第一章 章末复习 试卷

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1．由集合的混合运算结果求变量

在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性．

2．集合与方程的综合

集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题．

3．与集合有关的新定义问题

(1)定义新集合要与集合定义类比解决．

(2)定义新关系要与集合间关系类比解决．

(3)定义新运算要与集合间的运算类比解决．

4．充分条件与必要条件的理解及判定

(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：

①确定条件是什么，结论是什么；

②把复杂的条件(结论)化简；

③尝试从条件推结论，从结论推条件；

④确定是什么条件．

(2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题成立就是证明条件的充分性，证明逆命题成立就是证明条件的必要性．

5．全称量词命题与存在量词命题

(1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．

有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．

(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

(3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可．

(4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题．

学科思想培优

一、分类讨论思想

解分类讨论问题的实质是将“整体”化为“部分”来解决，化为“部分”后，增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．本章的分类讨论思想主要体现在空集的特殊性上．

[典例1]　若集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3，n∈R}，且B⊆A，求n的取值范围．

解　当B＝∅时，n＋1＞2n－3，解得n＜4.此时B⊆A.

当B≠∅时，要使B⊆A，必须满足

解得4≤n≤5.

综上所述，n的取值范围为{n|n≤5}．

二、数形结合思想

在解答集合的运算问题时，我们往往根据集合中元素的不同属性采用不同的图形求解，若给定的集合是不等式的解集，常用数轴来求解；若给定的集合是有限数集，一般采用Venn图来求解．

1．运用数轴

[典例2]　已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a∈R，a＜1}，B⊆A，求实数a的取值范围．

解　∵a＜1，∴2a＜a＋1，∴B≠∅.

在数轴上表示集合A，B，如图：

由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1，

即a＜－2或a≥.

又a＜1，

∴实数a的取值范围是.

2．运用Venn图

[典例3]　已知全集I＝{x|0＜x＜10，x∈N＋}，A∩B＝{3}，A∩(∁IB)＝{1,5,7}，(∁IA)∩(∁IB)＝{9}，求集合A和B.

解　由全集I＝{x|0＜x＜10，x∈N＋}，得I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．

用Venn图表示A∩B＝{3}，A∩(∁IB)＝{1,5,7}，(∁IA)∩(∁IB)＝{9}，如图，得集合A＝{1,3,5,7}，集合B＝{2,3,4,6,8}．

三、定义法

[典例4]　已知p：－2＜m＜0,0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，试判断p是q的什么条件．

解　若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，则Δ＝m2－4n>0，即m2>4n.

设方程的两根为x1，x2，则0<x1<1,0<x2<1，且x1≠x2，

有0<x1＋x2<2，且0<x1x2<1.

根据根与系数的关系，有

解得

所以－2<m<0,0<n<1，且m2>4n，即有q⇒p.

反之，取m＝－，n＝，

那么方程变为x2－x＋＝0，Δ＝－4×<0.

此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pq.

综上所述，p是q的必要不充分条件．

四、反证法

利用量词命题与量词命题的否定的真假性相反的性质，达到证明的目的．

[典例5]　设三个正实数a，b，c满足条件＋＋＝2，求证：a，b，c中至少有两个数不小于1.

证明　假设a，b，c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：

①a，b，c三数均小于1，即0<a<1,0<b<1,0<c<1，则>1，>1，>1.所以＋＋>3，与已知条件矛盾；

②a，b，c中有两个数小于1，不妨设0<a<1,0<b<1，而c≥1，则>1，>1.所以＋＋>2＋>2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．

所以a，b，c中至少有两个数不小于1.