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2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
12. 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
20. 已知：如图，在中，.求证.
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x的取值范围为 ；
（3）求△OAB的面积．
25. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求值．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的有2种情况，
∴小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是
故选：A
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
【正确答案】B
【详解】解：连接CB，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，
∴A为OC的中点，
∵∠OCD＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴AB∥CD，
∴OB＝BD，
∵∠OCD＝90°，CO＝CD，
∴CB⊥OD，OB＝BC＝1，
∴点C的坐标为（1，1），
故选：B．
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A. 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
【正确答案】D
【详解】解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB==（cm），
∴BD=2OB=2cm，
∴AC：BD=1：．
故选D．
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【正确答案】B
【详解】因为反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点,所以反比例函数y=的图象分布在二,四象限,根据反比例函数的图象性质画出反比例函数图象,观察图象可得:y2＞y1＞y3,故选B.
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
【正确答案】C
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，代入计算可得：，即可解EC=2，
故选B．
考点：平行线分线段成比例
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是
，
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】试题分析：利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．
解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；
②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；
③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＞b，错误；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，
故选B．
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
【正确答案】A
【详解】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-=3,αβ==-3,所求式子化为（α＋β）÷（αβ）=3÷（-3）=-1.故本题选A.
考点：一元二次方程根与系数关系.
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
【正确答案】D
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的没有等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数没有为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴△＝4﹣4（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得a≤2，且a≠1，
则a的整数值是2．
故选D．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【正确答案】4∶9
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故4：9．
考点：相似三角形的性质．
12. 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
【正确答案】．
【分析】设出反比例函数解析式，然后把点A的坐标代入求出k值，即可得到解析式．
【详解】解：设这个反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），
∴＝﹣3，
解得k＝6，
∴这个反比例函数的解析式是y＝．
故y＝．
本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
【正确答案】
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是一名和一名护士的结果数为8，所以恰好是一名和一名护士的概率==．故答案为．
点睛：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出A或B的概率．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
【正确答案】96
【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=12，
∴AO=6，
∵AB=10，
∴BO==8，
∴BD=16，
∴菱形的面积S=AC•BD=×16×12=96．
故96．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
【正确答案】5
【详解】方程，
即，
解得：，，
则矩形ABCD的对角线长是：=5．
故5．
16. 如图，一条河两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
【正确答案】22.5
【详解】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形性质解题．
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示
设河宽为x米．
∵AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，
∴△PDC∽△PBA，
∴，
∴，
依题意CD=20米，AB=50米，
∴，
解得：x=22.5（米）．
答：河的宽度为22.5米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
【正确答案】-6
【详解】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
【正确答案】
【详解】∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC
∴a2=CE•a，2a2=AE•a，
∴CE=，AE=，
∴，
∵△CEF∽△AEB，
∴
故答案为
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
【正确答案】（1）x1=3＋，x2=3－；（2）x1=，x2=.
【详解】试题分析：
（1）用“配方法”解此方程即可；
（2）用“公式法”解此方程即可.
试题解析：
(1)x2－6x－6＝0，
配方得：x2－6x＋9＝ 15，
∴ (x－3)2＝ 15，
x－3＝ ± ，
∴x1＝3＋，x2＝3－.
(2)原方程可化为：，
∴△=，
∴，
∴.
20. 已知：如图，在中，.求证.
【正确答案】详见解析
【分析】根据相似三角形的判定，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法．
【详解】证明：∵，
∴.
∵， 且，
∴，
∴.
此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【正确答案】没有公平；理由见解析
【分析】根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和没有大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果没有概率相等，则游戏没有公平；
【详解】解：
根据题意，画树状图如下：
∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和没有大于5）＝ ，
∵≠，
∴游戏没有公平；
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【正确答案】要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【分析】设要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：设要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，
由题意，得，
解得：，．
有利于减少库存，
．
答：要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
本题考查了问题的数量关系利润售价进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据问题的数量关系建立方程．
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．
（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．
【详解】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE=，
∴∠DAE=，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故当时，四边形ADCE是一个正方形．
本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义，解题的关键是综合运用以上知识点．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x的取值范围为 ；
（3）求△OAB的面积．
【正确答案】（1）函数的解析式是：y1=x﹣；反比例函数的解析式是：y2=
（2）x＜﹣2或0＜x＜3
（3）
【分析】（1）根据图形得出A、B的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出其解析式；把A、B的坐标代入函数的解析式，即可求出函数的解析式；
（2）根据图象和A、B横坐标，即可得出答案．
（3）求得直线与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【小问1详解】
解：由图可知：A（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y2=的图象过点A（﹣2，﹣2），
∴m=4，
∴反比例函数的解析式是：y2=，
把x=3代入得，y=，
∴B（3，），
∵y=kx+b过A、B两点，
∴
解得：k=，b=﹣，
∴函数解析式是：y1=x﹣；
【小问2详解】
根据图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜3时，y1＜y2．
故x＜﹣2或0＜x＜3．
【小问3详解】
由函数y1=x﹣可知直线与y轴的交点为（0，﹣），
∴△OAB的面积=××2+××3=．
本题考查反比例函数与函数的交点问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
25. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,易证AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题,
（2）只需运用（1）中的结论,就可得到,就可解决问题,
（3）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,易证四边形ABSR是矩形,由（1）中的结论可得=．设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根据勾股定理可得①,在Rt△ARD中根据勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决.
【详解】解: （1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ,
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴,
（2）如图2,
∵EF⊥GH,AM⊥BN,
∴由（1）中的结论可得,,
∴
故答案为:,
（2）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴▱ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,
∵AM⊥DN,
∴由（1）中的结论可得,
设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,
∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,
在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,
由②﹣①得x=2y﹣5③,
解方程组得
（舍去）,或,
∴AR=5+x=8,
∴.
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 抛物线y=x2﹣2x向右平移2个单位再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A. y=x2+3 B. y=x2﹣4x+3 C. y=x2﹣6x+11 D. y=x2﹣6x+8
3. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ）
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，c＞0 C. b＞0，c＞0 D. a，b，c都小于0
4. 若没有等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A. 没有交点 B. 一个交点 C. 两个交点 D. 没有能确定
5. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（ ）
A. 6 B. 12 C. 15 D. 30
7. 若关于x的方程x2-x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
8. 关于x的一元二次方程x2-4x+(5-m)=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
9. 一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0，这两个方程的所有实数根之和为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 1
10. 有两个一元二次方程：①，②，其中a＋c＝0，
以下四个结论中，错误的是（ ）
A. 如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根；
B. 如果方程①和方程②有一个相同实数根，那么这个根必定是x=1；
C. 如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根；
D. 方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；
二、填 空 题
11. 方程x2＝2x的解是_______．
12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5、12，则它的外接圆半径R=______ ．
13. 已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所的路径长为___________cm．
14. 如图，内接于，于点，，，，则直径是________．
15. 如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口a至少为________cm．
16. 函数y=﹣x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P为正比例函数y=kx（k＞0）图象上一动点，且满足∠PBO=∠POA，则AP的最小值为_____．
三、解 答 题
17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所路径长（记过保留根号和π）．
18. 如图，已知在中，，是的平分线．
（1）作一个使它两点，且圆心在边上；（没有写作法，保留作图痕迹）
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
19. 解下列方程：（1）． （2）x2+4x-1=0．
20. 某商场一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当减价措施，经发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
21. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（没有含端点A、D），连结BE、CE．
（1）若a=5，AC=13，求b．
（2）若a=5，b=10,当BE⊥AC时，求出此时AE的长．
（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．
22. 关于x的一元二次方程有两个没有等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k值．
23. 如图，抛物线C1：y=x2+bx+c原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. 1 D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：根据题意画树状图如下：
∵共有4种等可能的结果，两枚都出现正面朝上的有1种情况，
∴两枚都出现正面朝上的概率是
故选B.
2. 抛物线y=x2﹣2x向右平移2个单位再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A. y=x2+3 B. y=x2﹣4x+3 C. y=x2﹣6x+11 D. y=x2﹣6x+8
【正确答案】C
【分析】
【详解】解：二次函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1的图象的顶点坐标是（1，﹣1），
则向右平移2个单位再向上平移3个单位后的函数图象的顶点坐标是（3，2）．
则所得抛物线解析式：y=（x﹣3）2+2=x2﹣6x+11．
故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
3. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ）
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，c＞0 C. b＞0，c＞0 D. a，b，c都小于0
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，再函数图象判断各选项．
解：由函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，
A、错误；B、错误；C、正确；D、错误；
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
4. 若没有等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A. 没有交点 B. 一个交点 C. 两个交点 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】解：∵没有等式组(x为未知数)无解，
∴由
解得：
则x>a时此没有等式组无解，
∴
中，
∴二次函数的图象与x轴的没有交点．
故选A．
5. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上，而没有是交于y轴正半轴，故选项A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故选项B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而没有是y轴的负半轴，本图象没有符合题意，故选项C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而没有是开口向上，本图象没有符合同意，故选项D错误．
故选B．
本题考查二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
6. 如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（ ）
A. 6 B. 12 C. 15 D. 30
【正确答案】A
【详解】试题分析： ∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=×12=6，
在Rt△BOD中，∵OB=AB=8，BD=6，
∴OD==2，
∴S△OBD=OD•BD=×2×6=6．
考点：垂径定理；勾股定理．
7. 若关于x的方程x2-x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【正确答案】C
【详解】因为关于x的方程x2−2√x+cosα=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即(−)²−4×1×cosα=0，
∴cosα=，∴α=60°.
故选C.
8. 关于x的一元二次方程x2-4x+(5-m)=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
【正确答案】B
【详解】∵方程x²−4x+(5−m)=0有实数根，
∴b²−ac=(−4) ²−4(5−m)⩾0，
解得：m⩾1.
故选B.
9. 一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0，这两个方程的所有实数根之和为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 1
【正确答案】D
【详解】∵在方程x2﹣x﹣1=0中，△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴方程x2﹣x﹣1=0有两个没有相等的实数根，
设方程x2﹣x﹣1=0的两个根分别为m、n，
∴m+n=1．
∵在方程2x2﹣6x+5=0中，△=（﹣6）2﹣4×2×5=﹣4＜0，
∴方程2x2﹣6x+5=0没有实数根．
∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0的所有实数根之和为1．
故选D．
10. 有两个一元二次方程：①，②，其中a＋c＝0，
以下四个结论中，错误的是（ ）
A. 如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根；
B. 如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；
C. 如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根；
D. 方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；
【正确答案】B
【详解】选项A,因为两个判别式一致，所以A对.
选项B,因为将1代入方程，值相等，B对.
选项C,因为16a+4b+c=0,
选项D,
所以选B.
二、填 空 题
11. 方程x2＝2x的解是_______．
【正确答案】x1＝0，x2＝2
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【详解】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故x1＝0，x2＝2．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5、12，则它的外接圆半径R=______ ．
【正确答案】6.5
【详解】试题分析：因为直角三角形的两直角边长分别为5和12，所以斜边=13，所以它的外接圆的半径R=．
考点：勾股定理、直角三角形的外接圆．
13. 已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所的路径长为___________cm．
【正确答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
根据旋转的性质可得：∠EAF＝90°，
∵AD=12cm，DE=5cm，
∴，
∴点E所的路径长为
故答案是：．
14. 如图，内接于，于点，，，，则的直径是________．
【正确答案】6cm．
【详解】试题分析：作⊙O的直径AE，连CE，如图，∵AE为直径，∴∠ACE=90°，又∵∠E=∠B，∴Rt△AEC∽Rt△ABD，∴，而AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，∴AE==×4cm=6cm．所以⊙O的直径是6cm．故答案为6cm．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理．
15. 如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口a至少为________cm．
【正确答案】
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍，构造一个由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，再根据锐角三角函数的知识求解即可．
【详解】解：设正多边形的是O，其一边是AB，AC与BO相交于点M，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵OA=AB=6cm，∠AOB=60°，
∴∠OAC=30°，cos∠OAC=，
∴AM=6×=（cm），
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∴AC=2AM=6（cm）．
故答案为6．
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边和边心距组成的直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．
16. 函数y=﹣x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P为正比例函数y=kx（k＞0）图象上一动点，且满足∠PBO=∠POA，则AP的最小值为_____．
【正确答案】2﹣2
【详解】如图所示：
因∠PBO=∠POA，
所以∠BPO=90°，则点P是以OB为直径的圆上．
设圆心为M，连接MA与圆M的交点即是P，此时PA最短,
∵OA＝4，OM＝2，
∴MA＝
又∵MP＝2，AP＝MA－MP
∴AP＝．
三、解 答 题
17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所的路径长（记过保留根号和π）．
【正确答案】（1）作图见试题解析，A1（2，﹣4）；（2）作图见试题解析；（3）．
【分析】（1）找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2；
（3）C点旋转到C2点所的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）BC==，所以C点旋转到C2点所的路径长=．
本题考查了作图﹣旋转变换,轴对称变换,勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点.
18. 如图，已知在中，，是的平分线．
（1）作一个使它两点，且圆心在边上；（没有写作法，保留作图痕迹）
（2）判断直线与位置关系，并说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）与相切，理由见解析．
【分析】（1）作出AD的垂直平分线，交AB于点O，进而利用AO为半径求出即可；
（2）利用半径相等角平分线的性质得出OD∥AC，进而求出OD⊥BC，进而得出答案．
【详解】（1）①分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，
②作直线，与相交于点，
③以圆心，为半径作圆，如图即为所作；
（2）与相切，理由如下：
连接OD，
为半径，
，
是等腰三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
为半径，
与相切．
本题主要考查了切线的判定以及线段垂直平分线的作法与性质等知识，掌握切线的判定方法是解题关键．
19. 解下列方程：（1）． （2）x2+4x-1=0．
【正确答案】（1）x=5；（2） .
【详解】试题分析：（1）方程两边同时乘以(x-3)(x-2)去分母后，解一元方程，再解方程，验根即可；（2）首先把方程移项变形为x2+4x=1的形式，然后在方程的左右两边同时加上项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
试题解析：
（1）2（x-2）=3(x-3)
2x-4=3x-9
2x-3x=-9+4
-x=-5
x=5
当x=5时,x-3≠0,x-2≠0
所以x=5是方程的解.
（2）x2+4x-1=0，
移项得，x2+4x=1，
配方得，x2+4x+4=1+4，
（x+2）2=5，
开方得，x+2=±
解得 ，
20. 某商场一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
【正确答案】每件衬衫应降价元，进货件．
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天这种衬衣利润列出方程解答即可．
【详解】设每件衬衫应降价x元．
根据题意,得(44−x)(20+5x)=1600，
解得x1=4,x2=18.
∵“扩大量，减少库存”，
∴x1=4应略去，
∴x=18.
20+5x=110.
答：每件衬衫应降价18元，进货110件.
考查了一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键.
21. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（没有含端点A、D），连结BE、CE．
（1）若a=5，AC=13，求b．
（2）若a=5，b=10,当BE⊥AC时，求出此时AE的长．
（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．
【正确答案】(1) b=12；（2）；（3）见解析.
【详解】试题分析：（1）在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，利用勾股定理即可计算出结果.
（2）由∵BE⊥AC得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代换得到∠1=∠2，推出得到比例式，即可得到结论；
（3）点在线段上的任一点，且没有与重合，当与相似时，则当（如图2），又由平行线的性质得到推出得到比例式，进而可得得到一元二次方程根据方程根的情况，得到结论．
试题解析：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=a=5, AC=13，
∴b=12；
如图1，∵BE⊥AC
又
∴∠1 = ∠2,
又
∴△AEB ∽△BAC,
∴即,
∴.
（3）∵点E在线段AD上的任一点，且没有与A、D重合，
∴当△ABE与△BCE相似时，则
所以当△BAE ∽△CEB（如图2）
则∠1 = ∠BCE，
又BC∥AD,
∴∠2 = ∠BCE,
∴∠1 = ∠2 ,
又
∴△BAE ∽△EDC,
∴ 即 ,
∴ ,
即 ,
当 ,
∵a＞0，b＞0， ∴
即 时， .
综上所述：当a、b满足条件b = 2a时△BAE ∽△CEB，此时 (或x = a)；
当a、b满足条件b＞2a时△BAE ∽△CEB，此时.
22. 关于x的一元二次方程有两个没有等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
【正确答案】（1）k﹥；（2）k=2
【分析】（1）根据方程有两个没有相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉值，进而得到，k的取值范围解方程即可．
【详解】解：（1）∵原方程有两个没有相等的实数根
∴
解得：k﹥；
故k﹥.
（2）∵k﹥，
∴＜0
又∵
∴ ，
∴,
∵,
∴2k+1=k2+1，
解得：k1=0,k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故k=2．
23. 如图，抛物线C1：y=x2+bx+c原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．
【正确答案】（1）抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x，顶点坐标（1，﹣1）；
（2）抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1；
（3）m=．
【详解】试题分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出抛物线C1的解析式，即可求出抛物线C1的顶点坐标，
（2）先求出C2的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式．
（3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB=OC，列出方程求出m的值即可．
试题解析：（1）∵抛物线C1原点，与x轴的另一个交点为（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线C1解析式为y=x2﹣2x，
∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1），
（2）如图1，
∵抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，
∴C2的解析式为y=（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），
过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠ADE=90°
∴∠HCD=∠ADE，
∵∠DEA=90°，
∴△CHD≌△DEA，
∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，
∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，
由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去），
∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1．
（3）如图2，连接BC，BP，
由抛物线对称性可知AP=BP，
∵△PAC为等边三角形，
∴AP=BP=CP，∠APC=60°，
∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠CBO=∠CPA=30°，
∴BC=2OC，
∴由勾股定理得OB==OC，
∴（m2+2m）=m+2，
解得m1=，m2=﹣2（舍去），
∴m=．
点睛：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是正确作出辅助线，善于利用几何图形有关性质、定理和二次函数的知识求解.
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
12. 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
20. 已知：如图，在中，.求证.
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x的取值范围为 ；
（3）求△OAB的面积．
25. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求值．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的有2种情况，
∴小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是
故选：A
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
【正确答案】B
【详解】解：连接CB，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，
∴A为OC的中点，
∵∠OCD＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴AB∥CD，
∴OB＝BD，
∵∠OCD＝90°，CO＝CD，
∴CB⊥OD，OB＝BC＝1，
∴点C的坐标为（1，1），
故选：B．
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A. 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
【正确答案】D
【详解】解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB==（cm），
∴BD=2OB=2cm，
∴AC：BD=1：．
故选D．
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【正确答案】B
【详解】因为反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点,所以反比例函数y=的图象分布在二,四象限,根据反比例函数的图象性质画出反比例函数图象,观察图象可得:y2＞y1＞y3,故选B.
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
【正确答案】C
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，代入计算可得：，即可解EC=2，
故选B．
考点：平行线分线段成比例
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是
，
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】试题分析：利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．
解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；
②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；
③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＞b，错误；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，
故选B．
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
【正确答案】A
【详解】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-=3,αβ==-3,所求式子化为（α＋β）÷（αβ）=3÷（-3）=-1.故本题选A.
考点：一元二次方程根与系数关系.
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
【正确答案】D
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的没有等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数没有为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴△＝4﹣4（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得a≤2，且a≠1，
则a的整数值是2．
故选D．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【正确答案】4∶9
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故4：9．
考点：相似三角形的性质．
12. 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
【正确答案】．
【分析】设出反比例函数解析式，然后把点A的坐标代入求出k值，即可得到解析式．
【详解】解：设这个反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），
∴＝﹣3，
解得k＝6，
∴这个反比例函数的解析式是y＝．
故y＝．
本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
【正确答案】
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是一名和一名护士的结果数为8，所以恰好是一名和一名护士的概率==．故答案为．
点睛：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出A或B的概率．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
【正确答案】96
【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=12，
∴AO=6，
∵AB=10，
∴BO==8，
∴BD=16，
∴菱形的面积S=AC•BD=×16×12=96．
故96．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
【正确答案】5
【详解】方程，
即，
解得：，，
则矩形ABCD的对角线长是：=5．
故5．
16. 如图，一条河两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
【正确答案】22.5
【详解】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形性质解题．
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示
设河宽为x米．
∵AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，
∴△PDC∽△PBA，
∴，
∴，
依题意CD=20米，AB=50米，
∴，
解得：x=22.5（米）．
答：河的宽度为22.5米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
【正确答案】-6
【详解】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
【正确答案】
【详解】∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC
∴a2=CE•a，2a2=AE•a，
∴CE=，AE=，
∴，
∵△CEF∽△AEB，
∴
故答案为
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
【正确答案】（1）x1=3＋，x2=3－；（2）x1=，x2=.
【详解】试题分析：
（1）用“配方法”解此方程即可；
（2）用“公式法”解此方程即可.
试题解析：
(1)x2－6x－6＝0，
配方得：x2－6x＋9＝ 15，
∴ (x－3)2＝ 15，
x－3＝ ± ，
∴x1＝3＋，x2＝3－.
(2)原方程可化为：，
∴△=，
∴，
∴.
20. 已知：如图，在中，.求证.
【正确答案】详见解析
【分析】根据相似三角形的判定，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法．
【详解】证明：∵，
∴.
∵， 且，
∴，
∴.
此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【正确答案】没有公平；理由见解析
【分析】根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和没有大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果没有概率相等，则游戏没有公平；
【详解】解：
根据题意，画树状图如下：
∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和没有大于5）＝ ，
∵≠，
∴游戏没有公平；
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【正确答案】要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【分析】设要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：设要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，
由题意，得，
解得：，．
有利于减少库存，
．
答：要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
本题考查了问题的数量关系利润售价进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据问题的数量关系建立方程．
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．
（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．
【详解】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE=，
∴∠DAE=，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故当时，四边形ADCE是一个正方形．
本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义，解题的关键是综合运用以上知识点．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x的取值范围为 ；
（3）求△OAB的面积．
【正确答案】（1）函数的解析式是：y1=x﹣；反比例函数的解析式是：y2=
（2）x＜﹣2或0＜x＜3
（3）
【分析】（1）根据图形得出A、B的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出其解析式；把A、B的坐标代入函数的解析式，即可求出函数的解析式；
（2）根据图象和A、B横坐标，即可得出答案．
（3）求得直线与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【小问1详解】
解：由图可知：A（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y2=的图象过点A（﹣2，﹣2），
∴m=4，
∴反比例函数的解析式是：y2=，
把x=3代入得，y=，
∴B（3，），
∵y=kx+b过A、B两点，
∴
解得：k=，b=﹣，
∴函数解析式是：y1=x﹣；
【小问2详解】
根据图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜3时，y1＜y2．
故x＜﹣2或0＜x＜3．
【小问3详解】
由函数y1=x﹣可知直线与y轴的交点为（0，﹣），
∴△OAB的面积=××2+××3=．
本题考查反比例函数与函数的交点问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
25. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,易证AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题,
（2）只需运用（1）中的结论,就可得到,就可解决问题,
（3）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,易证四边形ABSR是矩形,由（1）中的结论可得=．设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根据勾股定理可得①,在Rt△ARD中根据勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决.
【详解】解: （1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ,
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴,
（2）如图2,
∵EF⊥GH,AM⊥BN,
∴由（1）中的结论可得,,
∴
故答案为:,
（2）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴▱ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,
∵AM⊥DN,
∴由（1）中的结论可得,
设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,
∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,
在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,
由②﹣①得x=2y﹣5③,
解方程组得
（舍去）,或,
∴AR=5+x=8,
∴.
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 抛物线y=x2﹣2x向右平移2个单位再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A. y=x2+3 B. y=x2﹣4x+3 C. y=x2﹣6x+11 D. y=x2﹣6x+8
3. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ）
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，c＞0 C. b＞0，c＞0 D. a，b，c都小于0
4. 若没有等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A. 没有交点 B. 一个交点 C. 两个交点 D. 没有能确定
5. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（ ）
A. 6 B. 12 C. 15 D. 30
7. 若关于x的方程x2-x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
8. 关于x的一元二次方程x2-4x+(5-m)=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
9. 一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0，这两个方程的所有实数根之和为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 1
10. 有两个一元二次方程：①，②，其中a＋c＝0，
以下四个结论中，错误的是（ ）
A. 如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根；
B. 如果方程①和方程②有一个相同实数根，那么这个根必定是x=1；
C. 如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根；
D. 方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；
二、填 空 题
11. 方程x2＝2x的解是_______．
12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5、12，则它的外接圆半径R=______ ．
13. 已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所的路径长为___________cm．
14. 如图，内接于，于点，，，，则直径是________．
15. 如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口a至少为________cm．
16. 函数y=﹣x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P为正比例函数y=kx（k＞0）图象上一动点，且满足∠PBO=∠POA，则AP的最小值为_____．
三、解 答 题
17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所路径长（记过保留根号和π）．
18. 如图，已知在中，，是的平分线．
（1）作一个使它两点，且圆心在边上；（没有写作法，保留作图痕迹）
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
19. 解下列方程：（1）． （2）x2+4x-1=0．
20. 某商场一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当减价措施，经发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
21. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（没有含端点A、D），连结BE、CE．
（1）若a=5，AC=13，求b．
（2）若a=5，b=10,当BE⊥AC时，求出此时AE的长．
（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．
22. 关于x的一元二次方程有两个没有等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k值．
23. 如图，抛物线C1：y=x2+bx+c原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. 1 D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：根据题意画树状图如下：
∵共有4种等可能的结果，两枚都出现正面朝上的有1种情况，
∴两枚都出现正面朝上的概率是
故选B.
2. 抛物线y=x2﹣2x向右平移2个单位再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A. y=x2+3 B. y=x2﹣4x+3 C. y=x2﹣6x+11 D. y=x2﹣6x+8
【正确答案】C
【分析】
【详解】解：二次函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1的图象的顶点坐标是（1，﹣1），
则向右平移2个单位再向上平移3个单位后的函数图象的顶点坐标是（3，2）．
则所得抛物线解析式：y=（x﹣3）2+2=x2﹣6x+11．
故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
3. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ）
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，c＞0 C. b＞0，c＞0 D. a，b，c都小于0
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，再函数图象判断各选项．
解：由函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，
A、错误；B、错误；C、正确；D、错误；
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
4. 若没有等式组 （x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的交点（ ）
A. 没有交点 B. 一个交点 C. 两个交点 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】解：∵没有等式组(x为未知数)无解，
∴由
解得：
则x>a时此没有等式组无解，
∴
中，
∴二次函数的图象与x轴的没有交点．
故选A．
5. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上，而没有是交于y轴正半轴，故选项A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故选项B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而没有是y轴的负半轴，本图象没有符合题意，故选项C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而没有是开口向上，本图象没有符合同意，故选项D错误．
故选B．
本题考查二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
6. 如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（ ）
A. 6 B. 12 C. 15 D. 30
【正确答案】A
【详解】试题分析： ∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=×12=6，
在Rt△BOD中，∵OB=AB=8，BD=6，
∴OD==2，
∴S△OBD=OD•BD=×2×6=6．
考点：垂径定理；勾股定理．
7. 若关于x的方程x2-x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【正确答案】C
【详解】因为关于x的方程x2−2√x+cosα=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即(−)²−4×1×cosα=0，
∴cosα=，∴α=60°.
故选C.
8. 关于x的一元二次方程x2-4x+(5-m)=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
【正确答案】B
【详解】∵方程x²−4x+(5−m)=0有实数根，
∴b²−ac=(−4) ²−4(5−m)⩾0，
解得：m⩾1.
故选B.
9. 一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0，这两个方程的所有实数根之和为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 1
【正确答案】D
【详解】∵在方程x2﹣x﹣1=0中，△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴方程x2﹣x﹣1=0有两个没有相等的实数根，
设方程x2﹣x﹣1=0的两个根分别为m、n，
∴m+n=1．
∵在方程2x2﹣6x+5=0中，△=（﹣6）2﹣4×2×5=﹣4＜0，
∴方程2x2﹣6x+5=0没有实数根．
∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0的所有实数根之和为1．
故选D．
10. 有两个一元二次方程：①，②，其中a＋c＝0，
以下四个结论中，错误的是（ ）
A. 如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根；
B. 如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；
C. 如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根；
D. 方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；
【正确答案】B
【详解】选项A,因为两个判别式一致，所以A对.
选项B,因为将1代入方程，值相等，B对.
选项C,因为16a+4b+c=0,
选项D,
所以选B.
二、填 空 题
11. 方程x2＝2x的解是_______．
【正确答案】x1＝0，x2＝2
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【详解】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故x1＝0，x2＝2．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5、12，则它的外接圆半径R=______ ．
【正确答案】6.5
【详解】试题分析：因为直角三角形的两直角边长分别为5和12，所以斜边=13，所以它的外接圆的半径R=．
考点：勾股定理、直角三角形的外接圆．
13. 已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所的路径长为___________cm．
【正确答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
根据旋转的性质可得：∠EAF＝90°，
∵AD=12cm，DE=5cm，
∴，
∴点E所的路径长为
故答案是：．
14. 如图，内接于，于点，，，，则的直径是________．
【正确答案】6cm．
【详解】试题分析：作⊙O的直径AE，连CE，如图，∵AE为直径，∴∠ACE=90°，又∵∠E=∠B，∴Rt△AEC∽Rt△ABD，∴，而AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，∴AE==×4cm=6cm．所以⊙O的直径是6cm．故答案为6cm．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理．
15. 如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口a至少为________cm．
【正确答案】
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍，构造一个由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，再根据锐角三角函数的知识求解即可．
【详解】解：设正多边形的是O，其一边是AB，AC与BO相交于点M，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵OA=AB=6cm，∠AOB=60°，
∴∠OAC=30°，cos∠OAC=，
∴AM=6×=（cm），
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∴AC=2AM=6（cm）．
故答案为6．
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边和边心距组成的直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．
16. 函数y=﹣x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P为正比例函数y=kx（k＞0）图象上一动点，且满足∠PBO=∠POA，则AP的最小值为_____．
【正确答案】2﹣2
【详解】如图所示：
因∠PBO=∠POA，
所以∠BPO=90°，则点P是以OB为直径的圆上．
设圆心为M，连接MA与圆M的交点即是P，此时PA最短,
∵OA＝4，OM＝2，
∴MA＝
又∵MP＝2，AP＝MA－MP
∴AP＝．
三、解 答 题
17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所的路径长（记过保留根号和π）．
【正确答案】（1）作图见试题解析，A1（2，﹣4）；（2）作图见试题解析；（3）．
【分析】（1）找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2；
（3）C点旋转到C2点所的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）BC==，所以C点旋转到C2点所的路径长=．
本题考查了作图﹣旋转变换,轴对称变换,勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点.
18. 如图，已知在中，，是的平分线．
（1）作一个使它两点，且圆心在边上；（没有写作法，保留作图痕迹）
（2）判断直线与位置关系，并说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）与相切，理由见解析．
【分析】（1）作出AD的垂直平分线，交AB于点O，进而利用AO为半径求出即可；
（2）利用半径相等角平分线的性质得出OD∥AC，进而求出OD⊥BC，进而得出答案．
【详解】（1）①分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，
②作直线，与相交于点，
③以圆心，为半径作圆，如图即为所作；
（2）与相切，理由如下：
连接OD，
为半径，
，
是等腰三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
为半径，
与相切．
本题主要考查了切线的判定以及线段垂直平分线的作法与性质等知识，掌握切线的判定方法是解题关键．
19. 解下列方程：（1）． （2）x2+4x-1=0．
【正确答案】（1）x=5；（2） .
【详解】试题分析：（1）方程两边同时乘以(x-3)(x-2)去分母后，解一元方程，再解方程，验根即可；（2）首先把方程移项变形为x2+4x=1的形式，然后在方程的左右两边同时加上项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
试题解析：
（1）2（x-2）=3(x-3)
2x-4=3x-9
2x-3x=-9+4
-x=-5
x=5
当x=5时,x-3≠0,x-2≠0
所以x=5是方程的解.
（2）x2+4x-1=0，
移项得，x2+4x=1，
配方得，x2+4x+4=1+4，
（x+2）2=5，
开方得，x+2=±
解得 ，
20. 某商场一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
【正确答案】每件衬衫应降价元，进货件．
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天这种衬衣利润列出方程解答即可．
【详解】设每件衬衫应降价x元．
根据题意,得(44−x)(20+5x)=1600，
解得x1=4,x2=18.
∵“扩大量，减少库存”，
∴x1=4应略去，
∴x=18.
20+5x=110.
答：每件衬衫应降价18元，进货110件.
考查了一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键.
21. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（没有含端点A、D），连结BE、CE．
（1）若a=5，AC=13，求b．
（2）若a=5，b=10,当BE⊥AC时，求出此时AE的长．
（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．
【正确答案】(1) b=12；（2）；（3）见解析.
【详解】试题分析：（1）在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，利用勾股定理即可计算出结果.
（2）由∵BE⊥AC得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代换得到∠1=∠2，推出得到比例式，即可得到结论；
（3）点在线段上的任一点，且没有与重合，当与相似时，则当（如图2），又由平行线的性质得到推出得到比例式，进而可得得到一元二次方程根据方程根的情况，得到结论．
试题解析：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∵AB=a=5, AC=13，
∴b=12；
如图1，∵BE⊥AC
又
∴∠1 = ∠2,
又
∴△AEB ∽△BAC,
∴即,
∴.
（3）∵点E在线段AD上的任一点，且没有与A、D重合，
∴当△ABE与△BCE相似时，则
所以当△BAE ∽△CEB（如图2）
则∠1 = ∠BCE，
又BC∥AD,
∴∠2 = ∠BCE,
∴∠1 = ∠2 ,
又
∴△BAE ∽△EDC,
∴ 即 ,
∴ ,
即 ,
当 ,
∵a＞0，b＞0， ∴
即 时， .
综上所述：当a、b满足条件b = 2a时△BAE ∽△CEB，此时 (或x = a)；
当a、b满足条件b＞2a时△BAE ∽△CEB，此时.
22. 关于x的一元二次方程有两个没有等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
【正确答案】（1）k﹥；（2）k=2
【分析】（1）根据方程有两个没有相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉值，进而得到，k的取值范围解方程即可．
【详解】解：（1）∵原方程有两个没有相等的实数根
∴
解得：k﹥；
故k﹥.
（2）∵k﹥，
∴＜0
又∵
∴ ，
∴,
∵,
∴2k+1=k2+1，
解得：k1=0,k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故k=2．
23. 如图，抛物线C1：y=x2+bx+c原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．
【正确答案】（1）抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x，顶点坐标（1，﹣1）；
（2）抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1；
（3）m=．
【详解】试题分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出抛物线C1的解析式，即可求出抛物线C1的顶点坐标，
（2）先求出C2的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式．
（3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB=OC，列出方程求出m的值即可．
试题解析：（1）∵抛物线C1原点，与x轴的另一个交点为（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线C1解析式为y=x2﹣2x，
∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1），
（2）如图1，
∵抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，
∴C2的解析式为y=（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），
过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠ADE=90°
∴∠HCD=∠ADE，
∵∠DEA=90°，
∴△CHD≌△DEA，
∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，
∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，
由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去），
∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1．
（3）如图2，连接BC，BP，
由抛物线对称性可知AP=BP，
∵△PAC为等边三角形，
∴AP=BP=CP，∠APC=60°，
∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠CBO=∠CPA=30°，
∴BC=2OC，
∴由勾股定理得OB==OC，
∴（m2+2m）=m+2，
解得m1=，m2=﹣2（舍去），
∴m=．
点睛：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是正确作出辅助线，善于利用几何图形有关性质、定理和二次函数的知识求解.
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