第二章 2.2 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)

A．x＝3   B．x＝－3

C．x＝5   D．x＝－5

答案　C

解析　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．

2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．a2＋b2＞2ab   B．a＋b≥2

C.＋＞   D.＋≥2

答案　D

解析　根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成立；因为ab＞0，所以＋≥2＝2，故D成立．

3．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是(　　)

A.≥8   B.＋≥4

C.≥   D.≤

答案　B

解析　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤，∴ab≤.∴≥4.故A不正确，C也不正确．

对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2.故D不正确．

对于选项B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故选B.

4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8, 则x＋2y的最小值是(　　)

A．3  B．4  C.  D.

答案　B

解析　解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0.∴0<x<8.∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2 －2＝4.

当且仅当x＋1＝，即x＝2时，取“＝”号，

此时x＝2，y＝1.

解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9，

又x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝2y＋1时“＝”成立，

又x＋2y＋2xy＝8，∴x＝2，y＝1时，取“＝”．

5．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)

A．0  B.  C．2  D.

答案　C

解析　＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.

二、填空题

6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．

答案　≤

解析　∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.

∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．

7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．

答案　

解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，

∴＋＝(a＋2b)×＝

≥＋ ＝，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，

∴＋的最小值为.

故答案为.

8．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．

答案　16

解析　如图所示，连接OC，设OB＝x(0<x<4)，则BC＝＝，AB＝2OB＝2x，所以，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝2x＝2≤2＝16.当且仅当16－x2＝x2，即x＝2时，等号成立．所以Smax＝16.

三、解答题

9．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤ .

证明　∵x＞0，y＞0，z＞0，

∴x＋y≥2，x＋z≥2，y＋z≥2，

∴2(x＋y＋z)≥2(＋＋)．

∵x＋y＋z＝1，∴＋＋≤1成立．

∵x＋y＋z＋2(＋＋)≤3，

即(＋＋)2≤3.

∴＋＋≤.

当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．

10．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？

解　设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.

∴y＝240x＋×40(0<x≤48，x∈Z)．

∴y＝240≥240×2＝3840，

当且仅当x＝，即x＝8时取等号．故每人最少应交＝80(元)．

B级：“四能”提升训练

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：

(1)＋＋≥8；

(2)≥9.

证明　(1)＋＋＝＋＋＝2，

∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

∴＋＋≥8.

(2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋，

同理，1＋＝2＋，

∴

＝

＝5＋2≥5＋4＝9.

∴≥9.

证法二：＝1＋＋＋.

由(1)知，＋＋≥8，

故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．

2．某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为z(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)

(1)求z的函数解析式；

(2)求z的最大值，以及z取得最大值时x的值．

解　(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为元，每件产品的利润为元，年销售量为万件，

故z＝－x＝198.5－－.

(2)z＝198.5－－≤198.5－2× ＝178.5，

当且仅当＝，即x＝40时取到等号，即z的最大值是178.5，当z取得最大值时x的值为40.