数学九年级下册27.3 位似课后练习题

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专题27.2-3相似三角形+位似测试卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·四川省渠县中学九年级期末）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：∵，
∴．
A、∵，∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、∵，与的大小无法判定，∴无法判定，故本选项符合题意．
D、∵，∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
2．（2021·河南安阳·九年级期末）已知的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，则的最长边的长为（　　）
A．8 B．12 C．10 D．9
【答案】B
【分析】设的最长边的长为x，根据相似三角形对应边成比例计算即可．
【详解】解：设的最长边的长为x，
∵的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，
∴，
解得：，
则的最长边的长为12．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例计算，注意要找对对应边．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  )

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△ADB，
∴，
∴AB2=AC•AD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．
4．（2022·江苏扬州·九年级期中）如图，在的正方形网格中，以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，则A的对应点为（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点到位似中心的距离比值，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：

∵以O为位似中心，把格点放大为原来的2倍，
∴对应点到位似中心的距离比值为1：2，
∴A的对应点为：点．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点到位似中心的距离比值是解题关键．
5．（2022·四川省成都市七中育才学校九年级期中）如图，在中，，在边上，，，若的面积等于9，则的面积为（   ）

A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】过点作于，过点作于，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据三角形的面积公式，可求得，根据相似三角形的性质，可求得，据此即可求得．
【详解】解：过点作于，过点作于，

，
，
，，
，
．
，
的面积等于9，
，
，
，
．
的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．
6．（2014·江苏扬州·九年级期中）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）

A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）
【答案】B
【详解】试题分析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，
∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，
在△ACF和△OBE中，
∵∠F=∠BEO=90°，∠CAF=∠BOE，AC=OB，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，
∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴AD：OE=OD：BE，即1：OE=2：3，
∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：，
∴点C（，4）．故选B．

考点：1．矩形的性质；2．坐标与图形性质；3．全等三角形的判定与性质；4．相似三角形的判定与性质．
7．（2022·山东济南·九年级期中）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（    ）

A． B．2cm C． D．3cm
【答案】A
【分析】根据图示可知装满了液体的高脚杯中的液体可以看作是三角形（图示见详解），用去部分液体后剩下的液体看作是三角形，因为容器一样，则对应边相等，根据平行线分线段成比例，三角形相似的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，

，，，
根据题意得，是等腰三角形，则过点作于，交于点，
∴根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，垂直平分，
在，中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即液面距离杯口的距离h，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，相似三角形的判断和性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，可得AF=4，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△CAF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．
【详解】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AF=4，BE=DG=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中，，
∴△BCE≌△CAF，
∴CF=BE=3，
∴AC==5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
∴，即，
解得：CD=，
∴BD==．

故选：A．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
9．（2021·安徽·二模）如图，在矩形中，，，直线从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，且该直线平行于对角线，与边（或），（或）所在直线分别交于点，．设直线的运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况，根据矩形的性质和直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：①如图，当时，
    
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
②如图，当时，

同理可得：
．
由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口方向向上，右边为抛物线的一部分，开口方向向下．
故选：D．
【点睛】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
10．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，平面直角坐标系中是原点，▱的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连结，则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④，其中正确的结论个数是（     ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】①证明，列比例式得，再由、为的三等分点，得到，进而可得①正确；
②如图2，延长交轴于，证明，则，再证明，则可判断不成立；
③如图3，利用面积差求得：，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；
④根据勾股定理进行计算的长，根据三等分线段可得结论．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为的三等分点，
∴，
∴
∴
∴是的中点，故①结论正确；
②如图，连接，延长交轴于，

由知：，，
∴，即，
∵
∴，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴在中，，则，
又,
∴不成立，故②错误；
③由①知：为的中点，
同理得：是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴即，
如图，过作于，

∵
∴，则，
∵，
，
，
∴,
∵
∴
∴
∴
∴，故③错误；
④在中，由勾股定理得：，
，故④错误，
综上，只有①正确，
故选：A．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识，作为选择题，难度较难，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是解答的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有_______对．

【答案】3
【分析】根据相似三角形的判定即可判断．
【详解】图中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3个组合分别为：∴，，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
12．（2022·湖南省汉寿县教育研究室九年级期中）如图，在中，，是边上的高，若，则的值是_________．

【答案】16
【分析】先由角的互余关系，导出，结合，证明，利用相似三角形的性质，列出比例式，变形即可得答案．
【详解】解：∵，于点D，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，而，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质．
13．（2020··九年级期末）数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，把镜子放在离树的点E处，然后沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，在用尺子量的，观察者目高，求树高为______m．

【答案】4.5
【分析】先证明，得出，然后代入数据求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得：．
故答案为：4.5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明．
14．（2022·山西晋中·九年级期中）如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为________．

【答案】
【分析】利用翻折变换的性质以及勾股定理得出的长，进而得出，可得出相似比即可得出答案．
【详解】解：∵将矩形纸片沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上
∴，
∴在中，设，则，
，
∴，
解得： ，
∴
∵，
∴，
∵，
∴ ，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴与的面积比为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了翻折边换的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形的性质得出相似比是解题关键．
15．（2022·山东济南·九年级期中）如图，在直角坐标系中，矩形与矩形位似，矩形的边在y轴上，点B的坐标为，矩形的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为，则矩形与的位似中心的坐标是___________．

【答案】或
【分析】根据题意得到点P为位似中心，根据相似三角形的性质，然后分两种情况进行分析，进而得到答案．
【详解】解：连接交y轴于点P，

∵B和F是对应点，
∴点P为位似中心，
由题意得，，，，
∵，
∴∽，
∴，即，
解得：，
∴，
∴位似中心的坐标是；
连接，，并延长，交点为点P，如图所示：

则点P为位似中心，
由题意得：，，
∵，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，
∵点C为：，点E为：，
∴点P的坐标为：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
16．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为________．

【答案】或11
【分析】需要分在的左边或右边两种情况分别求解即可．
【详解】解：，，，垂足为，
，

当在的左边时，如图：

在边上，由题意得：，，
，
，
，
（秒，
当在的右边时，如图：

由题意得：，，，
，
，
，
，
（秒．
故答案为：或11．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线截线段成比例、勾股定理、三角形相似，解题的关键是充分利用正方形性质，讨论的位置．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·山东济南·九年级期中）如图，点B、C在线段上，且，，是边长为6的等边三角形．
求证：．

【答案】见解析
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明．
【详解】证明： 是边长为6的等边三角形，
，，
，
又，，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
18．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，△MON的面积是1，求△ABC的面积．

【答案】12
【分析】由三角形的重心定理得出AO=2ON，CO=2MO，BN=CN，得出△CON的面积=2△MON的面积=2，得出△AOC的面积=2△CON的面积=4，求出△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6，即可得出答案．
【详解】解：∵O是△ABC的重心，
∴AO=2ON，CO=2MO，BN=CN
∵△MON的面积是1，
∴△CON的面积=2△MON的面积=2
∴△AOC的面积=2△CON的面积=4.
∴△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6，
∴△ABC的面积=2△ACN的面积=2×6=12．
【点睛】本题考查了三角形的重心定理以及三角形面积，熟练掌握三角形的重心定理是解题的关键．
19．（2022·山东潍坊·九年级期中）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为．

(1)请在图中标出外接圆的圆心C，并写出点C的坐标．
(2)在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与位似的图形，使它与的相似比为，并写出点A，B对应点的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，，

【分析】（1）根据题意找到线段和的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心C；
（2）根据位似图形的性质画出，进而写出点A，B对应点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，找到线段和的垂直平分线的交点

∴
∴点C即为外接圆的圆心；
∴；
（2）如图所示，即为所要求作的三角形，
∴，．

【点睛】本题主要考查了画位似图形，三角形外接圆的性质，解题的关键在于能够熟练掌握画位似图形的方法，三角形外接圆的性质．
20．（2022·福建·福州金山中学九年级期中）如图，在为直径的中，，连结，，交于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4

【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据对顶角相等即可得证；
（2）利用垂径定理可以先求出的长，再求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵与所对的弧都是，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，

∵，
∴，
∵是直径，，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定以及圆周角定理和垂径定理，解题的关键是连接半径，构造直角三角形解答．
21．（2022·河南洛阳·九年级期中）如图所示，在等腰中，．点D由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为t（s）（），解答下列问题：

(1)当t为何值时，；
(2)在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得与相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在时间t为或时，使得与相似

【分析】（1）如图，过点A作于点H，只要证得，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况：①当时；②当时，分别利用相似三角形的性质代入数值即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点A作于点H，

在等腰中，，则．
在直角中，由勾股定理得到：．
∵，
∴．
∴．
∴，即．
解得；
（2）解：存在．理由如下：
∵运动时间为t（s）（），
∴，
∴，
①当时，
∴，即，
解得t，
②当时，
，即，
解得t．
答：存在时间t为或时，使得与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键．
22．（2022·山东济南·九年级期中）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
【答案】(1)灯泡离地面的高度为
(2)横向影子，的长度和为

【分析】（1）根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子的长度和．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
（2）设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（2021·山西·模拟预测）综合与实践
问题情境：
如图1，在中，，，点，分别在边，上，且．
数学思考：

（1）在图1中，的值为______；
（2）图1中保持不动，将绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
拓展探究：
（3）在图2中，延长，分别交，于点，，连接，得到图3，探究与之间有何数量关系，并说明理由；
（4）若将绕点按逆时针方向旋转到图4的位置，连接，，延长交的延长线于点，交于点，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立．；理由见解析；（3）．理由见解析；（4）（3）中的结论不成立．．
【分析】（1）由平行线分线段成比例即可求出答案．
（2）在图1中，由易证，即得出．在图2中，由旋转得，即证明，即得出结论．
（3）由（2），可知．即易证，得出，．又易证，得出．最后由，即得出．
（4）根据（3）同理即可证明出，．最后由，即得出结论．
【详解】（1）∵，
∴，即．
（2）证明：在图1中，∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
在图2中，由旋转可知，，
∴，
∴．
∴（1）中结论仍然成立．
（3）由（2）得，，
∴．
又∵，
∴．
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
（4）根据（3）同理可证，
∴．
又同理可证，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．熟练掌握相似三角形的判定和性质以及利用数形结合的思想是解答本题的关键．