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2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，三象限B. ，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
2. 已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3
3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 1 D. ﹣1
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）
A 3 B. C. D. 2
5. 如图，⊙O是△ABC外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
6. 从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是对称图形的卡片的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
7. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
8. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 二次函数的最小值是_____．
12. 若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，则k的取值范围是____．
13. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
14. 有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的没有透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为_____．
15. 已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
17. 如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为________．
18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，∠ABD＝30°，则图中阴影部分的面积为_____．（没有取近似值）
三、解 答 题(共66分)
19 解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.
20. 设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？请说明理由．
21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
22. 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．
（1）先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①求次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；
（2）先从袋中摸出1个球后没有放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
23. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O切线；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
24. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
25. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
26. 如图，抛物线图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M没有与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标.
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）．
∴得到的抛物线的解析式为．
故选B．
2. 已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3
【正确答案】A
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴4+2m+2＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可.
3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 1 D. ﹣1
【正确答案】D
【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，
△，
解得a=﹣1．
故选D．
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【正确答案】A
【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°．
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．
∵AD=6，∴AB=AD=3．
故选A．
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
【正确答案】B
【详解】试题解析：
在中，
故选B.
6. 从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是对称图形的卡片的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【详解】试题分析：在这四个图片中只有第三幅图片是对称图形，因此是对称称图形的卡片的概率是．
故选A．
考点：1.概率公式；2.对称图形．
7. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
【正确答案】D
【分析】弧长公式为： 再分析所在扇形的圆心角与半径，再计算即可得到答案.
【详解】解：由旋转的性质可得： 而
的长==1.5π．
故选D．
本题考查是旋转的性质，弧长的计算，掌握“旋转的性质与弧长公式”是解本题的关键.
8. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
【正确答案】C
【详解】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞0，＜0．∴＜0，
∴函数的图象二、三、四象限．故选C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
【正确答案】D
【分析】分圆P在y轴左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选D．
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】B
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴,x＞0．
∴a与b异号．
∴ab＜0，正确．
②∵抛物线与x轴有两个没有同的交点，
∴b2﹣4ac＞0．
∵c=1，
∴b2﹣4a＞0，即b2＞4a．正确．
④∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1．∴b﹣1＜0，即b＜1．∴0＜b＜1，正确．
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b．
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2．
∴0＜a+b+c＜2，正确．
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当﹣1＜x＜x0时，y＞0；当x＞x0时，y＜0．
∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误．
综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 二次函数的最小值是_____．
【正确答案】5．
【详解】二次函数的性质．
【分析】∵，∴当时，函数有最小值5．
12. 若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，则k的取值范围是____．
【正确答案】．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，
∴△=[2（k﹣1）]2﹣4k2=﹣8k+4≥0，
解得：k≤．
考点：根的判别式．
13. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
【正确答案】
【分析】根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．
【详解】如图，
根据题意，得
∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，
根据三角形的外角的性质，可得
三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．
故答案为22．
平移的基本性质是：①平移没有改变图形的形状和大小；②平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质．
14. 有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的没有透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：解分式方程得：x=，
∵x为正整数，
∴=1或=2（是增根，舍去），
解得：a=0，
把a的值代入原方程解方程得到的方程的根为1，
∴能使该分式方程有正整数解的有1个，
∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为.
考点：1.概率公式；2.解分式方程．
15. 已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．
【正确答案】m≥﹣2
【详解】抛物线的对称轴为直线，
∵当x＞2时，y值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．
故答案为m≥﹣2．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
【正确答案】160°##160度
【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π，
∴=3600π，
解得：n=160．
此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式．
17. 如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为________．
【正确答案】9
【详解】试题分析：如图：连接OG，∵BD=10，DF=4，∴⊙O的半径r=OD+DF=BD+DF=×10+4=9，∴OG=9，在Rt△GOD与Rt△ADO中，OD=OD，AO=GD，∠AOD=∠GDO=90°，∴△AOD≌△GDO，∴OG=AD=9，故答案为9．
考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．矩形的性质；5．几何图形问题．
18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，∠ABD＝30°，则图中阴影部分的面积为_____．（没有取近似值）
【正确答案】．
【详解】试题分析：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．∵∠ABC=90°，AD=，∠ABD为30°，∴BD=，∴AB=3，∵OB=OE，∠DBC=60°，OF⊥BE，∴OF=，∵CD为⊙O的切线，∴∠BDC=90°，∴∠C=30°，∴BC=，S阴影=S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE==．故答案为．
考点：1．切线的性质；2．直角梯形；3．扇形面积的计算；4．几何图形问题．
三、解 答 题(共66分)
19. 解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.
【正确答案】x1＝＋，x2＝－.
【详解】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x＋1)(x－1)＝2x
x2-2x-1=0
∵a=1，b=-，c=-1
∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
∴x==±
∴x1＝＋，x2＝－.
20. 设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？请说明理由．
【正确答案】没有存在
【详解】试题分析：根据方程有实数根根的判别式即可得出关于的一元没有等式，解之即可得出的取值范围，再根据根与系数的关系即可得出关于的一元没有等式，解之即可得出的取值范围，由两个的范围无交集即可得出没有存在实数使得成立．
试题解析：没有存在．
理由：由题意得
解得
∵是一元二次方程的两个实数根，
由，得
∴没有存在实数使得成立.
21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【正确答案】（1）如下图；（2）；（3）（－2，0）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转旋转180°的对应点A1、B1的位置，然后与点C顺次连接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转，然后写出坐标即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．
【详解】（1）画出△A1B1C与△A2B2C2如图
（2）如图所示,旋转的坐标为:（，-1）
(3) 如图所示,点P坐标为（-2，0）.
22. 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．
（1）先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①求次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；
（2）先从袋中摸出1个球后没有放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
【正确答案】（1）①；②；（2）.
【详解】试题分析：（1）①首先根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与次摸到绿球，第二次摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
②首先由①求得两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
（2）由先从袋中摸出1个球后没有放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3=12（种），且两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案.
试题解析：（1）①画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，
∴次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为.
②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的为.
（2）．
考点：1.列表法或树状图法，2.概率．
23. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）AD=6
【分析】(1)连接OD，BD，证明BDC为直角三角形，由点E为BC的中点可得BE=DE=CE，所以，证明出后，可以得出+，所以DE是半圆⊙O的切线．
（2）求出BC的长度后，由直角三角形的性质可求出AC的长度，证明DCE是等边三角形后，可得到CD的长度，由即可求出AD的长度．
【小问1详解】
连接OD，BD，如图，
是直径，
，
，
E是BC的中点，
，
即
是半径，
DE是半圆⊙O的切线．
【小问2详解】
．
此题主要考察了切线的判定，还用到了等边对等角的性质及勾股定理，牢固掌握切线的判定方法和准确计算是做出本题的关键．
24. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【正确答案】解：（1）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l．
∵AD⊥l，∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA．
∴∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．
∴∠BAF=90°－∠B．
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°．
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°．∴∠B=180°－108°=72°．
∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°．
【详解】试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
25. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
【正确答案】（1）w=﹣x2+80x﹣1200；（2）答：该产品价定为每千克40元时，每天利润，利润400元．（3）该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克30元．
【详解】试题分析：依据“利润=售价﹣进价”可以求得y与x之间的函数关系式，然后利用函数的增减性确定“利润”．
解：（1）y=（x﹣20）w
=（x﹣20）（﹣2x+80）
=﹣2x2+120x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2x2+120x﹣1600
=﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x=30时，y有值200，
∴当价定为30元/千克时，每天可获利润200元；
（3）当y=150时，可得方程：
﹣2（x﹣30）2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，
根据题意，x2=35没有合题意，应舍去，
∴当价定为25元/千克时，该农户每天可获得利润150元．
考点：二次函数的应用．
26. 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M没有与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标.
【正确答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.
【详解】试题分析：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标；
（2）设M点横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=，将配方，由二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积；
（3）设F（n，），由已知若FG=DQ，即可求得．
试题解析：解：（1）由抛物线可知，C（0，3），令y=0，则，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）由抛物线可知，对称轴为x=﹣1，设M点的横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（）×2==，∴当m=﹣2时矩形的周长．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=AM•EM=；
（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC=，∵FG=DQ，∴FG=4，设F（n，），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴=4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
考点：1．二次函数综合题；2．代数几何综合题；3．压轴题．
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题4分，共48分）
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形
2. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
5. 如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 某超市一月份营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48
7. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
8. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A. 2，22.5° B. 3，30° C. 3，22.5° D. 2，30°
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
10. 如图，已知双曲线直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为
A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
11. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
12. 已知，则的最小值是（ ）．
A. 6 B. 3 C. -3 D. 0
二、填 空 题（每小题4分，共24分）
13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______ ．
14. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
15. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
17. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________.
18. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
三．解 答 题（写出必要的解题步骤及证明过程，共78分）
19. 用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
20. 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90∘后的△A2BC2；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所的路径长(结果保留根号和π).
(4)在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标
21. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
22. 如图，已知点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象的两个交点
（1）求此反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
23. 如图，△ABC等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD
(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；
(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成圆锥的底面圆的半径r.
24. 一个批发商成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）？此时的利润为多少元？
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积？并求出面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题4分，共48分）
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形
【正确答案】C
【详解】试题分析：A．是轴对称图形，不是对称图形．故错误；
B．不是轴对称图形，是对称图形．故错误；
C．是轴对称图形，也是对称图形．故正确；
D．是轴对称图形，不是对称图形．故错误．
故选C．
考点：1．对称图形；2．轴对称图形．
2. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：抛物线y＝x2－1的顶点坐标为（0，－1），
∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，－3），
∴得到的抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数图象平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，也可利用顶点的变化确定函数解析式，可以使计算更加简便．
3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：．
故答案为C．
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
4. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
【正确答案】D
【分析】弧长公式为： 再分析所在扇形的圆心角与半径，再计算即可得到答案.
【详解】解：由旋转的性质可得： 而
的长==1.5π．
故选D．
本题考查的是旋转的性质，弧长的计算，掌握“旋转的性质与弧长公式”是解本题的关键.
5. 如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
【正确答案】C
【详解】解：过点O作OM⊥AB，垂足M
∵OM⊥AB，AB=12
∴AM=BM=6
在Rt△OAM中，OM=
所以8≤OM≤10
故选C．
6. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48
【正确答案】D
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x，
∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.
∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48.
故选D.
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.
7. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
【正确答案】C
【详解】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞0，＜0．∴＜0，
∴函数的图象二、三、四象限．故选C．
8. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A. 2，22.5° B. 3，30° C. 3，22.5° D. 2，30°
【正确答案】A
【详解】解：连接OA，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=AC=2；
∵∠DOB=45°，
∴∠MND=∠DOB=22．5°，
故选A．
本题考查切线的性质；等腰直角三角形．
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
【正确答案】D
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选D．
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
10. 如图，已知双曲线直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为
A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
【正确答案】B
【详解】∵点，是中点
∴点坐标
∵在双曲线上，代入可得
∴
∵点在直角边上，而直线边与轴垂直
∴点的横坐标为-6
又∵点在双曲线
∴点坐标为
∴
从而，故选B
11. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】B
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴,x＞0．
∴a与b异号．
∴ab＜0，正确．
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0．
∵c=1，
∴b2﹣4a＞0，即b2＞4a．正确．
④∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1．∴b﹣1＜0，即b＜1．∴0＜b＜1，正确．
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b．
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2．
∴0＜a+b+c＜2，正确．
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当﹣1＜x＜x0时，y＞0；当x＞x0时，y＜0．
∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误．
综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．
12. 已知，则最小值是（ ）．
A. 6 B. 3 C. -3 D. 0
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，
∴m＋n＝2a，mn＝2，
∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，
∵a≥2，
∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，
∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，
故选A．
点睛：本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
二、填 空 题（每小题4分，共24分）
13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______ ．
【正确答案】
【详解】试题解析：关于的一元二次方程 有实数根，
解得：
故答案为
14. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
【正确答案】8
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
15. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
【正确答案】
【分析】根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．
【详解】如图，
根据题意，得
∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，
根据三角形的外角的性质，可得
三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．
故答案为22．
平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
【正确答案】160°
【详解】∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π，
∴=3600π，
解得：n=160．
此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式．
17. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________.
【正确答案】y3>y1>y2.
【详解】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.
考点：二次函数的函数值比较大小.
18. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
【正确答案】2
【详解】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在双曲线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
三．解 答 题（写出必要的解题步骤及证明过程，共78分）
19. 用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
【正确答案】(1)x1=−3,x2=(2)
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.
【详解】(1)3x(x＋3)＝2(x＋3)
3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0
(x＋3) (3x-2) ＝0
3x-2＝0或 x＋3＝0
∴x1＝，x2＝－3；
(2)2x2－4x－3＝0
a=2，b=-4，c=-3，
△=16+24=40＞0，
，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20. 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90∘后的△A2BC2；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所的路径长(结果保留根号和π).
(4)在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标
【正确答案】(1)作图见详解；A1(2,−4)；(2)图形见解析；(3) ； (4)(1.2,0)
【详解】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1(2，−4)，B1(1，−1)，C1(4，−3)，
如下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．
（2）如图：
（3）由两点间的距离公式可知：BC＝，
∴点C旋转到C2点的路径长＝
（4）连接A1B，与x轴相交于点P，则此时PA＋PB的值最小．
设直线A1B的解析式为y＝kx＋b，
则，
解得，
∴直线A1B的解析式为y＝－5x＋6，
令y＝0，则－5x＋6＝0，
x＝1.2，
所以点P的坐标为(1.2，0)．
21. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【正确答案】（1）yx，0≤x≤8；y（x＞8）
（2）30 （3）有效，理由见解析
【分析】（1）燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
【小问1详解】
解：（1）设燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1，
∴k1设燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6，
∴k2＝48，
∴燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）；
【小问2详解】
（2）实际，令y中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
【小问3详解】
（3）把y＝3代入yx，得：x＝4，
把y＝3代入y，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
本题考查了函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
22. 如图，已知点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象的两个交点
（1）求此反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1），；（2）或．
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是对应的函数的图象在反比例函数的图象的上边的自变量的取值范围．
试题解析：
（1）把A（﹣4，2）代入y= 得：m=﹣8，
则反比例函数的解析式是：y=﹣；
把y=﹣4代入y=﹣，得：x=n=2，
则B的坐标是（2，﹣4）．
根据题意得： ，
解得： ，
则函数的解析式是：y=﹣x﹣2；
（2）使函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围是：﹣4＜x＜0或x＞2．
23. 如图，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD
(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；
(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成的圆锥的底面圆的半径r.
【正确答案】(1)猜想：AC与⊙O相切；(2)四边形BOCD为菱形；(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线；
（2）连结OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判断△OCD为等边三角形，则CD=OB=OC，先可判断四边形OBDC为平行四边形，加上OB=OC，于是可判断四边形BOCD为菱形；
（3）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到
OC=，再根据弧长公式计算出弧BC的弧长=然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．
【详解】（1）AC与⊙O相切
，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°．
，∠CBO＝∠BCO＝30°，
∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）四边形BOCD是菱形
连接OD．
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60°
，
∴△COD是等边三角形，
，
∴四边形BOCD是平行四边形，
∴四边形BOCD是菱形．
,
（3）在Rt△AOC中，∠A＝30°，AC＝6，
ACtan∠A＝6tan30°＝，
∴弧BC的弧长
∴底面圆半径
本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法和圆锥的计算．
24. 一个批发商成本为20元/千克某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）？此时的利润为多少元？
【正确答案】（1）；（2）70；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元），此时的利润为4225元．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成函数关系，从而图表的数可得出y与x的关系式；
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润值．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为（），根据题意得：，解得：，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得：（﹣x+150）（x﹣20）=4000，解得，（不合题意，舍去），
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：==，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值，w值是4225，
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元），此时的利润为4225元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积？并求出面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）点P时，S四边形APCD=；（3）当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．
【详解】试题分析：（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式y=a+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣+9=-+4x+5，
（2）当y=0时，-+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=-+4x+5+x﹣5=-+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=×AC×PD=2（-+5x）=-2+10x，
∴当x=时， ∴S四边形APCD=，
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
考点：（1）待定系数法求函数关系式；（2）函数极值额确定方法；（3）平行四边形的性质和判定。
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
2. 已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3
3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 1 D. ﹣1
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）
A 3 B. C. D. 2
5. 如图，⊙O是△ABC外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
6. 从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是对称图形的卡片的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
7. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
8. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 二次函数的最小值是_____．
12. 若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，则k的取值范围是____．
13. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
14. 有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的没有透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为_____．
15. 已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
17. 如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为________．
18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，∠ABD＝30°，则图中阴影部分的面积为_____．（没有取近似值）
三、解 答 题(共66分)
19 解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.
20. 设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？请说明理由．
21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
22. 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．
（1）先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①求次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；
（2）先从袋中摸出1个球后没有放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
23. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O切线；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
24. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
25. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
26. 如图，抛物线图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M没有与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标.
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）．
∴得到的抛物线的解析式为．
故选B．
2. 已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3
【正确答案】A
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴4+2m+2＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可.
3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 1 D. ﹣1
【正确答案】D
【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，
△，
解得a=﹣1．
故选D．
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【正确答案】A
【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°．
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．
∵AD=6，∴AB=AD=3．
故选A．
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
【正确答案】B
【详解】试题解析：
在中，
故选B.
6. 从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是对称图形的卡片的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【详解】试题分析：在这四个图片中只有第三幅图片是对称图形，因此是对称称图形的卡片的概率是．
故选A．
考点：1.概率公式；2.对称图形．
7. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
【正确答案】D
【分析】弧长公式为： 再分析所在扇形的圆心角与半径，再计算即可得到答案.
【详解】解：由旋转的性质可得： 而
的长==1.5π．
故选D．
本题考查是旋转的性质，弧长的计算，掌握“旋转的性质与弧长公式”是解本题的关键.
8. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
【正确答案】C
【详解】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞0，＜0．∴＜0，
∴函数的图象二、三、四象限．故选C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
【正确答案】D
【分析】分圆P在y轴左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选D．
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】B
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴,x＞0．
∴a与b异号．
∴ab＜0，正确．
②∵抛物线与x轴有两个没有同的交点，
∴b2﹣4ac＞0．
∵c=1，
∴b2﹣4a＞0，即b2＞4a．正确．
④∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1．∴b﹣1＜0，即b＜1．∴0＜b＜1，正确．
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b．
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2．
∴0＜a+b+c＜2，正确．
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当﹣1＜x＜x0时，y＞0；当x＞x0时，y＜0．
∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误．
综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 二次函数的最小值是_____．
【正确答案】5．
【详解】二次函数的性质．
【分析】∵，∴当时，函数有最小值5．
12. 若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，则k的取值范围是____．
【正确答案】．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，
∴△=[2（k﹣1）]2﹣4k2=﹣8k+4≥0，
解得：k≤．
考点：根的判别式．
13. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
【正确答案】
【分析】根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．
【详解】如图，
根据题意，得
∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，
根据三角形的外角的性质，可得
三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．
故答案为22．
平移的基本性质是：①平移没有改变图形的形状和大小；②平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质．
14. 有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的没有透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：解分式方程得：x=，
∵x为正整数，
∴=1或=2（是增根，舍去），
解得：a=0，
把a的值代入原方程解方程得到的方程的根为1，
∴能使该分式方程有正整数解的有1个，
∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为.
考点：1.概率公式；2.解分式方程．
15. 已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．
【正确答案】m≥﹣2
【详解】抛物线的对称轴为直线，
∵当x＞2时，y值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．
故答案为m≥﹣2．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
【正确答案】160°##160度
【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π，
∴=3600π，
解得：n=160．
此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式．
17. 如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为________．
【正确答案】9
【详解】试题分析：如图：连接OG，∵BD=10，DF=4，∴⊙O的半径r=OD+DF=BD+DF=×10+4=9，∴OG=9，在Rt△GOD与Rt△ADO中，OD=OD，AO=GD，∠AOD=∠GDO=90°，∴△AOD≌△GDO，∴OG=AD=9，故答案为9．
考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．矩形的性质；5．几何图形问题．
18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，∠ABD＝30°，则图中阴影部分的面积为_____．（没有取近似值）
【正确答案】．
【详解】试题分析：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．∵∠ABC=90°，AD=，∠ABD为30°，∴BD=，∴AB=3，∵OB=OE，∠DBC=60°，OF⊥BE，∴OF=，∵CD为⊙O的切线，∴∠BDC=90°，∴∠C=30°，∴BC=，S阴影=S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE==．故答案为．
考点：1．切线的性质；2．直角梯形；3．扇形面积的计算；4．几何图形问题．
三、解 答 题(共66分)
19. 解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.
【正确答案】x1＝＋，x2＝－.
【详解】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x＋1)(x－1)＝2x
x2-2x-1=0
∵a=1，b=-，c=-1
∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
∴x==±
∴x1＝＋，x2＝－.
20. 设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？请说明理由．
【正确答案】没有存在
【详解】试题分析：根据方程有实数根根的判别式即可得出关于的一元没有等式，解之即可得出的取值范围，再根据根与系数的关系即可得出关于的一元没有等式，解之即可得出的取值范围，由两个的范围无交集即可得出没有存在实数使得成立．
试题解析：没有存在．
理由：由题意得
解得
∵是一元二次方程的两个实数根，
由，得
∴没有存在实数使得成立.
21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【正确答案】（1）如下图；（2）；（3）（－2，0）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转旋转180°的对应点A1、B1的位置，然后与点C顺次连接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转，然后写出坐标即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．
【详解】（1）画出△A1B1C与△A2B2C2如图
（2）如图所示,旋转的坐标为:（，-1）
(3) 如图所示,点P坐标为（-2，0）.
22. 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．
（1）先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①求次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；
（2）先从袋中摸出1个球后没有放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
【正确答案】（1）①；②；（2）.
【详解】试题分析：（1）①首先根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与次摸到绿球，第二次摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
②首先由①求得两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
（2）由先从袋中摸出1个球后没有放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3=12（种），且两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案.
试题解析：（1）①画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，
∴次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为.
②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的为.
（2）．
考点：1.列表法或树状图法，2.概率．
23. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）AD=6
【分析】(1)连接OD，BD，证明BDC为直角三角形，由点E为BC的中点可得BE=DE=CE，所以，证明出后，可以得出+，所以DE是半圆⊙O的切线．
（2）求出BC的长度后，由直角三角形的性质可求出AC的长度，证明DCE是等边三角形后，可得到CD的长度，由即可求出AD的长度．
【小问1详解】
连接OD，BD，如图，
是直径，
，
，
E是BC的中点，
，
即
是半径，
DE是半圆⊙O的切线．
【小问2详解】
．
此题主要考察了切线的判定，还用到了等边对等角的性质及勾股定理，牢固掌握切线的判定方法和准确计算是做出本题的关键．
24. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【正确答案】解：（1）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l．
∵AD⊥l，∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA．
∴∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．
∴∠BAF=90°－∠B．
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°．
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°．∴∠B=180°－108°=72°．
∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°．
【详解】试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
25. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
【正确答案】（1）w=﹣x2+80x﹣1200；（2）答：该产品价定为每千克40元时，每天利润，利润400元．（3）该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克30元．
【详解】试题分析：依据“利润=售价﹣进价”可以求得y与x之间的函数关系式，然后利用函数的增减性确定“利润”．
解：（1）y=（x﹣20）w
=（x﹣20）（﹣2x+80）
=﹣2x2+120x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2x2+120x﹣1600
=﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x=30时，y有值200，
∴当价定为30元/千克时，每天可获利润200元；
（3）当y=150时，可得方程：
﹣2（x﹣30）2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，
根据题意，x2=35没有合题意，应舍去，
∴当价定为25元/千克时，该农户每天可获得利润150元．
考点：二次函数的应用．
26. 如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M没有与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标.
【正确答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.
【详解】试题分析：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标；
（2）设M点横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=，将配方，由二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积；
（3）设F（n，），由已知若FG=DQ，即可求得．
试题解析：解：（1）由抛物线可知，C（0，3），令y=0，则，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）由抛物线可知，对称轴为x=﹣1，设M点的横坐标为m，则PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（）×2==，∴当m=﹣2时矩形的周长．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=AM•EM=；
（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC=，∵FG=DQ，∴FG=4，设F（n，），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴=4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
考点：1．二次函数综合题；2．代数几何综合题；3．压轴题．
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题4分，共48分）
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形
2. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
5. 如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 某超市一月份营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48
7. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
8. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A. 2，22.5° B. 3，30° C. 3，22.5° D. 2，30°
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
10. 如图，已知双曲线直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为
A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
11. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
12. 已知，则的最小值是（ ）．
A. 6 B. 3 C. -3 D. 0
二、填 空 题（每小题4分，共24分）
13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______ ．
14. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
15. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
17. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________.
18. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
三．解 答 题（写出必要的解题步骤及证明过程，共78分）
19. 用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
20. 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90∘后的△A2BC2；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所的路径长(结果保留根号和π).
(4)在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标
21. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
22. 如图，已知点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象的两个交点
（1）求此反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
23. 如图，△ABC等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD
(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；
(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成圆锥的底面圆的半径r.
24. 一个批发商成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）？此时的利润为多少元？
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积？并求出面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题4分，共48分）
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形
【正确答案】C
【详解】试题分析：A．是轴对称图形，不是对称图形．故错误；
B．不是轴对称图形，是对称图形．故错误；
C．是轴对称图形，也是对称图形．故正确；
D．是轴对称图形，不是对称图形．故错误．
故选C．
考点：1．对称图形；2．轴对称图形．
2. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：抛物线y＝x2－1的顶点坐标为（0，－1），
∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，－3），
∴得到的抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数图象平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，也可利用顶点的变化确定函数解析式，可以使计算更加简便．
3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：．
故答案为C．
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
4. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A. π B. 6π C. 3π D.
【正确答案】D
【分析】弧长公式为： 再分析所在扇形的圆心角与半径，再计算即可得到答案.
【详解】解：由旋转的性质可得： 而
的长==1.5π．
故选D．
本题考查的是旋转的性质，弧长的计算，掌握“旋转的性质与弧长公式”是解本题的关键.
5. 如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
【正确答案】C
【详解】解：过点O作OM⊥AB，垂足M
∵OM⊥AB，AB=12
∴AM=BM=6
在Rt△OAM中，OM=
所以8≤OM≤10
故选C．
6. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48
【正确答案】D
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x，
∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.
∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48.
故选D.
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.
7. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】
A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
【正确答案】C
【详解】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞0，＜0．∴＜0，
∴函数的图象二、三、四象限．故选C．
8. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A. 2，22.5° B. 3，30° C. 3，22.5° D. 2，30°
【正确答案】A
【详解】解：连接OA，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=AC=2；
∵∠DOB=45°，
∴∠MND=∠DOB=22．5°，
故选A．
本题考查切线的性质；等腰直角三角形．
9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5
【正确答案】D
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选D．
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
10. 如图，已知双曲线直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为
A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
【正确答案】B
【详解】∵点，是中点
∴点坐标
∵在双曲线上，代入可得
∴
∵点在直角边上，而直线边与轴垂直
∴点的横坐标为-6
又∵点在双曲线
∴点坐标为
∴
从而，故选B
11. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】B
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴,x＞0．
∴a与b异号．
∴ab＜0，正确．
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0．
∵c=1，
∴b2﹣4a＞0，即b2＞4a．正确．
④∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1．∴b﹣1＜0，即b＜1．∴0＜b＜1，正确．
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b．
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2．
∴0＜a+b+c＜2，正确．
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当﹣1＜x＜x0时，y＞0；当x＞x0时，y＜0．
∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误．
综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．
12. 已知，则最小值是（ ）．
A. 6 B. 3 C. -3 D. 0
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，
∴m＋n＝2a，mn＝2，
∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，
∵a≥2，
∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，
∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，
故选A．
点睛：本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
二、填 空 题（每小题4分，共24分）
13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______ ．
【正确答案】
【详解】试题解析：关于的一元二次方程 有实数根，
解得：
故答案为
14. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
【正确答案】8
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
15. 用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．
【正确答案】
【分析】根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．
【详解】如图，
根据题意，得
∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，
根据三角形的外角的性质，可得
三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．
故答案为22．
平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质．
16. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
【正确答案】160°
【详解】∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π，
∴=3600π，
解得：n=160．
此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式．
17. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________.
【正确答案】y3>y1>y2.
【详解】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.
考点：二次函数的函数值比较大小.
18. 如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
【正确答案】2
【详解】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在双曲线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
三．解 答 题（写出必要的解题步骤及证明过程，共78分）
19. 用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
【正确答案】(1)x1=−3,x2=(2)
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.
【详解】(1)3x(x＋3)＝2(x＋3)
3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0
(x＋3) (3x-2) ＝0
3x-2＝0或 x＋3＝0
∴x1＝，x2＝－3；
(2)2x2－4x－3＝0
a=2，b=-4，c=-3，
△=16+24=40＞0，
，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20. 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90∘后的△A2BC2；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所的路径长(结果保留根号和π).
(4)在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标
【正确答案】(1)作图见详解；A1(2,−4)；(2)图形见解析；(3) ； (4)(1.2,0)
【详解】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1(2，−4)，B1(1，−1)，C1(4，−3)，
如下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．
（2）如图：
（3）由两点间的距离公式可知：BC＝，
∴点C旋转到C2点的路径长＝
（4）连接A1B，与x轴相交于点P，则此时PA＋PB的值最小．
设直线A1B的解析式为y＝kx＋b，
则，
解得，
∴直线A1B的解析式为y＝－5x＋6，
令y＝0，则－5x＋6＝0，
x＝1.2，
所以点P的坐标为(1.2，0)．
21. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【正确答案】（1）yx，0≤x≤8；y（x＞8）
（2）30 （3）有效，理由见解析
【分析】（1）燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
【小问1详解】
解：（1）设燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1，
∴k1设燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6，
∴k2＝48，
∴燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）；
【小问2详解】
（2）实际，令y中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
【小问3详解】
（3）把y＝3代入yx，得：x＝4，
把y＝3代入y，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
本题考查了函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
22. 如图，已知点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象的两个交点
（1）求此反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象写出使函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1），；（2）或．
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是对应的函数的图象在反比例函数的图象的上边的自变量的取值范围．
试题解析：
（1）把A（﹣4，2）代入y= 得：m=﹣8，
则反比例函数的解析式是：y=﹣；
把y=﹣4代入y=﹣，得：x=n=2，
则B的坐标是（2，﹣4）．
根据题意得： ，
解得： ，
则函数的解析式是：y=﹣x﹣2；
（2）使函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围是：﹣4＜x＜0或x＞2．
23. 如图，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD
(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；
(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成的圆锥的底面圆的半径r.
【正确答案】(1)猜想：AC与⊙O相切；(2)四边形BOCD为菱形；(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线；
（2）连结OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判断△OCD为等边三角形，则CD=OB=OC，先可判断四边形OBDC为平行四边形，加上OB=OC，于是可判断四边形BOCD为菱形；
（3）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到
OC=，再根据弧长公式计算出弧BC的弧长=然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．
【详解】（1）AC与⊙O相切
，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°．
，∠CBO＝∠BCO＝30°，
∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）四边形BOCD是菱形
连接OD．
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60°
，
∴△COD是等边三角形，
，
∴四边形BOCD是平行四边形，
∴四边形BOCD是菱形．
,
（3）在Rt△AOC中，∠A＝30°，AC＝6，
ACtan∠A＝6tan30°＝，
∴弧BC的弧长
∴底面圆半径
本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法和圆锥的计算．
24. 一个批发商成本为20元/千克某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）？此时的利润为多少元？
【正确答案】（1）；（2）70；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元），此时的利润为4225元．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成函数关系，从而图表的数可得出y与x的关系式；
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润值．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为（），根据题意得：，解得：，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得：（﹣x+150）（x﹣20）=4000，解得，（不合题意，舍去），
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：==，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值，w值是4225，
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元），此时的利润为4225元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积？并求出面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）点P时，S四边形APCD=；（3）当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．
【详解】试题分析：（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式y=a+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣+9=-+4x+5，
（2）当y=0时，-+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=-+4x+5+x﹣5=-+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=×AC×PD=2（-+5x）=-2+10x，
∴当x=时， ∴S四边形APCD=，
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
考点：（1）待定系数法求函数关系式；（2）函数极值额确定方法；（3）平行四边形的性质和判定。
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