圆O弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（　　）

A. 正方形 B. 长方形 C. 菱形 D. 梯形
11. （2016重庆市）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的没有等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣ D.
12. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线x=1，且点（0,2）．有下列结论：①ac＞0；②；③a+c＜2-b；④； ⑤x=-5和x=7时函数值相等．其中正确的结论有 （ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 当m=________时，方程（m+1）x +（m﹣3）x﹣1=0是一元二次方程．
14. 等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为_____．
15. 在拼图游戏中，从图（1）的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“房子”如图（2）的概率为__．

16. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF半径为2，圆心角为60°，求图中阴影部分的面积．

17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=________．

三、解 答 题：（本大题共2个小题，第19题8分，第20题8分，共16分）
18. 解方程：（1） （2）
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．
（1）将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′，试在图中画出图形Rt△A′B′C′，并写出C′的坐标；
（2）求弧 的长．

四、解 答 题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
20. 为弘扬中华传统文化，我市在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）该校七（1）班共有 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度；并补全条形统计图；
（2）A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21. 如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明：ED与⊙O相切．

22. 商场某种商品平均每天可20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？此时，每件衬衫盈利多少元？
（2）每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利至多？
23. 阅读下面的材料，解决问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
请参照例题，解方程 （x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
五、解 答 题：（本大题共2个小题，25题10分，26题12分，共22分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
24. 如图，已知等边△ABC中，D为边AC上一点．
（1）以BD为边作等边△BDE，连接CE，求证：AD=CE；
（2）如果以BD为斜边作Rt△BDE，且∠BDE=30°，连接CE并延长，与AB的延长线交于F点，求证：AD=BF；























2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学月考专项提升模拟题
（B卷）　
一、选一选：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 抛物线的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1）
【正确答案】A

【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：A．
本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 （ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【详解】A、m＝3时，没有是一元二次方程，选项错误；
B、方程含有两个未知数，故选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、是分式方程，选项错误.
故选C.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
4. 下列中，属于必然的是（ ）
A. 二次函数的图象是抛物线
B. 任意一个一元二次方程都有实数根
C. 三角形的外心在三角形的外部
D. 投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
【正确答案】A

【详解】试题分析：利用三角形外心的定义以及二次函数图象的性质以及随机的定义分析得出即可．
解：A、二次函数的图象是抛物线，正确，是必然；
B、任意一个一元二次方程都有实数根，是随机，故此选项错误；
C、三角形的外心在三角形的外部，错误；
D、投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机，故此选项错误；
故选A．
考点：随机．
5. 用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　）
A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=±
【正确答案】C

【详解】x2+6x+4=0，
移项，得x2+6x=-4，
配方，得x2+6x+32=－4+32，
即（x+3）2=5．
故选C．
6. 如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（　　）

A. 22° B. 32° C. 136° D. 68°
【正确答案】C

【详解】∵O是△ABC的外接圆,∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°.
故选C.
7. 已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】本题可先由函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．

8. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【正确答案】C

【分析】根据旋转的性质得出AO=A′O，得出等边三角形AOA′，根据等边三角形的性质推出即可．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△A′OB′可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A′在AB上，
∴AO=A′O，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOA′=60°，
即旋转角α的度数是60°，
故选：C
本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△AOA′是等边三角形，题目比较典型，难度没有大．

9. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【正确答案】D

【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且△≥0，即，
解得，
∴m的取值范围是且．
故选：D．
10. 如图，圆O弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（　　）

A. 正方形 B. 长方形 C. 菱形 D. 梯形
【正确答案】C

【详解】∵弦AB垂直平分半径OC，
∴AD=BD，AC=BC，OD=CD，
∵在△AOD与△BCD中，，
∴△AOD≌△BCD，
∴OA=BC，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形.
故选C.
11. （2016重庆市）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的没有等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣ D.
【正确答案】B

【分析】表示出没有等式组中两没有等式的解集，由没有等式组无解确定出a的值，代入分式方程判断，求出满足条件a的值，求出之和即可．
【详解】解：解得，∵没有等式组无解，∴a≤1，解方程得x=，∵x=为整数，a≤1，∴a=﹣3或1，∴所有满足条件的a的值之和是﹣2．故选B．
此题考查了分式方程的解，以及解一元没有等式组，确定出a的值是解本题的关键．
12. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线x=1，且点（0,2）．有下列结论：①ac＞0；②；③a+c＜2-b；④； ⑤x=-5和x=7时函数值相等．其中正确的结论有 （ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】∵抛物线开口向下，∴a<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2−4ac>0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y，即a+b+c>2，∴a+c>2−b，所以③错误；
∵x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，而−=1，c=2，∴4a+4a+2<0，∴a<−，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=−5和x=7时函数值相等，所以⑤正确.
故选C.
点睛：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；当a<0，抛物线开口向下.对称轴为直线x=-;与y轴的交点为（0，c）.
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 当m=________时，方程（m+1）x +（m﹣3）x﹣1=0是一元二次方程．
【正确答案】1

【详解】依题意得：m2+1=2且m+1≠0，解得m=1.
故答案为1.
14. 等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为_____．
【正确答案】10

【分析】解一元方程求出x的值，再根据三角形三边关系进行判断是否可以构成三角形，即可求出三角形的周长．
【详解】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x＝2或x＝4，
∵等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2＝4，没有能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4＝10．
∴这个三角形的周长为10．
故10．
本题考查了一元方程的问题，掌握解一元方程的方法、三角形三边关系、三角形周长公式是解题的关键．
15. 在拼图游戏中，从图（1）的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“房子”如图（2）的概率为__．

【正确答案】

【详解】分别用A与B表示三角形与矩形，
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，能拼成“小房子”的有8种情况，
∴任取两张纸片,能拼成“小房子”(如图2)的概率等于：=.
故选A.
16. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，求图中阴影部分的面积．

【正确答案】

【详解】试题解析：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD==．
考点：1.扇形面积的计算；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质．
17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=________．

【正确答案】

【详解】设CD=x，
∵B′C′∥AB，
∴∠BAD=∠B′，
由旋转的性质得：∠B=∠B′,AC=AC′=3，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD=4−x，
在直角三角形ADC中
(4−x)2=x2+32，
解得：x=.
故答案为.
本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，能够证得∠BAD=∠B，AD=BD，构造直角三角形是解题的关键.
三、解 答 题：（本大题共2个小题，第19题8分，第20题8分，共16分）
18. 解方程：（1） （2）
【正确答案】(1)； (2).　

【详解】试题分析：（1）先移项，再把方程左边分解为两个因式积的形式，求出x的值即可；（2）利用公式法求出x的值即可．
试题解析：（1）∵原方程可化为(2x+1)2−3(2x+1)=0,即(2x+1)(2x−2)=0，
∴2x+1=0，2x−2=0，
∴；
（2）∵△=(−6)2−4×3×(−2)=2，
∴x==，
∴x1=,x2=.
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．
（1）将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′，试在图中画出图形Rt△A′B′C′，并写出C′的坐标；
（2）求弧 的长．

【正确答案】(1)图见解析，C′（3，1）；（2 ）.

【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形，然后在方格图中直接查出C′坐标即可；
（2）根据弧长公式直接可求解.
试题解析：（1）如图所示，C′（3，1）．

（2）弧 的长=．
四、解 答 题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
20. 为弘扬中华传统文化，我市在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）该校七（1）班共有 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度；并补全条形统计图；
（2）A等级4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【正确答案】（1）50；144；图形见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数；C的人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；根据求出的数据即可补全条形统计图；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
试题解析：（1）由题意可知总人数=4÷8%=50人；
扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角=20÷50××360°=144°；
补全条形统计图如图所示：

（2）列表如下：


男

男

女

女

男

﹣﹣﹣

（男，男）

（女，男）

（女，男）

男

（男，男）

﹣﹣﹣

（女，男）

（女，男）

女

（男，女）

（男，女）

﹣﹣﹣

（女，女）

女

（男，女）

（男，女）

（女，女）

﹣﹣﹣

得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=．
考点：（1）列表法与树状图法；（2）扇形统计图；（3）条形统计图．
21. 如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；
（2）取BC中点E，连接ED，试证明：ED与⊙O相切．

【正确答案】（1）；（2）答案见解析．

【分析】（1）通过相似三角形△BDC∽△ADB的对应边成比例知，由此可以求得线段BC的长度．
（2）连接OD，证明DE⊥OD．
【详解】(1)在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5(勾股定理)；
在Rt△BDC和Rt△ADB中,∠ADB=∠BDC=90°,∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°,∠BCD+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴.即，
∴BC=.
（2）连接OD．

∵OD=OB（⊙O的半径），
∴∠OBD=∠BDO
∵AB是直径（已知），
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADB=∠BDC=90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DBE=∠BDE
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切.
22. 商场某种商品平均每天可20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？此时，每件衬衫盈利多少元？
（2）每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利至多？
【正确答案】(1)每件衬衫应降价20元，每件衬衫盈利20元；(2)每件衬衫降价15元，商场平均每天盈利至多．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的函数关系式，将函数关系式化为顶点式即可解答本题．
【详解】解：（1）设每件商品降价x元，
由题意得，（40-x）（20+2x）=1200
解得：x1=20，x2=10
∵该商场为了尽快减少库存，
则x=10没有合题意，舍去．
∴x=20，
∴40-x=20，
即每件衬衫应降价20元，每件衬衫盈利20元；
（2）设商场每天盈利为y，每件衬衫降价x元，由题意可得，
y=（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250，
∴当x=15时，商场平均每天盈利至多，
即每件衬衫降价15元，商场平均每天盈利至多．
23. 阅读下面的材料，解决问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
请参照例题，解方程 （x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【正确答案】x1=﹣3，x2=2

【分析】设y=x2+x，则原方程可化为：y2﹣4y﹣12=0，然后求得y的两个解，再分别代入y=x2+x进行求解即可.
【详解】设y=x2+x，则由原方程，得：
y2﹣4y﹣12=0，
整理，得：
（y﹣6）（y+2）=0，
解得y=6或y=﹣2，
当y=6时，x2+x=6，即（x+3）（x﹣2）=0，
解得x1=﹣3，x2=2；
当y=﹣2时，x2+x=﹣2，即x2+x+2=0，该方程无解．
综上所述，该方程的解为：x1=﹣3，x2=2．
本题主要考查整体思想，解一元二次方程.
五、解 答 题：（本大题共2个小题，25题10分，26题12分，共22分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
24. 如图，已知等边△ABC中，D为边AC上一点．
（1）以BD为边作等边△BDE，连接CE，求证：AD=CE；
（2）如果以BD为斜边作Rt△BDE，且∠BDE=30°，连接CE并延长，与AB的延长线交于F点，求证：AD=BF；

【正确答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【详解】试题分析：（1）欲证明AD=CE，只要证明△ABD≌△CBE即可；
（2）如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．首先证明△DBH是等边三角形，由（1）可知，△ABD≌△CBH，推出AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，推出BF∥CH，推出∠F=∠ECH，再证明△EBF≌△EHC，推出BF=CH，由此即可证明．
（1）证明：如图1中，

∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE．
（2）如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．

∵BE=EH，DE⊥BH，
∴DB=DH，∠BDE=∠HDE=30°，
∴∠BDH=60°，
∴△DBH是等边三角形，
由（1）可知，△ABD≌△CBH，
∴AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，
∴BF∥CH，
∴∠F=∠ECH，
在△EBF和△EHC中，，
∴△EBF≌△EHC，
∴BF=CH，
∴AD=CE．
点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30°角的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形.