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2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠2 B. m=2 C. m≥2 D. m≠0
3. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 某厂前年缴税30万元，今年缴税36.3万元，若该厂缴税年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A. 30x2=363 B. 30（1-x）2=36.3
C. 30+30（1+x）+30（1+x）2=36.3 D. 30（1+x）2=36.3
5. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
6. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
7. 要得到y＝(x－3)2－2的图象，只要将y＝x2的图象
A. 由向左平移3个单位，再向上平移2个单位；
B. 由向右平移3个单位，再向下平移2个单位；
C. 由向右平移3个单位，再向上平移2个单位；
D. 由向左平移3个单位，再向下平移2个单位.
8. △ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
9. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则 =（ ）
A. B. C. D. 1
10. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
11. 已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
12. 已知⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB＝24，CD＝10，则AB、CD之间的距离为
A. 17 B. 7 C. 12 D. 7或17
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
13. 方程x2+2x=1的解是_______________________．
14. 把3x2－12x＋12因式分解的结果是____________________________．
15. 如图，一个半径为2cm的圆盘被分割成十个区域. 其中，弦、关于圆心对称，、关于圆心对称，向盘中投掷一物体，则物体落在阴影部分的概率为_____________．
16. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
17. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是_____．
18. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________．
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分96分）
19. 在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个没有同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是对称图形的概率．
20. 如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，1)、B(－1，1)、C(－4，3)．
（1）画出Rt△ABC关于原点O成对称的图形Rt△A1B1C1；
（2）若Rt△ABC与Rt△A2BC2关于点B对称，则点A2的坐标为 、C2的坐标为 ．
（3）求点A绕点B旋转180°到点A2时，点A在运动过程中的路程.
21. 已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
22. 如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，平分，交于点．
求证：平分；
求证：等腰三角形．
23. 商场购进一种单价为40元的书包，如果以单价50元出售，那么每月可售出30个，根据，售价每提高5元，量相应减少1个.
（1）请写出单价提高元与总的利润y元之间的函数关系式；
（2）如果你是经理，为使每月的利润，那么你确定这种书包的单价为多少元？此时，利润是多少元？
24. 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）设AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y关于x的函数解析式．
25. 已知点P和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b距离证明可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d== = =．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
26. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A m≠2 B. m=2 C. m≥2 D. m≠0
【正确答案】A
【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，∴m-2≠0，解得：m≠2．故选A．
3. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D．
4. 某厂前年缴税30万元，今年缴税36.3万元，若该厂缴税的年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A. 30x2=36.3 B. 30（1-x）2=36.3
C. 30+30（1+x）+30（1+x）2=36.3 D. 30（1+x）2=36.3
【正确答案】D
【详解】如果设该厂缴税的年平均增长率为x，
那么根据题意得今年缴税30（1+x)2 ，
列出方程为：30（1+x)2=36.3，
故选D．
5. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故选D
考点：圆周角定理
6. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数图象；2．函数的图象．
7. 要得到y＝(x－3)2－2的图象，只要将y＝x2的图象
A. 由向左平移3个单位，再向上平移2个单位；
B. 由向右平移3个单位，再向下平移2个单位；
C. 由向右平移3个单位，再向上平移2个单位；
D. 由向左平移3个单位，再向下平移2个单位.
【正确答案】B
【详解】∵原抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），新抛物线y=（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），∴将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位可得到新抛物线．故选B．
8. △ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
【正确答案】C
【详解】解：∵，∴△ABC是直角三角形，斜边=10，∴外接圆半径=×10=5．故选C．
点睛：解答本题的关键是判断出三角形是直角三角形．
9. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则 =（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】B
【详解】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°=6×180°=1080°，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°，∴==．故选B．
10. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
【正确答案】C
【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度没有变．
【详解】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度没有变，
故选：C．
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
11. 已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
【正确答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=-5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=-1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y=-5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=-1，
而B（2，y2）离直线x=-1的距离最远，A（-1，y1）在直线x=﹣1上，，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
12. 已知⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB＝24，CD＝10，则AB、CD之间的距离为
A. 17 B. 7 C. 12 D. 7或17
【正确答案】D
【分析】分两种情况进行分析：①当弦AB和CD在圆心同侧时；②当弦AB和CD在圆心异侧时；作出相应图形，进行求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm，
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故选D．
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
13. 方程x2+2x=1的解是_______________________．
【正确答案】,
【详解】解：x2+2x=1，∴x2+2x+1=2，∴，∴，∴x=，即，．故答案为，．
14. 把3x2－12x＋12因式分解的结果是____________________________．
【正确答案】3（x-2）2
【详解】解：原式==．故答案为．
点睛：本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式、完全平方公式是解题关键．
15. 如图，一个半径为2cm的圆盘被分割成十个区域. 其中，弦、关于圆心对称，、关于圆心对称，向盘中投掷一物体，则物体落在阴影部分的概率为_____________．
【正确答案】
【详解】根据给出的图形可得：阴影部分的面积占整个圆面积的一半，则物体落在阴影部分的概率为．故答案为．
点睛：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即（A）发生的概率．
16. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
【正确答案】2π
【详解】试题分析：如图，
∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=．
考点：圆锥计算．
17. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是_____．
【正确答案】②③④．
【详解】解：∵抛物线开口朝下，∴a＜0，
∵对称轴x=1=-，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a+c＜b，故②正确；
根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故④正确．
故②③④．
本题考查二次函数图象与系数的关系．
18. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________．
【正确答案】（36，0）
【详解】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0）
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分96分）
19. 在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个没有同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是对称图形的概率．
【正确答案】(1)详见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由既是轴对称图形又是对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：解（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵既是对称又是轴对称图形的只有B、C，
∴既是轴对称图形又是对称图形的有4种情况，
∴既是轴对称图形又是对称图形的概率为：．
考点：列表法与树状图法．
20. 如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，1)、B(－1，1)、C(－4，3)．
（1）画出Rt△ABC关于原点O成对称的图形Rt△A1B1C1；
（2）若Rt△ABC与Rt△A2BC2关于点B对称，则点A2的坐标为 、C2的坐标为 ．
（3）求点A绕点B旋转180°到点A2时，点A在运动过程中的路程.
【正确答案】（1）详见解析；（2）（2，1），（2，﹣1）；（3）3π．
【详解】（1）如图：
（2）A2(2，1) ，C2 (2，－1)
（3）当点A旋转180°到点A2时，点A的路线是以B为圆心，AB＝3为半径，圆心角为180°的弧AA2，则点A在运动过程中的路程为：
＝＝3π
21. 已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
【正确答案】（1）有两个实数根；（2）直角三角形的周长为
【详解】试题分析：（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根；
（2）把x=1代入原方程中，解得k=1，从而得到方程的另一根．然后分两种情况讨论即可．
试题解析：（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根；
（2）把x=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，1-（k+2）+2k=0，k=1，
把k=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，
x=1或x=2，
所以方程的另一根是2．
①当1，2为直角边时，斜边为
此时直角三角形周长为
②当2为斜边，1为直角边时，另一直角边为
此时直角三角形周长为
综上所述，直角三角形的周长为．
点睛：本题主要考查方程根的判别式及直角三角形的性质，掌握方程根的判别式与方程根的情况的关系是解题的关键，注意分类讨论．
22. 如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，平分，交于点．
求证：平分；
求证：是等腰三角形．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）依据切线的性质可知OC⊥DC，然后可证明AD∥OC，依据平行线的性质可得到∠DAC=∠ACO，然后依据OA=OC可证明∠OAC=∠ACO，通过等量代换可证明AC平分∠DAB；
（2）依据直径所对的圆周角等于90°可证明∠ACB=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠DAC=∠BCP，由（1）可知AC平分∠DAB，从而得到∠CAE=∠BCP，然后∠ACE=∠ECB可证明∠PCE=∠PEC．
【详解】如图所示：连接．
∵切于点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
即平分．
∵，
∴．
又∵为直径，
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形．
考查的是切线的性质、圆周角定理的应用，等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握有关切线问题的辅助线的作法是解题的关键．
23. 商场购进一种单价为40元的书包，如果以单价50元出售，那么每月可售出30个，根据，售价每提高5元，量相应减少1个.
（1）请写出单价提高元与总的利润y元之间的函数关系式；
（2）如果你是经理，为使每月的利润，那么你确定这种书包的单价为多少元？此时，利润是多少元？
【正确答案】（1）x与y的函数关系式为：y＝(50＋x－40)(30－)(0≤ x ≤150)；（2）当这种书包的单价为120元时，每月的利润为1280元；
【详解】（1）当单价提高x元时，量减少了个，
此时单价为(50＋x)元，量为(30－)个
则x与y的函数关系式为：y＝(50＋x－40)(30－)(0≤ x ≤150)
（2）将（1）中函数整理后，得：
y＝－＋28 x＋300
∵－<0
∴二次函数y＝－＋28 x＋300有值
当x＝70时，y有值，
此时y＝1280，
这种书包的单价为：50＋70＝120
答：（1）x与y的函数关系式为：y＝(50＋x－40)(30－)(0≤ x ≤150)；
（2）当这种书包的单价为120元时，每月的利润为1280元；
点睛：本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）设AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y关于x的函数解析式．
【正确答案】（1）详见解析；（2）y=x2．
【详解】（1）证明：过O做OE⊥CD于点E，
则∠OED＝90°
∵⊙O与AM相切于点A
∴∠OAD＝90°
∵OD平分∠ADE
∴∠ADO＝∠EDO
∵OD＝OD
∴△OAD≌△OED
∴OE＝OA
∵OA是⊙O的半径
∴OE是⊙O的半径
∴CD是⊙O的切线
（2）过点D做DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝x
∵AD＝4，BC＝y
∴CF＝BC－AD＝y－4
由切线长定理可得：
∴DE＝DA，CE＝CB
∴CD＝CE＋ED
＝BC＋AD
＝4＋y
在Rt△DFC中，
∵CD2＝DF2＋FC2
∴(y＋4)＝x 2＋(y－4)2
整理得：y＝x2
则y关于x的函数关系式为：y＝x2
解法二：连接OC，
∵CD、CB都是⊙O的切线
∴CE＝CB＝y
OC平分∠BCD
即：∠OCD＝∠BCD
同理：DE＝AD＝4
∠CDO＝∠CDA
∵AM、BN分别与⊙O相切
且AB为⊙O的直径
∴AM//BN
∴∠BCD＋∠CDA＝180°
∴∠OCD＋∠CDO＝90°
∵∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°
∴∠COD＝90°
∵在Rt△OAD中
OD2＝OA2＋AD2
即OD2＝()2＋42
同理可得：
OC2＝()2＋y2
∵CD＝CE＋ED＝y＋4
∴在Rt△OCD中
CD2＝OC2＋OD2
即(y＋4)2＝()2＋42＋()2＋y2
整理得：y＝x2
则y关于x的函数关系式为：y＝x2
点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
25. 已知点P和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7距离为：d== = =．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
【正确答案】(1);(2)见解析;(3)2.
【分析】（1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y=x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离即可．
【详解】（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1，
所以点P（1，-1）到直线y=x-1的距离为：d=；
（2）⊙Q与直线y=x+9的位置关系为相切．
理由如下：
圆心Q（0，5）到直线y=x+9的距离为：d=，
而⊙O的半径r为2，即d=r，
所以⊙Q与直线y=x+9相切；
（3）当x=0时，y=-2x+4=4，即点（0，4）在直线y=-2x+4，
因为点（0，4）到直线y=-2x-6的距离为：d=，
因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，
所以这两条直线之间的距离为2．
本题考查了函数的综合题：熟练掌握函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义．
26. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y＝x﹣2，顶点D的坐标为 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（，﹣）．
【分析】（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．
【详解】（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线ybx﹣2上，∴b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴抛物线的解析式为yx﹣2．
yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴顶点D的坐标为 （）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （），∴抛物线的对称轴为x．
∵抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x对称．
∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，yx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．
当x时，y，∴点M的坐标为（）．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
完成
一、选一选（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3）
2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B. 某人身高达到5.5米
C. 通常加热到100°C时，水沸腾
D. 打开电视，正在播放综艺节目《一站到底》
4. 若x=-1是方程x2+ax+2=0的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
5. 如果P（a-1，a+2）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A （-3，0） B. （0，3） C. （0，-3） D. （3，0）
6. 如图，⊙O的弦AB=6，半径OD⊥AB，交AB于点D、交弧AB于点C．若CD=1，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 在学校组织的实践中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 4π B. 3π C. D. 2π
8. 抛物线y=ax2+bx+c中，a＞0，b＞0，c＜0，则抛物线的顶点在（ ）
A 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 反比例函数y= 与函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直线y＝m与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 8
二、填 空 题（每题5分，共20分）
11. 从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老，则小明被选中的概率是________.
12. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数是_________．
13. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值 ________ （到0.1）．
x
﹣0.1
﹣0.2
﹣0.3
﹣0.4
y=ax2+bx+c
﹣0.58
﹣0.12
0.38
0.92
14. 如图，直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4）和点B，点A的另一条直线与双曲线y2=交于点C．则：
①直线AB的解析式为y1=x+3；
②B（﹣1，﹣4）；
③当x＞1时，y2＜y1；
④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形．
其中正确的是_______．（把所有正确结论的序号都写在横线上）
三、（每小题8分，共16分）
15. 请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、项得一元二次方程，并求出它的解．
16. 已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．
四、（每小题8分，共16分）
17. 反比例函数的图象如图所示，A(－1，b1)，B(－2，b2)是该图象上的两点．
(1)比较b1与b2的大小；
(2)求m的取值范围．
18. 芜湖市是安徽省第二大城市，为谋求跨江发展，和县的沈巷、无为的二坝、汤沟、白茆先后划入芜湖市．2014年芜湖市国民生产总值为2300亿元，计划2016年芜湖市国民生产总值要达到2783亿元．如果芜湖市国民生产总值都以相同的增长率增长，求芜湖市国民生产总值的年平均增长率．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．将菱形OABC绕原点O
顺时针旋转90°菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并求出点B旋转到点B1的路径长．
20. 水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游．每一位来采摘水果的顾客都有抽奖机会：在一只没有透明的盒子里有A，B，C，D四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；
（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？
A B C D
六、（本大题满分12分）
21. 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB＝6，∠ABE＝60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
七、（本大题满分14分）
22. 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：∠AOB．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请图形1给予证明（没有要求写已知、求证，只需直接证明），并解决以下的问题（1）和问题（2）．
问题（1）：如图2，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：∠APC( + )；
问题（2）：如图3，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆外一点P，问题（1）中的结论是否成立，如果成立，给予证明；如果没有成立，写出一个类似的结论（没有要求证明）
八、（本大题满分12分）
23. 某市政府大力扶持大学生创业．张涛在政府的扶持下一种进价为每件20元的新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月量x（件）的函数关系如图所示．无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元）（利润=额-成本-广告费）． 若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本（含进价）为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为W外（元）（利润=额-成本-附加费）．
（1）求y与x的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（2）分别求出W内，W外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）在国内时，每月的量在什么范围内，张涛才没有会？
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还在国外才能使所获月利润较大？
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
完成
一、选一选（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3）
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式，∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选D．
考点：二次函数的性质．
2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：根据对称的概念可得
个图形是对称图形，
第二个图形没有是对称图形，
第三个图形是对称图形，
第四个图形没有是对称图形，
所以，对称图有2个．
故选：B．
本题考查对称图形的识别，掌握对称图形的概念是本题的解题关键．
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B. 某人身高达到5.5米
C. 通常加热到100°C时，水沸腾
D. 打开电视，正在播放综艺节目《一站到底》
【正确答案】C
【详解】A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，随机；B. 某人身高达到5.5米，没有可能；C. 通常加热到100°C时，水沸腾，必然；D. 打开电视，正在播放综艺节目《一站到底》，随机，
故选C.
4. 若x=-1是方程x2+ax+2=0的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
【正确答案】B
【详解】设另一个根为x1，由根与系数关系则有：-1·x1=2，所以x1=-2，
故选B.
本题考查了一元二次方程根与系数关系在求方程根时的应用 ，解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式.
5. 如果P（a-1，a+2）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A. （-3，0） B. （0，3） C. （0，-3） D. （3，0）
【正确答案】A
【详解】∵P（a-1，a+2）在x轴上，∴a+2=0，∴a=-2，
∴a-1=-2-1=-3，
∴点P的坐标是（-3，0），
故选A
6. 如图，⊙O的弦AB=6，半径OD⊥AB，交AB于点D、交弧AB于点C．若CD=1，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】B
【详解】连接OA，
∵AB=6，OC⊥AB于点D，
∴AD=AB=×6=3，∠ADO=90°，
∴OD2= OA2-AD2，
∵CD=1，OA =OC ，
∴OD=OC-CD=OA-1,
∴（OA-1）2=OA2-32，
∴OA=5，
故选B.
7. 在学校组织的实践中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 4π B. 3π C. D. 2π
【正确答案】B
【详解】解：∵底面半径为1，高为，
∴母线长l=．
∴圆锥的侧面积为：．
故选B．
8. 抛物线y=ax2+bx+c中，a＞0，b＞0，c＜0，则抛物线的顶点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C
【详解】∵a>0，b>0，
∴a，b同号，抛物线的开口向上，
∴对称轴在y轴的左侧，
∵c<0，
∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴顶点在第三象限，
故选C．
本题考查二次函数的图象与系数的关系．解答此题要熟知二次函数的图象的性质．
9. 反比例函数y= 与函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】反比例函数，当k>0时,函数图像在,三象限,当k<0时，函数图像在第二,四象限；
【详解】解： A．由反比例函数图象知k>0，与函数图象k<0矛盾，A没有正确；
B．由反比例函数图象知k<0，与函数图象k<0一致，而函数与y轴交于负半轴，得-k+2<0解得k>2,与 k<0矛盾，B没有正确；
C．由反比例函数图象知k<0,与函数图象k>0矛盾，C没有正确；
D．由反比例函数图象知k>0，函数图象k>0而函数与y轴交于正半轴，得-k+2>0解得k<2所以0
10. 如图，直线y＝m与反比例函数和图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 8
【正确答案】C
【分析】由题意可得A，B两点坐标，进而得出AB=，再根据面积公式即可求出△ABC的面积.
【详解】解：由题意，得：
A，B两点纵坐标为m，
代入反比例函数，得：
A点坐标为（，m），B点坐标（-，m），
∴AB=，
∴S△ABC=××m=4．
故选：C．
本题考查了反比例函数上点的坐标特征，两点间距离公式以及三角形求面积，利用数形的思想解决本题是关键.
二、填 空 题（每题5分，共20分）
11. 从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老，则小明被选中的概率是________.
【正确答案】
【详解】试题分析：解：∵从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老，
∴小明被选中的概率是：．
故答案为．
考点：概率公式.
12. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数是_________．
【正确答案】40°．
【详解】连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=25°，
∴∠COD=2∠A=50°，
∴∠D=90°-50°=40°，
故答案为40°．
13. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它的部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值 ________ （到0.1）．
x
﹣0.1
﹣0.2
﹣0.3
﹣0.4
y=ax2+bx+c
﹣0.58
﹣0.12
0.38
0.92
【正确答案】2.2．
【详解】由表可知，当x=-0.2时，y的值最接近0，
所以，方程ax2+bx+c=0一个解的近似值为-0.2，
设正数解的近似值为a，
∵对称轴为直线x=1，
∴=1，
解得a=2.2，
故答案为2.2．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表中数据确定出y值最接近0的x的值是解题的关键．
14. 如图，直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4）和点B，点A的另一条直线与双曲线y2=交于点C．则：
①直线AB的解析式为y1=x+3；
②B（﹣1，﹣4）；
③当x＞1时，y2＜y1；
④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形．
其中正确的是_______．（把所有正确结论的序号都写在横线上）
【正确答案】①③④．
【详解】试题分析：∵直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4），∴4=1+b，4=，∴b=3，k=4，
∴直线AB的解析式为y1=x+3，双曲线的解析式为y2=，故①正确；
把y1=x+3代入y2=，得x+3=，整理得，x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4或1，当x=﹣4时，y1=﹣4+3=﹣1，∴B点坐标（﹣4，﹣1），故②错误；
由图象可知，y2＜y1时，﹣4＜x＜0或x＞1，∴当x＞1时，y2＜y1，故③正确；
当AC的解析式为y=4x时，把y=4x代入y2=，得4x=，整理得，4x2=4，
解得x=±1，当x=﹣1时，y=﹣4，∴C（﹣1，﹣4）．∵A（1，4），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，﹣4），∴AB2=（﹣4﹣1）2+（﹣1﹣4）2=50，BC2=（﹣1+4）2+（﹣4+1）2=18，AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣4﹣4）2=68，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形．
则正确的结论是①③④．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
三、（每小题8分，共16分）
15. 请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、项得一元二次方程，并求出它的解．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：按要求写出符合条件的方程，然后进行求解即可.
试题解析：如：x2-3x=0，
x(x-3)=0，
x=0或x-3=0，
x1=0或x2=3.
16. 已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．
【正确答案】y=2x2+3x-4；顶点坐标为（-，-）．
【详解】试题分析：利用待定系数法把A（1，1），C（2，10）代入）二次函数y=2x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式，然后通过配方化成顶点式，即可得到顶点坐标.
试题解析：把（1，1）和（2，10）分别代入y=2x2+bx+c得：
，解得. ，
∴二次函数的解析式为：y=2x2+3x-4
y=2x2+3x-4=2(x2+x+)--4=2(x2+x+)-，=2(x+)2-，
∴二次函数的顶点坐标为（-，-）．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及利用配方法求顶点的坐标，解题的关键是掌握配方法进行配方.
四、（每小题8分，共16分）
17. 反比例函数的图象如图所示，A(－1，b1)，B(－2，b2)是该图象上的两点．
(1)比较b1与b2的大小；
(2)求m的取值范围．
【正确答案】（1）b1＜b2；（2）．
【详解】解：(1)由题图知2m－1＞0．
∵反比例函数的图象在第三象限内，y随x的增大而减小，
又－1＞－2，
∴b1＜b2．
(2)由2m－1＞0，解得．
18. 芜湖市是安徽省第二大城市，为谋求跨江发展，和县的沈巷、无为的二坝、汤沟、白茆先后划入芜湖市．2014年芜湖市国民生产总值为2300亿元，计划2016年芜湖市国民生产总值要达到2783亿元．如果芜湖市国民生产总值都以相同的增长率增长，求芜湖市国民生产总值的年平均增长率．
【正确答案】10%
【详解】试题分析：设全市国民生产总值的年平均增长率为x，那么2015年全市国民生产总值为2300（1+x）亿元，2016年全市国民生产总值为2300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2016年全市国民生产总值要达到2783亿元即可列出方程，解方程即可得.
试题解析：设芜湖市国民生产总值的年平均增长率为x，依题意得：
2300 (1+x)2=2783，
(1+x)2=1.21，
1+x=±1.1，
x1=0.1或x2=-2.1(舍去)，
x=10%，
答：芜湖市国民生产总值的年平均增长率为10%．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．将菱形OABC绕原点O
顺时针旋转90°菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并求出点B旋转到点B1的路径长．
【正确答案】2π
【详解】试题分析：将菱形OABC的A、B、C三点绕原点O顺时针旋转90°，得到对应点，然后再顺次连接，得到菱形OA1B1C1，点B旋转到B1的路径就是一段弧长，根据弧长公式计算即可．
试题解析：如图，菱形OA1B1C1即为所求；
∵OB==4，
∴点B旋转到点B1的路径长==2π．
20. 水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游．每一位来采摘水果的顾客都有抽奖机会：在一只没有透明的盒子里有A，B，C，D四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；
（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？
A B C D
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是没有放回实验，此题属于没有放回实验；
（2）根据树状图求得的两张卡片是同一种水果图片的可能性，再求比值即可求得．
试题解析：（1）方法一：列表得
A
B
C
D
A
—
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
—
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
—
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
—
方法二：画树状图
由树状图/表格可知，共有12种等可能结果；
（2）获奖励的概率：P==．
六、（本大题满分12分）
21. 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB＝6，∠ABE＝60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）见解析
（2）①AD=．
②3π-．
【详解】试题分析：（1）证明：连接OE．
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE．
∴∠DAE=∠AEO．
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO．
∴∠DAE=∠EAO．
∴AE平分∠DAC．
（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠ABE=60°，
∴∠EAO=30°．
∴∠DAE=∠EAO=30°．
∵AB=6，
∴在Rt△ABE中，BE= =3， AE=
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE=，
∴．
②连接OE ∵∠EAO=∠AEO=30°，
∴．
∵OA=OB，
∴．
∴
．
本题考查平分线，三角函数，解答本题需要掌握角平分线的概念和性质，熟悉三角函数的定义，会用三角函数来解题
七、（本大题满分14分）
22. 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：∠AOB．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请图形1给予证明（没有要求写已知、求证，只需直接证明），并解决以下的问题（1）和问题（2）．
问题（1）：如图2，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：∠APC( + )；
问题（2）：如图3，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆外一点P，问题（1）中的结论是否成立，如果成立，给予证明；如果没有成立，写出一个类似的结论（没有要求证明）
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半，得∠AOB，连BC，可证得∠APC ；
（2）问题（1）中的结论没有成立，连BC，可以得到类似的结论为：∠APC ．
试题解析：∵∠APB=∠AOB，又∵∠AOB，∴∠APB ，即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半；
问题（1）连BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC，
∵∠PCB的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∴∠APC ；
问题（2）：问题（1）中的结论没有成立，
类似的结论为：∠APC，
连接BC，则∠APC=∠BCD−∠PBC，
∵∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∴∠APC.
八、（本大题满分12分）
23. 某市政府大力扶持大学生创业．张涛在政府的扶持下一种进价为每件20元的新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月量x（件）的函数关系如图所示．无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元）（利润=额-成本-广告费）． 若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本（含进价）为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为W外（元）（利润=额-成本-附加费）．
（1）求y与x的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（2）分别求出W内，W外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）在国内时，每月的量在什么范围内，张涛才没有会？
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外才能使所获月利润较大？
【正确答案】(1) y=−x+150；(2) W外=−x2+（150-a）x；(3) 至少为500件、至多为12500;(4)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据等量关系“利润=额-成本-广告费”，“利润=额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（3）根据（2）中得出的关系式，二次函数的性质即可求出答案；
（4）通过对国内和国外利润比较，又由于a值没有确定，故要讨论a的取值范围．
试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，由图象得 ，
解得 ，
∴y=−x+150；
（2）W内=x（y-20）-62500=−x2+130x-62500，
W外=−x2+（150-a）x；
（3）令W内=0，则−x2+130x−62500=0，
解得 x1=12500，x2=500，
故每月的量至少为500件、至多为12500时，张涛才没有会；
（4）当x=5000时，W内=337500， W外=-5000a+500000，
若W内＜W外，则a＜32.5；
若W内=W外，则a=32.5；
若W内＞W外，则a＞32.5；
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外； 当a=32.5时，在国外和国内都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内．
本题考查了二次函数的实际应用，考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解没有等式等知识点，能运用函数分析问题、解决问题是关键.
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
2. 若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠2 B. m=2 C. m≥2 D. m≠0
3. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 某厂前年缴税30万元，今年缴税36.3万元，若该厂缴税年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A. 30x2=363 B. 30（1-x）2=36.3
C. 30+30（1+x）+30（1+x）2=36.3 D. 30（1+x）2=36.3
5. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
6. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
7. 要得到y＝(x－3)2－2的图象，只要将y＝x2的图象
A. 由向左平移3个单位，再向上平移2个单位；
B. 由向右平移3个单位，再向下平移2个单位；
C. 由向右平移3个单位，再向上平移2个单位；
D. 由向左平移3个单位，再向下平移2个单位.
8. △ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
9. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则 =（ ）
A. B. C. D. 1
10. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
11. 已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
12. 已知⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB＝24，CD＝10，则AB、CD之间的距离为
A. 17 B. 7 C. 12 D. 7或17
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
13. 方程x2+2x=1的解是_______________________．
14. 把3x2－12x＋12因式分解的结果是____________________________．
15. 如图，一个半径为2cm的圆盘被分割成十个区域. 其中，弦、关于圆心对称，、关于圆心对称，向盘中投掷一物体，则物体落在阴影部分的概率为_____________．
16. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
17. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是_____．
18. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________．
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分96分）
19. 在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个没有同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是对称图形的概率．
20. 如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，1)、B(－1，1)、C(－4，3)．
（1）画出Rt△ABC关于原点O成对称的图形Rt△A1B1C1；
（2）若Rt△ABC与Rt△A2BC2关于点B对称，则点A2的坐标为 、C2的坐标为 ．
（3）求点A绕点B旋转180°到点A2时，点A在运动过程中的路程.
21. 已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
22. 如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，平分，交于点．
求证：平分；
求证：等腰三角形．
23. 商场购进一种单价为40元的书包，如果以单价50元出售，那么每月可售出30个，根据，售价每提高5元，量相应减少1个.
（1）请写出单价提高元与总的利润y元之间的函数关系式；
（2）如果你是经理，为使每月的利润，那么你确定这种书包的单价为多少元？此时，利润是多少元？
24. 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）设AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y关于x的函数解析式．
25. 已知点P和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b距离证明可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d== = =．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
26. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A m≠2 B. m=2 C. m≥2 D. m≠0
【正确答案】A
【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，∴m-2≠0，解得：m≠2．故选A．
3. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D．
4. 某厂前年缴税30万元，今年缴税36.3万元，若该厂缴税的年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A. 30x2=36.3 B. 30（1-x）2=36.3
C. 30+30（1+x）+30（1+x）2=36.3 D. 30（1+x）2=36.3
【正确答案】D
【详解】如果设该厂缴税的年平均增长率为x，
那么根据题意得今年缴税30（1+x)2 ，
列出方程为：30（1+x)2=36.3，
故选D．
5. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故选D
考点：圆周角定理
6. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数图象；2．函数的图象．
7. 要得到y＝(x－3)2－2的图象，只要将y＝x2的图象
A. 由向左平移3个单位，再向上平移2个单位；
B. 由向右平移3个单位，再向下平移2个单位；
C. 由向右平移3个单位，再向上平移2个单位；
D. 由向左平移3个单位，再向下平移2个单位.
【正确答案】B
【详解】∵原抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），新抛物线y=（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），∴将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位可得到新抛物线．故选B．
8. △ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
【正确答案】C
【详解】解：∵，∴△ABC是直角三角形，斜边=10，∴外接圆半径=×10=5．故选C．
点睛：解答本题的关键是判断出三角形是直角三角形．
9. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则 =（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】B
【详解】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°=6×180°=1080°，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°，∴==．故选B．
10. 如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且没有与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 没有变 D. 没有能确定
【正确答案】C
【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度没有变．
【详解】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度没有变，
故选：C．
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
11. 已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
【正确答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=-5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=-1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y=-5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=-1，
而B（2，y2）离直线x=-1的距离最远，A（-1，y1）在直线x=﹣1上，，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
12. 已知⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB＝24，CD＝10，则AB、CD之间的距离为
A. 17 B. 7 C. 12 D. 7或17
【正确答案】D
【分析】分两种情况进行分析：①当弦AB和CD在圆心同侧时；②当弦AB和CD在圆心异侧时；作出相应图形，进行求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm，
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故选D．
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
二、填 空 题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
13. 方程x2+2x=1的解是_______________________．
【正确答案】,
【详解】解：x2+2x=1，∴x2+2x+1=2，∴，∴，∴x=，即，．故答案为，．
14. 把3x2－12x＋12因式分解的结果是____________________________．
【正确答案】3（x-2）2
【详解】解：原式==．故答案为．
点睛：本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式、完全平方公式是解题关键．
15. 如图，一个半径为2cm的圆盘被分割成十个区域. 其中，弦、关于圆心对称，、关于圆心对称，向盘中投掷一物体，则物体落在阴影部分的概率为_____________．
【正确答案】
【详解】根据给出的图形可得：阴影部分的面积占整个圆面积的一半，则物体落在阴影部分的概率为．故答案为．
点睛：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即（A）发生的概率．
16. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
【正确答案】2π
【详解】试题分析：如图，
∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=．
考点：圆锥计算．
17. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是_____．
【正确答案】②③④．
【详解】解：∵抛物线开口朝下，∴a＜0，
∵对称轴x=1=-，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a+c＜b，故②正确；
根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故④正确．
故②③④．
本题考查二次函数图象与系数的关系．
18. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________．
【正确答案】（36，0）
【详解】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0）
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分96分）
19. 在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个没有同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是对称图形的概率．
【正确答案】(1)详见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由既是轴对称图形又是对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：解（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵既是对称又是轴对称图形的只有B、C，
∴既是轴对称图形又是对称图形的有4种情况，
∴既是轴对称图形又是对称图形的概率为：．
考点：列表法与树状图法．
20. 如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，1)、B(－1，1)、C(－4，3)．
（1）画出Rt△ABC关于原点O成对称的图形Rt△A1B1C1；
（2）若Rt△ABC与Rt△A2BC2关于点B对称，则点A2的坐标为 、C2的坐标为 ．
（3）求点A绕点B旋转180°到点A2时，点A在运动过程中的路程.
【正确答案】（1）详见解析；（2）（2，1），（2，﹣1）；（3）3π．
【详解】（1）如图：
（2）A2(2，1) ，C2 (2，－1)
（3）当点A旋转180°到点A2时，点A的路线是以B为圆心，AB＝3为半径，圆心角为180°的弧AA2，则点A在运动过程中的路程为：
＝＝3π
21. 已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
【正确答案】（1）有两个实数根；（2）直角三角形的周长为
【详解】试题分析：（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根；
（2）把x=1代入原方程中，解得k=1，从而得到方程的另一根．然后分两种情况讨论即可．
试题解析：（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根；
（2）把x=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，1-（k+2）+2k=0，k=1，
把k=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，
x=1或x=2，
所以方程的另一根是2．
①当1，2为直角边时，斜边为
此时直角三角形周长为
②当2为斜边，1为直角边时，另一直角边为
此时直角三角形周长为
综上所述，直角三角形的周长为．
点睛：本题主要考查方程根的判别式及直角三角形的性质，掌握方程根的判别式与方程根的情况的关系是解题的关键，注意分类讨论．
22. 如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，平分，交于点．
求证：平分；
求证：是等腰三角形．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）依据切线的性质可知OC⊥DC，然后可证明AD∥OC，依据平行线的性质可得到∠DAC=∠ACO，然后依据OA=OC可证明∠OAC=∠ACO，通过等量代换可证明AC平分∠DAB；
（2）依据直径所对的圆周角等于90°可证明∠ACB=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠DAC=∠BCP，由（1）可知AC平分∠DAB，从而得到∠CAE=∠BCP，然后∠ACE=∠ECB可证明∠PCE=∠PEC．
【详解】如图所示：连接．
∵切于点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
即平分．
∵，
∴．
又∵为直径，
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形．
考查的是切线的性质、圆周角定理的应用，等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握有关切线问题的辅助线的作法是解题的关键．
23. 商场购进一种单价为40元的书包，如果以单价50元出售，那么每月可售出30个，根据，售价每提高5元，量相应减少1个.
（1）请写出单价提高元与总的利润y元之间的函数关系式；
（2）如果你是经理，为使每月的利润，那么你确定这种书包的单价为多少元？此时，利润是多少元？
【正确答案】（1）x与y的函数关系式为：y＝(50＋x－40)(30－)(0≤ x ≤150)；（2）当这种书包的单价为120元时，每月的利润为1280元；
【详解】（1）当单价提高x元时，量减少了个，
此时单价为(50＋x)元，量为(30－)个
则x与y的函数关系式为：y＝(50＋x－40)(30－)(0≤ x ≤150)
（2）将（1）中函数整理后，得：
y＝－＋28 x＋300
∵－<0
∴二次函数y＝－＋28 x＋300有值
当x＝70时，y有值，
此时y＝1280，
这种书包的单价为：50＋70＝120
答：（1）x与y的函数关系式为：y＝(50＋x－40)(30－)(0≤ x ≤150)；
（2）当这种书包的单价为120元时，每月的利润为1280元；
点睛：本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）设AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y关于x的函数解析式．
【正确答案】（1）详见解析；（2）y=x2．
【详解】（1）证明：过O做OE⊥CD于点E，
则∠OED＝90°
∵⊙O与AM相切于点A
∴∠OAD＝90°
∵OD平分∠ADE
∴∠ADO＝∠EDO
∵OD＝OD
∴△OAD≌△OED
∴OE＝OA
∵OA是⊙O的半径
∴OE是⊙O的半径
∴CD是⊙O的切线
（2）过点D做DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝x
∵AD＝4，BC＝y
∴CF＝BC－AD＝y－4
由切线长定理可得：
∴DE＝DA，CE＝CB
∴CD＝CE＋ED
＝BC＋AD
＝4＋y
在Rt△DFC中，
∵CD2＝DF2＋FC2
∴(y＋4)＝x 2＋(y－4)2
整理得：y＝x2
则y关于x的函数关系式为：y＝x2
解法二：连接OC，
∵CD、CB都是⊙O的切线
∴CE＝CB＝y
OC平分∠BCD
即：∠OCD＝∠BCD
同理：DE＝AD＝4
∠CDO＝∠CDA
∵AM、BN分别与⊙O相切
且AB为⊙O的直径
∴AM//BN
∴∠BCD＋∠CDA＝180°
∴∠OCD＋∠CDO＝90°
∵∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°
∴∠COD＝90°
∵在Rt△OAD中
OD2＝OA2＋AD2
即OD2＝()2＋42
同理可得：
OC2＝()2＋y2
∵CD＝CE＋ED＝y＋4
∴在Rt△OCD中
CD2＝OC2＋OD2
即(y＋4)2＝()2＋42＋()2＋y2
整理得：y＝x2
则y关于x的函数关系式为：y＝x2
点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
25. 已知点P和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7距离为：d== = =．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
【正确答案】(1);(2)见解析;(3)2.
【分析】（1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y=x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离即可．
【详解】（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1，
所以点P（1，-1）到直线y=x-1的距离为：d=；
（2）⊙Q与直线y=x+9的位置关系为相切．
理由如下：
圆心Q（0，5）到直线y=x+9的距离为：d=，
而⊙O的半径r为2，即d=r，
所以⊙Q与直线y=x+9相切；
（3）当x=0时，y=-2x+4=4，即点（0，4）在直线y=-2x+4，
因为点（0，4）到直线y=-2x-6的距离为：d=，
因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，
所以这两条直线之间的距离为2．
本题考查了函数的综合题：熟练掌握函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义．
26. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y＝x﹣2，顶点D的坐标为 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（，﹣）．
【分析】（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．
【详解】（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线ybx﹣2上，∴b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴抛物线的解析式为yx﹣2．
yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴顶点D的坐标为 （）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （），∴抛物线的对称轴为x．
∵抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x对称．
∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，yx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．
当x时，y，∴点M的坐标为（）．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
完成
一、选一选（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3）
2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B. 某人身高达到5.5米
C. 通常加热到100°C时，水沸腾
D. 打开电视，正在播放综艺节目《一站到底》
4. 若x=-1是方程x2+ax+2=0的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
5. 如果P（a-1，a+2）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A （-3，0） B. （0，3） C. （0，-3） D. （3，0）
6. 如图，⊙O的弦AB=6，半径OD⊥AB，交AB于点D、交弧AB于点C．若CD=1，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 在学校组织的实践中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 4π B. 3π C. D. 2π
8. 抛物线y=ax2+bx+c中，a＞0，b＞0，c＜0，则抛物线的顶点在（ ）
A 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 反比例函数y= 与函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直线y＝m与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 8
二、填 空 题（每题5分，共20分）
11. 从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老，则小明被选中的概率是________.
12. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数是_________．
13. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值 ________ （到0.1）．
x
﹣0.1
﹣0.2
﹣0.3
﹣0.4
y=ax2+bx+c
﹣0.58
﹣0.12
0.38
0.92
14. 如图，直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4）和点B，点A的另一条直线与双曲线y2=交于点C．则：
①直线AB的解析式为y1=x+3；
②B（﹣1，﹣4）；
③当x＞1时，y2＜y1；
④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形．
其中正确的是_______．（把所有正确结论的序号都写在横线上）
三、（每小题8分，共16分）
15. 请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、项得一元二次方程，并求出它的解．
16. 已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．
四、（每小题8分，共16分）
17. 反比例函数的图象如图所示，A(－1，b1)，B(－2，b2)是该图象上的两点．
(1)比较b1与b2的大小；
(2)求m的取值范围．
18. 芜湖市是安徽省第二大城市，为谋求跨江发展，和县的沈巷、无为的二坝、汤沟、白茆先后划入芜湖市．2014年芜湖市国民生产总值为2300亿元，计划2016年芜湖市国民生产总值要达到2783亿元．如果芜湖市国民生产总值都以相同的增长率增长，求芜湖市国民生产总值的年平均增长率．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．将菱形OABC绕原点O
顺时针旋转90°菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并求出点B旋转到点B1的路径长．
20. 水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游．每一位来采摘水果的顾客都有抽奖机会：在一只没有透明的盒子里有A，B，C，D四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；
（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？
A B C D
六、（本大题满分12分）
21. 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB＝6，∠ABE＝60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
七、（本大题满分14分）
22. 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：∠AOB．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请图形1给予证明（没有要求写已知、求证，只需直接证明），并解决以下的问题（1）和问题（2）．
问题（1）：如图2，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：∠APC( + )；
问题（2）：如图3，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆外一点P，问题（1）中的结论是否成立，如果成立，给予证明；如果没有成立，写出一个类似的结论（没有要求证明）
八、（本大题满分12分）
23. 某市政府大力扶持大学生创业．张涛在政府的扶持下一种进价为每件20元的新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月量x（件）的函数关系如图所示．无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元）（利润=额-成本-广告费）． 若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本（含进价）为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为W外（元）（利润=额-成本-附加费）．
（1）求y与x的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（2）分别求出W内，W外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）在国内时，每月的量在什么范围内，张涛才没有会？
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还在国外才能使所获月利润较大？
2022-2023学年安徽省合肥市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
完成
一、选一选（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3）
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式，∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选D．
考点：二次函数的性质．
2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：根据对称的概念可得
个图形是对称图形，
第二个图形没有是对称图形，
第三个图形是对称图形，
第四个图形没有是对称图形，
所以，对称图有2个．
故选：B．
本题考查对称图形的识别，掌握对称图形的概念是本题的解题关键．
3. 下列中，是必然的是（ ）
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B. 某人身高达到5.5米
C. 通常加热到100°C时，水沸腾
D. 打开电视，正在播放综艺节目《一站到底》
【正确答案】C
【详解】A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，随机；B. 某人身高达到5.5米，没有可能；C. 通常加热到100°C时，水沸腾，必然；D. 打开电视，正在播放综艺节目《一站到底》，随机，
故选C.
4. 若x=-1是方程x2+ax+2=0的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
【正确答案】B
【详解】设另一个根为x1，由根与系数关系则有：-1·x1=2，所以x1=-2，
故选B.
本题考查了一元二次方程根与系数关系在求方程根时的应用 ，解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式.
5. 如果P（a-1，a+2）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A. （-3，0） B. （0，3） C. （0，-3） D. （3，0）
【正确答案】A
【详解】∵P（a-1，a+2）在x轴上，∴a+2=0，∴a=-2，
∴a-1=-2-1=-3，
∴点P的坐标是（-3，0），
故选A
6. 如图，⊙O的弦AB=6，半径OD⊥AB，交AB于点D、交弧AB于点C．若CD=1，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】B
【详解】连接OA，
∵AB=6，OC⊥AB于点D，
∴AD=AB=×6=3，∠ADO=90°，
∴OD2= OA2-AD2，
∵CD=1，OA =OC ，
∴OD=OC-CD=OA-1,
∴（OA-1）2=OA2-32，
∴OA=5，
故选B.
7. 在学校组织的实践中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 4π B. 3π C. D. 2π
【正确答案】B
【详解】解：∵底面半径为1，高为，
∴母线长l=．
∴圆锥的侧面积为：．
故选B．
8. 抛物线y=ax2+bx+c中，a＞0，b＞0，c＜0，则抛物线的顶点在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C
【详解】∵a>0，b>0，
∴a，b同号，抛物线的开口向上，
∴对称轴在y轴的左侧，
∵c<0，
∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴顶点在第三象限，
故选C．
本题考查二次函数的图象与系数的关系．解答此题要熟知二次函数的图象的性质．
9. 反比例函数y= 与函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】反比例函数，当k>0时,函数图像在,三象限,当k<0时，函数图像在第二,四象限；
【详解】解： A．由反比例函数图象知k>0，与函数图象k<0矛盾，A没有正确；
B．由反比例函数图象知k<0，与函数图象k<0一致，而函数与y轴交于负半轴，得-k+2<0解得k>2,与 k<0矛盾，B没有正确；
C．由反比例函数图象知k<0,与函数图象k>0矛盾，C没有正确；
D．由反比例函数图象知k>0，函数图象k>0而函数与y轴交于正半轴，得-k+2>0解得k<2所以0
10. 如图，直线y＝m与反比例函数和图象分别交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 8
【正确答案】C
【分析】由题意可得A，B两点坐标，进而得出AB=，再根据面积公式即可求出△ABC的面积.
【详解】解：由题意，得：
A，B两点纵坐标为m，
代入反比例函数，得：
A点坐标为（，m），B点坐标（-，m），
∴AB=，
∴S△ABC=××m=4．
故选：C．
本题考查了反比例函数上点的坐标特征，两点间距离公式以及三角形求面积，利用数形的思想解决本题是关键.
二、填 空 题（每题5分，共20分）
11. 从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老，则小明被选中的概率是________.
【正确答案】
【详解】试题分析：解：∵从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老，
∴小明被选中的概率是：．
故答案为．
考点：概率公式.
12. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数是_________．
【正确答案】40°．
【详解】连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=25°，
∴∠COD=2∠A=50°，
∴∠D=90°-50°=40°，
故答案为40°．
13. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它的部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值 ________ （到0.1）．
x
﹣0.1
﹣0.2
﹣0.3
﹣0.4
y=ax2+bx+c
﹣0.58
﹣0.12
0.38
0.92
【正确答案】2.2．
【详解】由表可知，当x=-0.2时，y的值最接近0，
所以，方程ax2+bx+c=0一个解的近似值为-0.2，
设正数解的近似值为a，
∵对称轴为直线x=1，
∴=1，
解得a=2.2，
故答案为2.2．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表中数据确定出y值最接近0的x的值是解题的关键．
14. 如图，直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4）和点B，点A的另一条直线与双曲线y2=交于点C．则：
①直线AB的解析式为y1=x+3；
②B（﹣1，﹣4）；
③当x＞1时，y2＜y1；
④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形．
其中正确的是_______．（把所有正确结论的序号都写在横线上）
【正确答案】①③④．
【详解】试题分析：∵直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4），∴4=1+b，4=，∴b=3，k=4，
∴直线AB的解析式为y1=x+3，双曲线的解析式为y2=，故①正确；
把y1=x+3代入y2=，得x+3=，整理得，x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4或1，当x=﹣4时，y1=﹣4+3=﹣1，∴B点坐标（﹣4，﹣1），故②错误；
由图象可知，y2＜y1时，﹣4＜x＜0或x＞1，∴当x＞1时，y2＜y1，故③正确；
当AC的解析式为y=4x时，把y=4x代入y2=，得4x=，整理得，4x2=4，
解得x=±1，当x=﹣1时，y=﹣4，∴C（﹣1，﹣4）．∵A（1，4），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，﹣4），∴AB2=（﹣4﹣1）2+（﹣1﹣4）2=50，BC2=（﹣1+4）2+（﹣4+1）2=18，AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣4﹣4）2=68，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形．
则正确的结论是①③④．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
三、（每小题8分，共16分）
15. 请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、项得一元二次方程，并求出它的解．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：按要求写出符合条件的方程，然后进行求解即可.
试题解析：如：x2-3x=0，
x(x-3)=0，
x=0或x-3=0，
x1=0或x2=3.
16. 已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．
【正确答案】y=2x2+3x-4；顶点坐标为（-，-）．
【详解】试题分析：利用待定系数法把A（1，1），C（2，10）代入）二次函数y=2x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式，然后通过配方化成顶点式，即可得到顶点坐标.
试题解析：把（1，1）和（2，10）分别代入y=2x2+bx+c得：
，解得. ，
∴二次函数的解析式为：y=2x2+3x-4
y=2x2+3x-4=2(x2+x+)--4=2(x2+x+)-，=2(x+)2-，
∴二次函数的顶点坐标为（-，-）．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及利用配方法求顶点的坐标，解题的关键是掌握配方法进行配方.
四、（每小题8分，共16分）
17. 反比例函数的图象如图所示，A(－1，b1)，B(－2，b2)是该图象上的两点．
(1)比较b1与b2的大小；
(2)求m的取值范围．
【正确答案】（1）b1＜b2；（2）．
【详解】解：(1)由题图知2m－1＞0．
∵反比例函数的图象在第三象限内，y随x的增大而减小，
又－1＞－2，
∴b1＜b2．
(2)由2m－1＞0，解得．
18. 芜湖市是安徽省第二大城市，为谋求跨江发展，和县的沈巷、无为的二坝、汤沟、白茆先后划入芜湖市．2014年芜湖市国民生产总值为2300亿元，计划2016年芜湖市国民生产总值要达到2783亿元．如果芜湖市国民生产总值都以相同的增长率增长，求芜湖市国民生产总值的年平均增长率．
【正确答案】10%
【详解】试题分析：设全市国民生产总值的年平均增长率为x，那么2015年全市国民生产总值为2300（1+x）亿元，2016年全市国民生产总值为2300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2016年全市国民生产总值要达到2783亿元即可列出方程，解方程即可得.
试题解析：设芜湖市国民生产总值的年平均增长率为x，依题意得：
2300 (1+x)2=2783，
(1+x)2=1.21，
1+x=±1.1，
x1=0.1或x2=-2.1(舍去)，
x=10%，
答：芜湖市国民生产总值的年平均增长率为10%．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．将菱形OABC绕原点O
顺时针旋转90°菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并求出点B旋转到点B1的路径长．
【正确答案】2π
【详解】试题分析：将菱形OABC的A、B、C三点绕原点O顺时针旋转90°，得到对应点，然后再顺次连接，得到菱形OA1B1C1，点B旋转到B1的路径就是一段弧长，根据弧长公式计算即可．
试题解析：如图，菱形OA1B1C1即为所求；
∵OB==4，
∴点B旋转到点B1的路径长==2π．
20. 水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游．每一位来采摘水果的顾客都有抽奖机会：在一只没有透明的盒子里有A，B，C，D四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；
（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？
A B C D
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是没有放回实验，此题属于没有放回实验；
（2）根据树状图求得的两张卡片是同一种水果图片的可能性，再求比值即可求得．
试题解析：（1）方法一：列表得
A
B
C
D
A
—
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
—
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
—
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
—
方法二：画树状图
由树状图/表格可知，共有12种等可能结果；
（2）获奖励的概率：P==．
六、（本大题满分12分）
21. 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB＝6，∠ABE＝60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）见解析
（2）①AD=．
②3π-．
【详解】试题分析：（1）证明：连接OE．
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE．
∴∠DAE=∠AEO．
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO．
∴∠DAE=∠EAO．
∴AE平分∠DAC．
（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠ABE=60°，
∴∠EAO=30°．
∴∠DAE=∠EAO=30°．
∵AB=6，
∴在Rt△ABE中，BE= =3， AE=
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE=，
∴．
②连接OE ∵∠EAO=∠AEO=30°，
∴．
∵OA=OB，
∴．
∴
．
本题考查平分线，三角函数，解答本题需要掌握角平分线的概念和性质，熟悉三角函数的定义，会用三角函数来解题
七、（本大题满分14分）
22. 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：∠AOB．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请图形1给予证明（没有要求写已知、求证，只需直接证明），并解决以下的问题（1）和问题（2）．
问题（1）：如图2，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：∠APC( + )；
问题（2）：如图3，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆外一点P，问题（1）中的结论是否成立，如果成立，给予证明；如果没有成立，写出一个类似的结论（没有要求证明）
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半，得∠AOB，连BC，可证得∠APC ；
（2）问题（1）中的结论没有成立，连BC，可以得到类似的结论为：∠APC ．
试题解析：∵∠APB=∠AOB，又∵∠AOB，∴∠APB ，即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半；
问题（1）连BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC，
∵∠PCB的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∴∠APC ；
问题（2）：问题（1）中的结论没有成立，
类似的结论为：∠APC，
连接BC，则∠APC=∠BCD−∠PBC，
∵∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∴∠APC.
八、（本大题满分12分）
23. 某市政府大力扶持大学生创业．张涛在政府的扶持下一种进价为每件20元的新型节能产品，现准备从国内和国外两种中选择一种进行．
若只在国内，价格y（元/件）与月量x（件）的函数关系如图所示．无论多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元）（利润=额-成本-广告费）． 若只在国外，价格为150元/件，受各种没有确定因素影响，成本（含进价）为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为W外（元）（利润=额-成本-附加费）．
（1）求y与x的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（2）分别求出W内，W外与x间的函数关系式（没有必写x的取值范围）；
（3）在国内时，每月的量在什么范围内，张涛才没有会？
（4）如果某月要将5000件产品全部完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外才能使所获月利润较大？
【正确答案】(1) y=−x+150；(2) W外=−x2+（150-a）x；(3) 至少为500件、至多为12500;(4)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据等量关系“利润=额-成本-广告费”，“利润=额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（3）根据（2）中得出的关系式，二次函数的性质即可求出答案；
（4）通过对国内和国外利润比较，又由于a值没有确定，故要讨论a的取值范围．
试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，由图象得 ，
解得 ，
∴y=−x+150；
（2）W内=x（y-20）-62500=−x2+130x-62500，
W外=−x2+（150-a）x；
（3）令W内=0，则−x2+130x−62500=0，
解得 x1=12500，x2=500，
故每月的量至少为500件、至多为12500时，张涛才没有会；
（4）当x=5000时，W内=337500， W外=-5000a+500000，
若W内＜W外，则a＜32.5；
若W内=W外，则a=32.5；
若W内＞W外，则a＞32.5；
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外； 当a=32.5时，在国外和国内都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内．
本题考查了二次函数的实际应用，考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解没有等式等知识点，能运用函数分析问题、解决问题是关键.
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