初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数当堂达标检测题

专题28.1图形的相似测试卷

注意事项：

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·山东泰安·九年级期中）（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．

【详解】，

故答案为：B．

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．

2．（2022·浙江·宁波市镇海区仁爱中学九年级期中）如图，在中，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据锐角三角函数正弦的定义即可得到答案．

【详解】解：，

故选：B．

【点睛】本题考查正弦，解题的关键是熟知：在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作．

3．（2022·山东烟台·九年级期中）将 的各边长都缩小为原来的，则锐角的正弦值（    ）

A．缩小为原来的 B．不变

C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的

【答案】B

【分析】根据正弦的定义：角所在的直角三角形的对边与斜边的比值，计算比较即可．

【详解】如图所示：设

当各边长都缩小为原来的时，，

，

∴锐角的正弦值不变，

故选：B．

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握正弦的定义．

4．（2022·上海市省吾中学九年级期中）在中，，，，则的长可以表示为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知的直角边和与斜边的夹角，根据余弦定义的公式即可求解．

【详解】解：在中，，

，

，，

，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的余弦，熟练掌握余弦定义是解题的关键．

5．（2022·云南昆明·一模）如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】根据正切定义，把公式变形得到结果．

【详解】解：∵，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切定义是解决本题的关键．

6．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）已知在中，，，则的值等于（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可．

【详解】解：∵，

∴可设，

则，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键．

7．（2022·安徽安庆·九年级期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，设，且，若，则菱形的面积为 （       ）

A．90 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据菱形的性质和解直角三角形即可得到结论．

【详解】解：∵在菱形中，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴菱形的面积，

故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．

8．（2022·山东烟台·九年级期中）已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】如图：过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答．

【详解】解：如图：过点A作于D，过点B作于E

设 间的距离为，

∵，

∴，

∵，，

∴，

在等腰直角中，，

在和中

∴，

∴，

在中，

∴．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，正确作出辅助线、构造出全等三角形是解题的关键．

9．（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

【详解】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，

∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠B1C1O=∠B2C2E2=∠B3C3E4=60°，

∴∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，

∴D1E1＝C1D1sin30°＝，

则B2C2＝＝＝ ，

同理可得：B3C3＝＝，

故正方形AnBnCnDn的边长是：，

则正方形A2021B2021C2021D2021的边长为：，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键．

10．（2022·山西·太原市晋源区金胜镇金胜学校一模）如图，在中，，，以AC为直径作交斜边AB于点D，过点D作的切线交边BC于点E，延长ED与直径CA的延长线交于点F，，连接OE交于点G．则图中阴影部分的面积是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接OD，求出，可得∠DOF＝60°，证明△ODE≌△OCE，可得∠DOE＝∠COE＝60°，则S阴影＝S△DOF，问题得解．

【详解】解：连接OD，

∵FE是切于D，

∴∠ODF＝∠ODE＝90°，

∵AC为的直径且，

∴OD＝OA＝OC＝2，

∴，

∴∠DOF＝60°，

∴∠DOC＝120°，

在Rt△ODE和Rt△OCE中，

，

∴△ODE≌△OCE（HL），

∴∠DOE＝∠COE＝60°，

∴S阴影＝S△DOF＝，

故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，将求阴影部分的面积转化为求△DOF的面积是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．（2022·上海市建平实验中学九年级期中）已知，则锐角________．

【答案】

【分析】先由变形为，即可求解．

【详解】解：，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．

12．（2022·上海市民立中学九年级期中）已知点P在第二象限，且，与x轴的负半轴的夹角的余弦值是，则点P的坐标是___________．

【答案】

【分析】根据题意，画出图形，过点P作轴于A，根据余弦值可知，根据求出，再根据勾股定理求出，即可得到P点坐标．

【详解】解：如下图所示，过点P作轴于A

由题意可知：，

∴，

∵，

∴，，

∴在中，

∴，

∵点P在第二象限，

∴点P的坐标为

故答案为：．

【点睛】此题考查的是勾股定理的应用和求点的坐标，灵活运用所学知识求解是解题关键．

13．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为__．

【答案】

【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE．

【详解】解：∵，

∴，

在中，，，

∴，

则．

故答案为：．

【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．

14．（2022·安徽安庆·九年级期末）中，，，，则____．

【答案】6.5

【分析】直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值．

【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=，

∴，

∴AB=6.5．

故答案为6.5．

【点睛】锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键．

15．（2022·山东济南·模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________．

【答案】

【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可．

【详解】解：过点作于，如图所示，

，

设，

，

，

，

，

；

故答案为：．

【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．

16．（2022·广东深圳·九年级期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为________．

【答案】

【分析】由三角形的三边关系可得当点P在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．

【详解】解：如图，连接，

在中，，

∴当点P在上时，的最小值为的长，

∵四边形是菱形，，，

∴，，，，

∴,

∴，

∴是等边三角形，

∵点E是的中点，

∴，

∵

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022·山东威海·九年级期中）计算

【答案】0

【分析】结合特殊角的三角函数值计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，及实数的混合计算，二次根式的性质，能够熟练的写出特殊角的三角函数值是解题关键．

18．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，在中，，点在边上，，，求的值．

【答案】

【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，继而可得和，根据勾股定理可得，最后根据正弦定义即可求解．

【详解】解：如图，过点作于点，

，，

,

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，正切和正弦以及勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握正切和正弦定义．

19．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，在四边形ABCD中，，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若tan∠OAB=，BD=2，求CE的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；

（2）根据菱形的性质解答即可．

【详解】（1），

，

平分，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

又，

四边形是菱形；

（2）四边形是菱形，

，，

，

，

，

，

，

，

．

．

【点睛】此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

20．（2022·江苏苏州·九年级期中）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

(1)求证：．

(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得的长为50cm，铁环的半径为25cm，推杆的长为75cm，求．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）如图，过点B作，分别交于点E，交于点F．首先证明，；再根据B是切点得出．然后证明出结论；

（2）设，则，证明，可得两三角形相似比为，用含x的式子表示出，再在中根据勾股定理计算出x值，从而计算的值，即可解答问题．

【详解】（1）如图，过点B作，分别交于点E，交于点F．

∵与相切于点C，

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴

∵为的切线，

∴

∴

∴

∴

（2）∵

∴四边形为矩形，

设，则，

∵由（1）得

∴

∴，即

∴

在中，∵

∴

整理，得：

解得：（不符合题意，舍去），

∴

∴．

【点睛】本题重点考查切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．

21．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级期中）在菱形中，P、Q分别是边的中点，连接．

(1)如图（1），求证：；

(2)如图（2），连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有余弦值为的角．

【答案】(1)见解析；

(2)．

【分析】（1）根据菱形的性质可得，从而得到，可证得，即可求证；

（2）连接，根据菱形的性质可得均是等边三角形，，从而得到，再证得是等边三角形，从而得到，即可．

【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，

∴，

∵P、Q分别是边的中点，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如图，连接，

∵四边形是菱形，

∴，

∴均是等边三角形，，

∵P、Q分别是边的中点，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴所有余弦值为的角有．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

22．（2022·四川·绵阳中学英才学校二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，轴于点，点是线段的中点，，，点的坐标为．

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式．

(2)点是直线下方反比例函数图象上一点，且，求点的坐标．

【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为

(2)点的坐标为或

【分析】（1）先根据余弦求，进而求出，再根据勾股定理求出，得出点A的坐标，运用待定系数法求反比例函数解析式，然后求B的坐标，最后运用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）过作的平行线，设直线的解析式为，根据待定系数法求直线的解析式，然后联立方程组求解即可．

【详解】（1）解：∵轴于点，，

∴，

解得：，

∵点是线段的中点，

∴

∴，

∴，

∵反比例函数的图象过点，

∴，

∴反比例函数解析式为：，

将的坐标代入得：

解得：，

∴，

将代入，

得：，解得：．

∴一次函数解析式为：；

（2）解：如图，过作的平行线，交双曲线于点．此时，

设直线的解析式为，

把代入，得：，

解得：，

∴直线的解析式为．

解方程组，得：，或，

∴点的坐标为或．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求函数的解析式，锐角三角函数定义，三角形的面积，正确得出A点坐标是解题关键．利用了数形结合思想．

23．（2022·上海市省吾中学九年级期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E．

(1)点F在延长线上，，

①如图1，若平分，，求的值；

②如图2，若E是的中点，，求的值；

(2)如图3，若，，，求的长．

【答案】(1)①②

(2)

【分析】（1）①延长，交于点G，根据，点D在的平分线上，得到，结合，平分，得到，，得到，判定，从而得到．

②如图时间到了,申请延时,无人回复,请老师审核时,单独联系吧谢谢

（2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，证明，由此得到，，根据已知，求得，再利用勾股定理计算即可．

【详解】（1）①延长，交于点G，

因为，点D在的平分线上，

所以，

因为，平分，

所以，，

所以，

所以，

所以．

②如图

（2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，

因为，点D在的平分线上，

所以，

所以，

所以，，

因为，，

所以．

设，则，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

解得（舍去），

所以，

根据勾股定理，得，

所以，

解得（舍去），

所以．

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，三角形相似和平行线分线段成比例定理是解题的关键．