第二章 2.1课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是(　　)

A．b2＋1>3b－a   B．b2＋1≥3b－a

C．b2＋1<3b－a   D．b2＋1≤3b－a

答案　A

解析　b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．又a>b，∴a－b>0.又(b－1)2≥0，

∴(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.

2．若<<0(a，b∈R)，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．a<b   B．a＋b>ab

C．|a|>|b|   D．ab<b2

答案　D

解析　∵<<0，∴b<a<0，故A不对；又∵a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab，故B不对；由b<a<0知|a|<|b|，故C不对；D中ab－b2＝b(a－b)<0，即ab<b2.故选D.

3．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是(　　)

A．ac2>bc2   B．a－d>b－c

C．ad<bd   D．a2>b2

答案　B

解析　对于A，若c＝0，则A不成立；对于B，正确．对于C，若d为正数，则C不正确；对于D，若a，b为负数，则D不正确，综上选B.

4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)

A．－2<α－β<0   B．－2<α－β<－1

C．－1<α－β<0   D．－1<α－β<1

答案　A

解析　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0.

5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)

A．ax＋by＋cz   B．az＋by＋cx

C．ay＋bz＋cx   D．ay＋bx＋cz

答案　B

解析　解法一：因为x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.

综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.

解法二(特殊值法)：若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.

二、填空题

6．有以下四个条件：

①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.

其中能使<成立的有________．

答案　①②④

解析　①因为b>0>a，所以>0>；

②因为0>a>b，所以<<0；

③因为a>0>b，所以>0>；

④因为a>b>0，所以>>0.

7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________．

答案　27＜x－y＜56　＜＜3

解析　∵28＜y＜33，

∴－33＜－y＜－28，＜＜.

又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜，

即＜＜3.

8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件为________．

答案　ab≠1或a≠－2

解析　∵x＞y，

∴x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a

＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，

∴ab－1≠0或a＋2≠0，

即ab≠1或a≠－2.

三、解答题

9．设a>b>0，试比较与的大小．

解　解法一(作差法)：

－

＝

＝

＝.

∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.

∴>0，

∴>.

解法二(作商法)：

∵a>b>0，∴>0，>0.

∴＝＝＝1＋>1.

∴>.

10．甲、乙两位采购员同去一家销售公司各自买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1000 kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？

解　设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b，则甲采购员两次购粮的平均单价为＝(元/kg)，乙采购员两次购粮的平均单价为＝(元/kg)．

∵－＝＝，

又∵a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，

∴＞0，即＞.

∴乙采购员的购粮方式更合算．

B级：“四能”提升训练

1．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，求的取值范围．

解　由已知及三角形的三边关系得

⇒⇒

两式相加得0<2×<4，

所以的取值范围为(0,2)．

2．已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，求2x－3y的取值范围．

解　设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，

∴解得

∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．

∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，

∴－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<.

∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8，

即3<2x－3y<8.