人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式备课ppt课件

专题复习   二次根式

一、单选题

1．（2022·湖南双峰·八年级期末）已知、均为有理数，且，则、的值为（       ）

A．2，-5 B．5，2 C．5，-2 D．-2，5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方公式和二次根式乘法的性质，计算得，结合有理数的性质分析，即可得到答案．

【详解】

∵、均为有理数，且

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查了乘法公式、二次根式运算、有理数的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、二次根式乘法的性质，从而完成求解．

2．（2022·广东东莞·八年级期末）若式子有意义，则x的取值范围为（       ）

A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．

【详解】

解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，

解得：x≥2，且x≠3，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．

3．（2022·江苏·沭阳县怀文中学八年级期末）若成立，则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．任意实数

【答案】A

【解析】

【分析】

根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．

【详解】

∵

∴x-2≤0

∴

故选A．

【点睛】

此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．

4．（2021·山东胶州·八年级期中）在平面直角坐标系内有一点P（x，y），已知x，y满足＋|3y＋5|＝0，则点P所在的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件以及绝对值非负性求出的值，然后判断点P（x，y）所在的象限即可．

【详解】

解：∵＋|3y＋5|＝0，

∴，，

解得：，，

∴在第四象限，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，根据点的坐标判断其所在的象限，根据题意得出点的坐标是解本题的关键．

5．（2022·浙江·九年级专题练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（　　）

A．2a B．2b C．﹣2a D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据a、b在数轴上的位置，即可推出，，，由此进行求解即可．

【详解】

解：由数轴得：，，

∵，

∴

∴，，，

∴，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了根据数轴判定式子的符号，无理数故值，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

6．（2021·江苏宿迁·七年级期中）数轴上：原点左边有一点M，点M对应着数m，有如下说法：①表示的数一定是正数；②若，则；③在、、、中，最大的数是或；④式子的最小值为2．其中正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据点M在数轴上的位置得到m为负数，判断﹣m，，m2，m3的符号，求出当|m|＝8时m的值，从而对各个选项进行判断，得出答案即可．

【详解】

解：数轴上点M对应着数m，在原点左边，因此m＜0，

∴﹣m＞0，即﹣m是正数，因此①正确；

若|m|＝8，则m＝±8；又m＜0，因此m＝﹣8，故②正确；

∵m＜0，

∵﹣m＞0，，m2＞0，m3＜0，

当﹣1＜m＜0时，﹣m＞m2，当m≤﹣1时，﹣m≤m2，因此③正确；

∵m＜0，

∴，

∴，

∴，因此④正确；

故选：D．

【点睛】

考查数轴表示数的意义，相反数、不等式的意义，二次根式的乘法运算等知识，理解点M对应着数m的取值，得出相应代数式的符号或值是解决问题的前提．

二、填空题

7．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级期末）已知，则yx＝_____．

【答案】16

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出x、y，根据有理数的乘方法则求出yx即可．

【详解】

解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，

解得，x=2，

则y=-4，

∴yx=（-4）2=16，

故答案为：16．

【点睛】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

8．（2021·天津·耀华中学七年级期中）若实数a，b，c满足关系式，则c＝______．

【答案】404

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．

【详解】

解：根据题意，得，

解得a＝199，

则，

所以，

解得，

故答案为：404．

【点睛】

本题考查二次根式的意义和性质，熟知相关知识点是解题的关键．

9．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 ___．

【答案】

【解析】

【分析】

由同类二次根式的定义可得再解方程即可.

【详解】

解： 最简二次根式3与是同类二次根式，

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键.

10．（2020·江苏相城·八年级期中）△ABC的三边分别为2、x、5，化简的结果为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据三角形的三边的关系求得x的范围，然后根据二次根式的性质进行化简．

【详解】

解：∵2、x、5是三角形的三边，

∴3＜x＜7，

∴x-3＞0，x-7＜0，

∴原式=x-3+（7-x）=4．

故答案是：4．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键．

11．（2021·江苏江苏·九年级）已知，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先将所求式子变形为只含有a+b和ab的形式，再计算出a+b和ab，代入计算即可．

【详解】

解：

=

=

=

=

∵，

∴，，

∴原式==，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次的化简求值，先根据已知条件得到两个字母的和与积的值，然后变形所求的代数式，用这两个字母的和与积来表示，再运用整体代入的方法求代数式的值．

12．（2021·四川·成都七中万达学校通锦校区九年级期中）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：a⊗b＝a+b，比如1⊗2＝1+×2＝．若x⊗（4⊗8）＝10，则x的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据定义新运算，先计算出4⊗8，然后根据定义新运算，列出方程，即可求出x的值即可．

【详解】

解：由题可知：4⊗，

∴x⊗，

即，

∴．

故答案为：．

【点睛】

此题考查的是定义新运算，二次根式混合运算，一元一次方程的解法，掌握定义新运算的公式和运算顺序是解决此题的关键．

三、解答题

13．（2021·天津·七年级期中）计算题：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）应用二次根式的加减法则，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．进行计算即可得出答案；

（2）先去括号，合并同类二次根式即可得出答案．

(1)

解：原式

；

(2)

（2）原式

．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算法则进行计算是解决本题的关键．

14．（2020·江苏相城·八年级期中）计算或化简

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先算乘方，化简立方根，算术平方根，然后再计算即可得到答案；

（2）先将二次根式分母有理化，然后合并同类二次根式．

(1)

=4+3-10

=-3；

(2)

=4

【点睛】

本题考查实数的混合运算，二次根式的分母有理化计算，理解算术平方根和立方根的概念，掌握利用平方差公式进行二次根式分母有理化的计算是解题关键．

15．（2022·湖南双峰·八年级期末）（1）计算：．

（2）先化简，再求值：，其中是整数，且．

【答案】（1）；（2），当时.

【解析】

【分析】

（1）先计算乘方和化简绝对值，再去括号，再乘除，再加减；

（2）先将分式化简，将化简过程中出现的分式单独写出来，因为分式的分母不能为零，所以这些分式的分母不能为0，结合a的取值范围可以算出a的值代入求解即可．

【详解】

（1）

；

（2）将原式化简得：，

此题中出现的分式有：和，，

又∵为使分式有意义，

∴且，，

∴不能取1、0、，

则在范围内，整数只能取-1；

∴当时.

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式有意义的条件，能够熟练的将分式化简是解决本题的关键．

16．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）计算：

(1)；

(2)；

(3)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以多项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案；

（2）先按照多项式乘以多项式的法则进行乘法运算，再把后面的分子分解因式，再约分，再计算乘法，最后合并同类项即可；

（3）先求解 再代入代数式，进行二次根式的除法运算，再合并即可.

(1)

解：

(2)

解：

(3)

解： ，

【点睛】

本题考查的是积的乘方运算，单项式的乘法与除法运算，分式的化简，二次根式的运算，掌握以上运算的运算法则是解本题的关键.

17．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3         2，1+         2，5+5         2．

（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．

（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要         m．

【答案】（1）>，>，<；（2）m+n2，见解析；（3）40

【解析】

【分析】

（1）分别计算两式即可比较大小；

（2）根据完全平方公式计算得到结论；

（3）设花圃平行于墙的一边长为a米，垂直于墙的一边长为b米，则a>0，b>0，S=ab=200，

根据（2）结论可得：a+2b，代入计算即可得到答案．

【详解】

解：（1）4+3=7=，2=，

∴4+3>2；

∵，

∴；

∵，

∴，

故答案为：>，>，<；

（2）m+n2，理由如下：

当m0，n0时，

∵，

∴，

∴，

∴m+n2；

（3）设花圃平行于墙的一边长为a米，垂直于墙的一边长为b米，则a>0，b>0，S=ab=200，

根据（2）结论可得：a+2b=，

∴篱笆至少需要40米．

故答案为：40．

【点睛】

此题考查了二次根式的计算法则，完全平方公式，利用所得结论解决问题，正确掌握完全平方公式进行（2）的计算是解题的关键．

18．（2022·湖南·长沙市北雅中学八年级期末）阅读下面材料并解决有关问题：

（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数a，b，由于，所以，即，所以，并且当时，；

（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；

(1)比较大小：        2x（其中），        2（其中），（填“≥”、“≤”或“＝”）；

(2)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是        （填序号）；

(3)已知：，求代数式的值；

(4)当x为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）

【答案】(1)≥；≥

(2)①②④

(3)

(4)时，有最小值3.

【解析】

【分析】

（1）由题意依据由于，所以，即，进行分析计算即可；

（2）根据题意利用分子的次数大于或等于分母的次数的分式称为假分式进行分析判断即可；

（3）由题意变形可得，继而代入进行运算即可；

（4）根据题意将假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，进而依据二次根式的双重非负性得出为非负数以此进行分析即可得出答案.

(1)

解：由于，其中，所以，即，

由于，其中，所以，即，

故答案为：≥；≥.

(2)

解：∵分子分母的次数都为1，、分子的次数大于分母的次数，

∴①②④属于假分式，

故答案为：①②④.

(3)

解：由可得，

所以.

(4)

解：由题意可得，

∵，

∴为非负数，即，

∴，此时，解得，

∴时，有最小值3.

【点睛】

本题属于材料阅读题，考查二次根式的性质和完全平方差公式以及代数式求值，熟练掌握二次根式的双重非负性以及完全平方差的非负性和分式的性质是解题的关键.