2023高考数学二轮名师原创数学专题卷：专题12 直线与圆的方程

2022衡水名师原创数学专题卷

专题十二《直线与圆的方程》

考点38：直线方程与两直线的的位置关系（1-4题，9,10题，13,14题）

考点39：圆的方程及点，线，圆的位置关系（5-8题，11,12题，15,16题,17-22题）

考试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.直线的倾斜角是(   )

A． B． C． D．

2.经过点，斜率是直线的斜率的2倍的直线方程是(　)．

A． B．

C．   D．

3.经过点和的直线平行于斜率等于1的直线,则的值是(    )

A.4 B.1 C.1或3 D.1或4

4.如图，已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是(   )

A． B．    C．6 D．

5.已知直线与圆C相切，且直线始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(   )

A. B. C. D.

6.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则

面积的取值范围是（      ）

A．  B． C． D．

7.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（   ）

A. B. C. D.

8.已知圆与圆关于直线l对称 ，则直线l的方程是(   )

A.     B.       C.     D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.如果，，那么直线经过(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

10.下列说法中，正确的有(   )

A.过点且在轴截距相等的直线方程为

B.直线在轴上的截距为

C.直线的倾斜角为

D.过点并且倾斜角为的直线方程为

11.若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则可以取值(   )

A. B.5 C. D.6

12.已知圆C过点且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是(  )

A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上

B.满足条件的圆C有且只有一个

C.点在满足条件的圆C上

D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.在下列叙述中：

①倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大；

②过点，且斜率为的直线的方程为；

③若两直线平行，则它们的斜率必相等；

④若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于

其中错误的命题是________.(填序号)

14.已知三角形的一个顶点，它的两条角平分线所在直线的方程分别为和，则边所在直线的方程为          .

15.已知直线与圆交于两点,过分别做l的垂线与x轴交于两点,则__________.

16.已知直线和圆相交于两点.若，则的值为_________.

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）已知圆.
(1)求圆心的坐标及半径r的大小；
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(3)从圆外一点向圆引一条切线，切点为为坐标原点，且，求点P的轨迹方程．

18.（本题满分12分）已知直线和圆

(1)当直线l与圆相切时，求实数m的值；

(2)当直线l与圆相交,且所得弦长为时，求实数m的值.

19.（本题满分12分）已知圆

1.求圆C关于直线对称的圆D的标准方程；

2.过点的直线被圆C截得的弦长为8，求直线的方程；

3.当k取何值时，直线与圆c相交的弦长最短，并求出最短弦长.

20.（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系中,已知圆及点

1.若直线平行于,与圆相交于两点, ,求直线的方程;

2.在圆上是否存在点,使得若存在,求点的个数;若不存在,说明理由.

21.（本题满分12分）已知是圆的直径，动圆M过两点，且与直线相切.

(1)若直线的方程为，求圆M的方程

(2)在y轴上是否存在一个定点P，使得直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

22.（本题满分12分）已知圆，动圆与圆外切，且动圆与x轴相切.

(1)求动点的轨迹E的方程.

(2)过点作两条相互垂直的直线分别交曲线E于和，求四边形的面积的最小值.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：直线的斜率为，该直线的倾斜角是

2.答案：C

解析：由方程知，已知直线的斜率为，∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为，∴选C.

3.答案：B

解析：由题意,知,解得.

4.答案：D

解析：易得所在的直线方程为,由于点关于直线对称的点为,点关于轴对称的点为,则光线所经过的路程即与两点间的距离.于是.

5.答案：D

解析：将直线变形得，易知直线恒过定点，由题意得圆C的圆心坐标为，又因为直线与圆C相切，所以半径，所以圆C的方程为.

6.答案：A

解析：∵直线分别与x轴、y轴交于两点

∴，则

∵点在圆上

∴圆心为，则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故选A.

7.答案：B

解析：因为圆与两坐标轴都相切，且点在该圆上，所以可设圆的方程为，所以，即，解得或，所以圆心的坐标为或，所以圆心到直线的距离为或，故选B.

8.答案：B

解析：直线l就是线段的垂直平分线，

因为的中点坐标为，，

所以，

所以直线l的方程为，即.

故选B.

9.答案：ABC

解析：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，

如下图所示：

由图象可知，直线经过第一、二、三象限.

故选：ABC.

10.答案：BD

解析：对A项，点在直线上，且该直线在轴截距都为，则A错误；

对B项，令，则直线在轴上的截距为，则B正确；

对C项，可化为，则该直线的斜率，则倾斜角，则C错误；

对D项，过点并且倾斜角为的直线上的所有点的横坐标，则D正确；

故选：BD.

11.答案：ABC

解析：圆心到直线的距离，半径为，

若圆上恰有一个点到直线的距离等于1，

则或，

故当圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，

所以，

故选：ABC.

12.答案：ACD

解析：因为圆C和两个坐标轴都相切,且过点,所以设圆心坐标为,如圆心在,A正确,圆C的方程为,把点M的坐标代入可得,解得或,则圆心坐标为或,所以满足条件的圆C有且仅有两个,故B错误,圆C的方程分别为,将点代入可知满足,故C正确;它们的圆心距为,D正确.

13.答案：②③④

解析： ①当时，斜率k不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点，斜率为1，又，故直线必过点(3，4)，故④正确；⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过与两点，故⑤错误．

14.答案：

解析：A不在这两条角平分线上，因此是另两个角的角平分线，点A关于直线的对称点A，点A关于直线的对称点均在边BC所在直线上.

设,则有，解得∴，

同理设，易求得.

∴BC边所在直线方程为.故填.

15.答案：4

解析：由,得,代入圆的方程,并整理,得,解得,所以,所以又直线l的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,.

16.答案：5

解析：依题意得，圆心到直线的距离，因此，又，所以.

17.答案：(1) 圆的方程变形为,

∴圆心的坐标为,半径为.

(2) ∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,
∴设直线l的方程为,
∴或。
∴所求直线l的方程为或。

(3) 连接,则切线和垂直,连接,
∴,
又,
∴
即,
∴点P的轨迹方程为.

解析：

18.答案：(1)由得，

∴圆心为，；

∵直线与圆相切,∴

解得或；

(2)设圆心到直线l的距离为d,且弦长为，

由勾股定理得：，

由点到直线的距离公式得, ，

∴，解得.

所以实数m的值为3或.

解析：

19.答案：1.圆心，设，因为圆心C与D关于直线对称，所以

，

所以圆D标准方程为：

2.设点C到直线l距离为d

①当l斜率不存在时，直线方程为，满足题意

②当l斜率存在时，设直线方程为

综上，直线方程为或

3.直线l过定点,当时，弦长最短，

此时最短弦长为．

解析：

20.答案：1. 或
2.存在

点的个数为

解析：1.圆的标准方程为,

所以圆心,半径为.

因为,

所以直线的斜率为,

设直线的方程为,

则圆心到直线的距离为

因为,

而,

所以,

解得或,

故直线的方程为或.
2.假设圆上存在点,设,则,,

即,即,

因为

所以圆与圆相交, 所以点的个数为 

21.答案：(1)因为圆M过点，所以圆心M在的垂直平分线上，

又直线的方程为，

所以点M在直线上，故可设.

因为圆M与直线相切，所以圆M的半径，

连接，由已知得，，

故可得，

解得或，

故圆M的半径或，

所以圆M的方程为或.

(2)设，

由已知得圆M的半径，，，

故可得，化简得M的轨迹方程为.

设，则的中点,

，

到直线的距离为，

设直线被以为直径的圆截得的弦长为，

则，

故当时，为定值.

所以存在定点，使得直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.

解析：

22.答案：(1)由圆的方程知.

设点，动圆的半径为R.

由题意得，所以.

化简，得

故当时，；当时，，此时动圆不存在，舍去.

所以动点的轨迹E的方程为

(2)由题意知直线的斜率必存在，且不为0.

设直线的方程为，将其代入，得

则.

又，同理可得，

所以四边形的面积，

当且仅当，即时，等号成立.

此时，四边形的面积最小为32.

解析：