2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共46页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D．的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在答题卡上．
1. 4的倒数是（　　）
A. B. 4 C. D.
2. 下列交通指示标识中,没有是轴对称图形的是(　　)
A. B. C. D.
3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程为（　　）
A. x2﹣4x+5=0 B. x2+x+1=y C. +8x﹣5=0 D. （x﹣1）2+y2=3
4. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a取值范围是（ ）
A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1
6. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都没有对
7. 某种商品原价200元，连续两次降价a%后，售价为148元．下列所列方程正确的是（ ）
A. 200(1+ a%)2=148 B. 200(1- a%)2=148
C. 200(1- 2a%)=148 D. 200(1-a2%)=148
8. .函数自变量x的取值范围是（ ）
A B. 且 C. D. 且
9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ）
A B. C. D.
10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
11. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有 11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是(　　)

A. 53 B. 51 C. 45 D. 43
12. 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（　　）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③④
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13. “渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为_____．
14. 计算：_____________．
15. 若函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=_____．
16. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）

A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
17. 甲、乙两人分别从两地同时出发登山，甲、乙两人距山脚的竖直高度y（米）与登山时间x（分）之间的图象如图所示，若甲的速度一直保持没有变，乙出发2分钟后加速登山，且速度是甲速度的4倍，那么他们出发_____分钟时，乙追上了甲．

18. 如图，正方形ABCD的边长为，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB， 垂足为点F，则EF的长是__________．

三、解 答 题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 解方程：（1）x2﹣2x=5 （2）2（x﹣3）=3x（x﹣3）
20. 如图，AB∥CD，BD=CD，∠D=36°，求∠ABC的度数．

四、解 答 题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. 2016年9月，某手机公司发布了新款智能手机，为了某小区业主对该款手机购买意向，该公司在某小区随机对部分业主进行了问卷，规定每人只能从A类（立刻去抢购）、B类（降价后再去买）、C类（犹豫中）、D类（肯定没有买）这四类中选一类，并制成了以下两幅没有完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）扇形统计图中B类对应的百分比为　 　%，请补全条形统计图；
（2）若该小区共有4000人，请你估计该小区大约有多少人立刻去抢购该款手机．
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，求DF的长为多少？

23. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m)，另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成．

(1)若围成的面积为180 m2，试求出自行车车棚的长和宽；
(2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方,如果没有能，请说明理由．
24. 设a、b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝,例如：1⊕(－3)＝＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)⊕(x－1)＝ (因为x2＋1＞0)．参照上面材料，解答下列问题：
(1)2⊕4＝ ，(－2)⊕4＝ ；
(2)若x＞ ，且满足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．
五、解 答 题：（本题共2小题，25题10分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元，一个月能售出500千克．若价每涨1元，则月量减少10千克．
（1）要使月利润达到，单价应定为多少元？
（2）要使月利润没有低于8000元，请画出草图图象说明单价应如何定？
26. 如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点．

求抛物线的解析式；
设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；
点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D．的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在答题卡上．
1. 4的倒数是（　　）
A. B. 4 C. D.
【正确答案】D

【详解】解：4的倒数是．故选D
2. 下列交通指示标识中,没有是轴对称图形的是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】轴对称图形是指将图形沿着某条直线折叠，则直线两边的图形能够完全重合.根据定义可得：本题中A、B和D都是轴对称图形.
考点：轴对称图形
3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程为（　　）
A. x2﹣4x+5=0 B. x2+x+1=y C. +8x﹣5=0 D. （x﹣1）2+y2=3
【正确答案】A

【详解】A. x2﹣4x+5=0，一元二次方程，符合题意； B. x2+x+1=y，没有符合题意，二元二次方程； C. +8x﹣5=0，分式方程，没有符合题意； D. （x﹣1）2+y2=3，没有符合题意，是二元二次方程，故选A.
4. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线解析式，
∴二次函数图象的顶点坐标是（-1，-2）．
故选：C．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），（最小）值，增减性等．
5. 若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ）
A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1
【正确答案】C

【分析】根据一元二次方程的根的判别式列没有等式求解.
【详解】解：∵方程有实数根
∴△=4-4a≥0，
解得a≤1
故选C．
本题考查一元二次方根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键.

6. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都没有对
【正确答案】B

【详解】解方程得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，没有能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，
故选B．
7. 某种商品原价200元，连续两次降价a%后，售价为148元．下列所列方程正确的是（ ）
A. 200(1+ a%)2=148 B. 200(1- a%)2=148
C. 200(1- 2a%)=148 D. 200(1-a2%)=148
【正确答案】B

【分析】根据题意可得出两次降价后的售价为200(1- a%)2，列方程即可．
【详解】解：根据题意可得出两次降价后的售价为200(1- a%)2，
∴200(1- a%)2=148
故选：B．
本题主要考查增长率问题，找准题目中的等量关系是解此题的关键．
8. .函数的自变量x的取值范围是（ ）
A B. 且 C. D. 且
【正确答案】A

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母没有等于0，可以求出x的范围．
【详解】根据题意得：且x−3≠0，
解得：且x≠3，
自变量的取值范围，
故选:A.
考查自变量的取值范围，熟练掌握分式以及二次根式有意义的条件是解题的关键.
9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故没有合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像应开口向下，故没有合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，a＜0，故没有合题意，图形错误．
故选：C．

10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
【正确答案】A

【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=0，
又a+b+c=0，即b=−a−c，
代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，
即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，
∴a=c，
故选：A．
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系是解题关键．
11. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有 11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是(　　)

A. 53 B. 51 C. 45 D. 43
【正确答案】B

【分析】根据给出的图示可得：我们可以将这些星星分成两部分，找出其规律即可得出解.
【详解】根据给出的图示可得：我们可以将这些星星分成两部分，
最下面的一横作为一部分，规律为（2n-1），
上面的就是等差数列求和，规律为：，
则所有的五角星的数量的和的规律为：+（2n-1），
则图形8中的星星的个数==36+15=51.
故选：B
考点：规律题.
12. 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（　　）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③④
【正确答案】C

【分析】根据二次函数的性质逐一进行判断即可
【详解】解：∵x＝1时，y＝0，∴a＋b＋c＝0，所以①正确；
∵x＝＝－1，∴b＝2a，所以②错误；
∵点(1，0)关于直线x＝－1对称的点的坐标为(－3，0)，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)，
∴ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1，所以③正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，
∵a＋b＋c＝0，b＝2a，∴c＝－3a，
∴a－2b＋c＝－6a，
∵a＞0，∴－6a＜0
∴a－2b＋c＜0，
所以④错误．
故选：C
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式.
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13. “渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为_____．
【正确答案】1.1×104

【详解】试题解析：11000=1.1×104．
考点：科学记数法---表示较大的数.
14. 计算：_____________．
【正确答案】6

【分析】本题涉及值、乘方、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】原式=3+1+2=6.
故答案为6.
考查实数的运算，熟练掌握值，乘方，立方根是解题的关键.
15. 若函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=_____．
【正确答案】9

【详解】由题意得△=0，即（-6）2-4m=0，解得m=9，
故答案为9.
16. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）

A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
【正确答案】A

【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
此题考察学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键．
17. 甲、乙两人分别从两地同时出发登山，甲、乙两人距山脚的竖直高度y（米）与登山时间x（分）之间的图象如图所示，若甲的速度一直保持没有变，乙出发2分钟后加速登山，且速度是甲速度的4倍，那么他们出发_____分钟时，乙追上了甲．

【正确答案】

【详解】试题解析：如图，

∵C（0，50），B（10，150），
∴直线CD的解析式为y=10x+50，
由题意A（2，30），
甲的速度为10米/分，
∴乙加速后的速度为40米/分，
∴乙从A到B的时间==3，
∴B（5，150），
∴直线AB的解析式为y=40x-50，
由，解得
∴那么他们出发分钟时，乙追上了甲．
18. 如图，正方形ABCD的边长为，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB， 垂足为点F，则EF的长是__________．

【正确答案】2

【分析】设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．
【详解】设EF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=4+4，EF=BF=x，
∴BE=x，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴BD=BE+ED=x+4+2=4+4，
解得：x=2，
即EF=2.
三、解 答 题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 解方程：（1）x2﹣2x=5 （2）2（x﹣3）=3x（x﹣3）
【正确答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
试题解析：（1）∵x2﹣2x=5，
∴x2﹣2x+1=5+1，
∴（x+1）2=6，
∴ ，
解得：，；
（2）∵2（x﹣3）=3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（2﹣3x）=0，
∴x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得，x1=3，.
20. 如图，AB∥CD，BD=CD，∠D=36°，求∠ABC的度数．

【正确答案】∠ABC=72°.

【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质即可解决问题．
试题解析∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=（180°-∠D）=72°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB=72°
四、解 答 题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. 2016年9月，某手机公司发布了新款智能手机，为了某小区业主对该款手机的购买意向，该公司在某小区随机对部分业主进行了问卷，规定每人只能从A类（立刻去抢购）、B类（降价后再去买）、C类（犹豫中）、D类（肯定没有买）这四类中选一类，并制成了以下两幅没有完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）扇形统计图中B类对应的百分比为　 　%，请补全条形统计图；
（2）若该小区共有4000人，请你估计该小区大约有多少人立刻去抢购该款手机．
【正确答案】（1）20，补图见解析；（2）估计该小区大约有320人立刻去抢购该款手机．

【分析】（1）求出总人数，再计算B类对应的百分比，画出条形图即可；
（2）用样本估计总体的思想即解决问题.
【详解】（1）根据D组的百分比以及人数，可知总人数=40÷16%=250（人），扇形统计图中B类对应的百分比为，A组人数=250﹣50﹣140﹣40=20，
补全条形统计图如下：

（2）估计该小区立刻去抢购该款手机在“A”选项的有4000×%=320（人）
答：估计该小区大约有320人立刻去抢购该款手机．
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，求DF的长为多少？

【正确答案】DF=6．

【详解】试题分析：根据矩形性质求出∠D=90°，DC=AB=8，根据折叠得出CF=BC=10，根据勾股定理求出即可．
试题分析：∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，
∴∠D=90°，DC=AB=8，
∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，
∴BC=CF=10，BE=EF，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=．
23. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m)，另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成．

(1)若围成面积为180 m2，试求出自行车车棚的长和宽；
(2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方,如果没有能，请说明理由．
【正确答案】（1）长和宽分别为18 m，10 m；（2）没有能，理由见解析

【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；
（2）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．
【详解】解：(1)设AB＝x，则BC＝38－2x.根据题意，得
x(38－2x)＝180，
解得x1＝10，x2＝9.
当x＝10时，38－2x＝18；
当x＝9时，38－2x＝20>19，没有符合题意，舍去．
答：若围成的面积为180 m2，自行车车棚的长和宽分别为18 m，10 m.

(2)没有能，理由如下：
根据题意，得x(38－2x)＝200，
整理，得x2－19x＋100＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝361－400＝－39＜0，
∴此方程没有实数根．
∴没有能围成面积为200 m2的自行车车棚．
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握计算法则是解题关键.
24. 设a、b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝,例如：1⊕(－3)＝＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)⊕(x－1)＝ (因为x2＋1＞0)．参照上面材料，解答下列问题：
(1)2⊕4＝ ，(－2)⊕4＝ ；
(2)若x＞ ，且满足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．
【正确答案】（1）2，-6；（2）x=3.

【分析】根据新定义的法则，列出算式或方程求解即可得.
【详解】（1）2⊕4==2，
（﹣2）⊕4=﹣2﹣4=﹣6；
（2）∵x＞，
∴（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），
即=﹣4﹣（1﹣4x），
=4x﹣5，
4x2﹣1=（4x﹣5）（2x﹣1），
4x2﹣1=4x2﹣14x+5，
2x2﹣7x+3=0，
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
解得x1=，x2=3．
经检验，x1=是增根，x2=3是原方程的解，
故x的值是3．
故答案为2，﹣6．
五、解 答 题：（本题共2小题，25题10分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元，一个月能售出500千克．若价每涨1元，则月量减少10千克．
（1）要使月利润达到，单价应定为多少元？
（2）要使月利润没有低于8000元，请画出草图图象说明单价应如何定？
【正确答案】（1）要使月利润达到，单价应定为70元；（2）当单价没有小于10元而没有大于30元时，商场获得的周利润没有低于8000元．

【详解】试题分析：（1）月利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入，然后利用配方法即可得；
（2）根据题意画出图象，通过观察即可得.
试题解析：（1）设单价定为每千克x元，获得利润为w元，则：
w=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]，
=﹣10x2+1400x﹣40000，
=﹣10（x﹣70）2+9000，
故当x=70时，利润为9000元．
答：要使月利润达到，单价应定为70元；
（2）令y=8000，则﹣10（x﹣20）2+9000=8000，
解得x1=10，x2=30．
函数的大致图象为：

观察图象当10≤x≤30时，y没有低于8000．
所以当单价没有小于10元而没有大于30元时，商场获得的周利润没有低于8000元．
本题考查二次函数的实际应用，根据利润=（售价-进价）×销量，列出函数解析式，然后进行求解是关键.
26. 如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点．

求抛物线的解析式；
设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；
点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1) ;(2)2;(3)见解析.

【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对称轴可求得D点坐标，则可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD为直角三角形，则可求得其面积；
（3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
把代入可得，解得，
∴抛物线解析式为；
在中，令可得，解得或，
∴，，
设直线解析式为，把代入得：，解得，
∴直线解析式为，
由可知抛物线的对称轴为，此时，
∴，
∴，，，
∵，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴；
由题意知轴，则，
∴为直角三角形，分和两种情况，
①当时，即轴，则、的纵坐标相同，
∴点纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，即点的横坐标为，
∵点在直线上，
∴当时，，当时，，
∴点坐标为或；
②当时，
∵，，
∴直线解析式为，
∵直线解析式为，
∴，
∴直线与抛物线的交点即为点，
联立直线与抛物线解析式有，解得或，
当时，，当时，，
∴点坐标为或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或．
考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.










2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选
1. 相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（    ）
A. B.
C. D.
3. 下列中是必然发生的是（　　）
A. 打开电视机，云阳电视台正在播报新闻 B. 射击运动员射击，命中十环
C. 在地球上，抛出的篮球会下落 D. 明天会下雨
4. 下列图形中，没有是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
5. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ， D.
6. 函数 中自变量的取值范围是（    ）
A. x≥－1 B. x≥－1且x≠2
C x≠2 D. x≠－1且x≠2
7. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）
A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4
8. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的二次函数解析式为　　
A. B. C. D.
9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A. B. C. 且 D. 且
10. 在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
11. 观察下列个图中小圆点摆放规律，按这样的规律急促摆放下去，
则第⑦个图形小圆点的个数为（    ）

A. 62 B. 64 C. 66 D. 68
12. 已知有9张卡片，分别写有1到9这就个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，若数a使关于x的没有等式组 有解，且使函数 在x≥7的范围内y随着x的增大而增大，则这9个数中满足条件的a的值的和是（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填 空 题
13. 今年国庆中秋喜相逢，“双节”假期重庆天气晴雨相间，市民出游热情高涨．云阳龙缸景区接待游客达23.32万人次，把数23.32万用科学记数法表示：_______．
14. 计算：_________．
15. 已知二次函数的图象上有三点A(4，y1)，B(2，y2)，C(，y3)，则用“<”表示y1、y2、y3的大小关系为__________.
16. 某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.
17. 为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程s(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们次相遇的时间是起跑后的第____秒．

18. 如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是_______．

三、解 答 题请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：BC=DE．

20. 为了解全校学生上学的交通方式，我校初三（21）班的5名同学联合设计了一份问卷，对该校部分学生进行了随机．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被同学从中单选．并将结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次接受的总人数是　　人，其中“步行”的人数是　 　人；
（2）在扇形统计图中，“乘公交车”的人数所占的百分比是　　，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是　　；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
四、解 答 题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. （1） 解方程：x2+6x+5=0；（2）计算： ．
22. 我县某公司参加社会公益，准备购进一批许愿瓶进行，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场，这种许愿瓶一段时间内的量 （单位：个）与单价 （单位：元/个）之间的关系式为．
（1） 若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场的规律，求利润 （单位：元）与单价 （单位：元/个）之间的函数关系式；
（2） 在（1）问的条件下，若许愿瓶的进货成本没有超过900元，要想获得利润，试确定这种许愿瓶的单价，并求出此时的利润．
23. 每逢金秋送爽之时，正是大闸蟹上市的旺季，也是吃蟹的时机，可谓膏肥黄美.九月份，某经销商购进一批雌蟹、雄蟹共1000只，进价均为每只40元，然后以雌蟹每只75元、雄蟹每只60元的价格售完，共获利29000元.
（1）求该经销商分别购进雌蟹、雄蟹各多少只？
（2）民间有“九雌十雄”的说法，即九月吃雌蟹，十月吃雄蟹.十月份，在进价没有变的情况下该经销商决定调整价格，将雌蟹的价格在九月份的基础上下调（降价后售价没有低于进价），雄蟹的价格上涨，同时雌蟹的销量较九月下降了，雄蟹的销量上升了，结果十月份的额比九月份增加了1000元，求a的值.
24. 在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，在AB的延长线上截取BE，使BE＝CD，连接DE交BC于点F．
（1）如图1，当∠CAB＝60°时，若AB＝2，求DE的长度；
（2）如图2，当∠CAB≠60°时，求证：BE＝2BF．

五、解 答 题
25. 小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+4x﹣3可知，a1=﹣1，b1=4，c1=﹣3，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
（1）请参考小明方法写出函数y=﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”；
（2）若函数与y=x2﹣3nx+n互为“旋转函数”，求．
26. 如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的时，求□APQM面积．




























2022-2023学年重庆市江北区九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】根据只有符号没有同的两数互为相反数，可知-2017的相反数为2017.
故选B.
2. 下列运算正确的是（    ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C． ，故C正确；
D．，故D错误．
故选C．
3. 下列中是必然发生的是（　　）
A. 打开电视机，云阳电视台正在播报新闻 B. 射击运动员射击，命中十环
C. 在地球上，抛出的篮球会下落 D. 明天会下雨
【正确答案】C

【详解】解：A．打开电视机，云阳电视台正在播报新闻是随机，故A错误；
B．射击运动员射击，命中十环是随机，故B错误；
C．在地球上，抛出的篮球会下落是必然，故C正确；
D．明天会下雨是随机，故D错误．
故选C．
4. 下列图形中，没有是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形没有是轴对称图形．
故选A．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
5. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ， D.
【正确答案】C

【详解】，
或，
．
故选：C．
6. 函数 中自变量的取值范围是（    ）
A. x≥－1 B. x≥－1且x≠2
C. x≠2 D. x≠－1且x≠2
【正确答案】B

【详解】解：由题意得：x+1≥0且x-2≠0，解得：x≥－1且x≠2．故选B．
7. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）
A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4
【正确答案】A

【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可.
【详解】解：移项得：x2-6x=5，
两边同时加上9得：x2-6x+9=14，
即（x-3）2=14，
故选A．
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键.
8. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的二次函数解析式为　　
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：将二次函数y=（x-1）2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到函数解析式为：y=（x-1+2）2+2-3，即y=（x+1）2-1．故选C．
9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A. B. C. 且 D. 且
【正确答案】B

【分析】本题分两种情形讨论：当k=0时，判断此时方程是否有根；当k≠0时，根据判断判别式列出没有等式求解即可.
【详解】解：当k=0时，方程为-6x+9=0，此时方程的解为 ，符合题意；
当k≠0时，∵关于的方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
又k≠0，
∴ 且k≠0，
综上所述，当时，关于的方程有实数根.
故选：B.
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，以及分类讨论数学思想，进行分类讨论是解题的关键.
10. 在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】可先根据函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解： A.由函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；
B.由函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；
C.由函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；
D.正确．
故选D．
本题考查的是函数和二次函数的图象，应该熟记函数y=kx+b在没有同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标．
11. 观察下列个图中小圆点的摆放规律，按这样的规律急促摆放下去，
则第⑦个图形的小圆点的个数为（    ）

A. 62 B. 64 C. 66 D. 68
【正确答案】C

【详解】个图形有6= 个小圆点，第二个有9= 个小圆点，第三个图形有18= 个小圆点,……第⑦个图形的小圆点的个数为 .故选C.
12. 已知有9张卡片，分别写有1到9这就个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，若数a使关于x的没有等式组 有解，且使函数 在x≥7的范围内y随着x的增大而增大，则这9个数中满足条件的a的值的和是（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【正确答案】D

【详解】解：解没有等式4x≥3（x+1），可得：x≥3，解没有等式2x﹣＜a，可得：x＜．∵没有等式组 有解，∴＞3，解得a＞5．∵y=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，∴对称轴为x=a，开口向上，∴当x≥a时，y随x的增大而增大．∵函数y=x2﹣2ax在x≥7的范围内y随x增大而增大，∴a≤7，综上可知5＜a≤7．∵a为1到9这九个数字中的一个，∴a的值为6或7，∴满足条件的a的值之和=6+7=13．故选D．
点睛：本题主要考查没有等式组的解法及二次函数的性质，根据条件求得a的取值范围是解题的关键．
二、填 空 题
13. 今年国庆中秋喜相逢，“双节”假期重庆天气晴雨相间，市民出游热情高涨．云阳龙缸景区接待游客达23.32万人次，把数23.32万用科学记数法表示：_______．
【正确答案】

【详解】解：23.32万=2.332×105．故答案为2.332×105．
14. 计算：_________．
【正确答案】0

【详解】原式=1-4+3=0
故答案为0.
15. 已知二次函数的图象上有三点A(4，y1)，B(2，y2)，C(，y3)，则用“<”表示y1、y2、y3的大小关系为__________.
【正确答案】

【详解】解：二次函数y=3(x-1)2+1，对称轴x=1，
点A(4，y1)，B(2，y2)，C(-3，y3) 在图象上，
∵|2-1|<|4-1|<|-3-1|，
∴y2 故y2 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小.
16. 某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.
【正确答案】20%

【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案．
【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
（1+x）2=1+44%，
解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．
故答案为20%
此题考查增长率问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每增长的基础．
17. 为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程s(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们次相遇的时间是起跑后的第____秒．

【正确答案】120

【详解】解：设直线OA的解析式为y=kx，代入A（200，800）得800=200k，解得k=4，故直线OA的解析式为y=4x，设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意得：，解得：，∴BC的解析式为y1=2x+240，当y=y1时，4x=2x+240，解得：x=120．
则她们次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故答案为120．

本题考查了函数的运用，函数的图象的意义的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，解答时认真分析求出函数图象的数据意义是关键．
18. 如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是_______．

【正确答案】

【详解】解：∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，对角线OB在y轴上，且OB=2，∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，故1=，解得：x=±，故A（，1），C（﹣，1），故菱形OABC的面积是：2×（×2×）=．故答案为．
点睛：本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题的关键．
三、解 答 题请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：BC=DE．

【正确答案】证明见解析．

【详解】解：证明：∵AB∥EC，

∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE．
20. 为了解全校学生上学的交通方式，我校初三（21）班的5名同学联合设计了一份问卷，对该校部分学生进行了随机．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被同学从中单选．并将结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次接受的总人数是　　人，其中“步行”的人数是　 　人；
（2）在扇形统计图中，“乘公交车”的人数所占的百分比是　　，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是　　；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
【正确答案】（1） 300，88；（2）42%，24°；（3）．

【详解】试题分析：（1）用骑自行车的人数除以它所占的百分比即可得到的总人数，再用总人数－骑自行车的人数－乘公交车的人数－私家车的人数－其他方式的人数即可得到“步行”的人数；
（2）用“乘公交车”的人数÷总人数即可得到其所占的百分比，用“其他方式”的人数÷总人数再乘以360°得到“其他方式”所在扇形的圆心角度数；
（3）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：解：（1）本次接受的总人数为54÷18%=300（人），“步行”的人数=300-54-126-12-20=88（人）；
（2）“乘公交车”的人数所占的百分比是==42%；扇形统计图中“其他方式”所在扇形的圆心角度数为×360°=24°；
（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率==．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
四、解 答 题解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. （1） 解方程：x2+6x+5=0；（2）计算： ．
【正确答案】（1）x1=－1，x2=－5；（2）．

【详解】试题分析：（1）用因式分解法解方程即可；
（2）先把括号内的部分通分计算后，再用分式除法法则计算．
试题解析：解：（1）（x+5）（x+1）=0，解得：x1=－1，x2=－5；
（2）原式===．
22. 我县某公司参加社会公益，准备购进一批许愿瓶进行，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场，这种许愿瓶一段时间内的量 （单位：个）与单价 （单位：元/个）之间的关系式为．
（1） 若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场的规律，求利润 （单位：元）与单价 （单位：元/个）之间的函数关系式；
（2） 在（1）问的条件下，若许愿瓶的进货成本没有超过900元，要想获得利润，试确定这种许愿瓶的单价，并求出此时的利润．
【正确答案】（1）；（2）单价定为每个15元时，利润为1350元．

详解】试题分析：（1）利用w=销量×每个利润，进而得出函数关系式；
（2）利用进货成本没有超过900元，得出x的取值范围，进而得出函数最值．
试题解析：解：（1）由题意得：w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，∴w与x的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600；
（2）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得：x≥15，在w=﹣30x2+780x﹣3600中，对称轴为：x=﹣=13．∵a=﹣30，∴当x＞13时，w随x的增大而减小，∴x=15时，w为：（15﹣6）（﹣30×15+600）=1350，∴单价定为每个15元时，利润为1350元．
点睛：本题主要考查了二次函数的应用，正确得出w与x之间的函数关系式是解题的关键．
23. 每逢金秋送爽之时，正是大闸蟹上市的旺季，也是吃蟹的时机，可谓膏肥黄美.九月份，某经销商购进一批雌蟹、雄蟹共1000只，进价均为每只40元，然后以雌蟹每只75元、雄蟹每只60元的价格售完，共获利29000元.
（1）求该经销商分别购进雌蟹、雄蟹各多少只？
（2）民间有“九雌十雄”说法，即九月吃雌蟹，十月吃雄蟹.十月份，在进价没有变的情况下该经销商决定调整价格，将雌蟹的价格在九月份的基础上下调（降价后售价没有低于进价），雄蟹的价格上涨，同时雌蟹的销量较九月下降了，雄蟹的销量上升了，结果十月份的额比九月份增加了1000元，求a的值.
【正确答案】（1）雌蟹600只，雄蟹400只；（2）a=20.

【详解】试题分析：（1）直接根据题意表示出雌蟹与雄蟹总利润进而得出等式，求出答案；
（2）利用价格与销量的变化表示出额，进而得出等式求出答案．
试题解析：(1)设雌蟹购进x只,则雄蟹购进(1000−x)只，
根据题意可得：(75−40)x+(60−40)(1000−x)=29000，
解得：x=600，
则1000−600=400(只)，
答：雌蟹600只，雄蟹400只；
(2)十月份的额=75×600+60×400+1000=70000，
75(1−a%)×600(1−a%)+60(1+a%)×400(1+25%)=70000，
令a%=t,整理得：15t2−13t+2=0，
解得：t1=,t2=，
当t=时,售价=75×(1−)=25<40，没有合题意舍去；
当t=时,售价=75×(1−)=60>40，
故a=20.
24. 在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，在AB的延长线上截取BE，使BE＝CD，连接DE交BC于点F．
（1）如图1，当∠CAB＝60°时，若AB＝2，求DE的长度；
（2）如图2，当∠CAB≠60°时，求证：BE＝2BF．

【正确答案】（1）；（2）答案见解析．

【详解】试题分析：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．在Rt△DEH中，求出DH、EH，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，作DH∥AB交BC于H，连接EH．只要证明四边形DBEH是平行四边形，再证明BH=BE，即可解决问题．
试题解析：解：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．

∵AC=AB，∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=2，∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴AD=DC=1．在Rt△ADH中，∵∠ADH=30°，AD=1，∴AH=，DH=．∵BE=CD=1，∴EH=BH+BE=．在Rt△DHE中，DE===．
（2）如图2中，作DH∥AB交BC于H，连接EH．

∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DH∥AB，∴∠DHC=∠ABC=∠C，∴DH=DC．∵DC=BE，∴四边形DBEH是平行四边形，∴FH=FB，BD∥EH，∴∠BHE=∠DBH，∠DBA=∠BEH．∵∠DBA=∠DBC，∴∠BHE=∠BEH，∴BH=BE，∴BE=2BF．
点睛：本题考查了三角形综合题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
五、解 答 题
25. 小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+4x﹣3可知，a1=﹣1，b1=4，c1=﹣3，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
（1）请参考小明的方法写出函数y=﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”；
（2）若函数与y=x2﹣3nx+n互为“旋转函数”，求．
【正确答案】（1）y=x2+4x+3；（2）－1．

【详解】试题分析：（1）根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2=﹣1，b2=﹣3，c2=﹣2，从而求出函数y=x2﹣3x﹣2的“旋转函数”；
（2）根据旋转函数的定义得到：，从而解得m=﹣15，n=3，进而求出结论．
试题解析：解：（1）在y=﹣x2+4x﹣3中，a1=﹣1，b1=4，c1=﹣3．∵a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，∴a2=1，b2=4，c2=3，可得函数y=﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”为y=x2+4x+3；
（2）根据题意得：，解得：．
=[×（﹣15）+3]2017=﹣1．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
26. 如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的时，求□APQM面积．

【正确答案】（1）直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）△FGH周长的值为；
（3）□APQM面积为5或10．

【详解】试题分析：（1）根据抛物线解析式求得点A、B、C点坐标，由点D，C关于抛物线的对称轴对称得点D坐标，继而利用待定系数法求解可得；
（2）设点F（x，-x2+2x+3），根据FH∥x轴及直线AD的解析式y=x+1可得点H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），继而表示出FH的长度，根据二次函数的性质可得FH的最值情况，易得△FGH为等腰直角三角形，从而可得其周长的值；
（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得▱APQM面积．
试题解析：（1）令－x2+2x+3=0，
解得x1=－1，x2=3，
∴A（－1，0），C（0，3），
∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）设点F（x，－x2+2x+3），
∵FH∥x轴，
∴H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），
∴FH=－x2+2x+2-x=-（x－）2+，
∴FH的值为，
由直线AD解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHG=∠DAB=45°，
∴FG=GH=×=
故△FGH周长的值为×2+=；
（3）①当P点在AM下方时，如图，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的，
∴PQ′必过AM中点N（0，2），
∴可知Q′在y轴上，易知′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，
故T（1，4），从而T、M重合，
故□APQM是矩形，
易得直线AM解析式为：y=2x+2，
而MQ⊥AM，
∴直线′：y=－x+，
∴4+p=－×2+，∴p=－，（注：此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=－），∴PN=，
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；
②当P点在AM上方时，如图，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的，
∴PQ′必过QM中点R（，4+），
易得直线′：y=－x+p+5，
联立解得：x=，y=，
∴H，
∵H为′中点，故易得Q′，
由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（－）x+p，
将Q′代入到y=（－）x+p得：
=（－）×+p，
整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），
∴P（0，7），∴PN=5，
∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×∣xM －xA∣=2××5×2=10．
综上所述，□APQM面积为5或10
点睛：本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质与矩形的判定、性质等知识点，根据点P的位置分类讨论以及根据已知条件求出点P的坐标是解决本题的难点.