初中数学人教版八年级上册本节综合课时作业

专题11.3 多边形及其内角和（能力提升）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）

一、选择题．

1．如图所示的图形中，属于多边形的有

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．下列图形中具有稳定性的是（    ）

A．长方形 B．五边形 C．三角形 D．平行四边形

3．若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（   ）

A．6 B．8 C．10 D．12

4．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）

A．2001 B．2005 C．2004 D．2006

5．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（    ）

A． B． C． D．

6．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

7．如图，若干全等正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（    ）个五边形．

A．9 B．8 C．7 D．6

8．如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于（    ）

A．90° B．135° C．270° D．315°

9．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ）

A． B． C． D．

10．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°

二、填空题．

11．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形ABCD的面积是9，则平行四边形的面积是_________

12．如图，x＝______．

13．如图所示，=______度．

14．我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则________°.

15．如图，将透明直尺叠放在正五边形ABCDE上，若正五边形恰好有一个顶点E在直尺的边上，且直尺一边与DE垂直，与另一边AB交于点F，则∠AFE等于______度．

16．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是_____．

17．如图，在正六边形的内部作正五边形．

（1）________°；

（2）连接并延长，交于点，则________°．

18．如图，图①是四边形纸条ABCD，其中，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为 ___________．

三、解答题．

19．一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数．

20．求出下列图形中的值．

21．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠C=75°，∠ADE为四边形ABCD的一个外角，且∠ADE＝125°,试求出∠B的度数.

22．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F．

（1）若∠EAD＝60°，求∠DFE的度数；

（2）若∠AEB＝∠CEF，AE平分∠BAD，试说明：∠B＝∠C．

23．一个多边形的每个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．

24．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．

（1）猜想并说明∠1＋∠2与∠A、∠C的数量关系；

（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O ．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；

（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系                   ．

参考答案：

1．A

【详解】解：根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个符合题意．

故选A．

2．C

【分析】根据三角形具有稳定性解答．

【详解】解：长方形，五边形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握在所有的图形里，只有三角形具有稳定性，也是三角形的特性．

3．B

【分析】根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出答案．

【详解】解：因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，

所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，

所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．

故选：B．

【点睛】本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多边形的基本知识是解题的关键．

4．C

【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解．

【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，

则这个多边形的边数为2003+1＝2004．

故选：C．

【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．

5．C

【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．

【详解】解：正多边形的边数为：，

则这个多边形是正八边形，

所以该正多边形的内角和为．

故选：．

【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握内角和公式：且为整数）．

6．B

【分析】首先根据对顶角相等得到∠β=∠DGB，则∠α+∠β=∠α+∠DGB，在四边形DHBG中根据四边形内角和为360°，分别求出∠D、∠B的度数，最后进行计算即可得到答案．

【详解】解：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°

∴∠B=∠C-∠A=45°

在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°

又∵∠β=∠DGB

∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°

∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°

故选：B

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，四边形的内角和，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．

7．C

【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．

【详解】解：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，

所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，

所以正五边形的每一个外角为180°-108°=72°

如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=180°-2×72°=36°，

360°÷36°=10，

∵已经有3个五边形，

∴10-3=7，

即完成这一圆环还需7个五边形．

故选：C

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．

8．C

【分析】如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，再根据邻补角的定义即可得．

【详解】如图，由三角形的外角性质得：，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质、邻补角，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．

9．D

【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．

【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，

∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，

∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，

故选D．

【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．

10．A

【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．

【详解】解：如图，

∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，

∴六边形花环为正六边形，

∴∠ABD==120°，

而∠CBD=∠BAC=90°，

∴∠ABC=120°-90°=30°．

故选：A．

【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．

11．

【分析】过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据矩形的面积公式、平行四边形的面积公式即可得．

【详解】解：如图，过点作于点，

由题意得：，

，

，

又矩形的面积是9，

，

平行四边形的面积是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的面积与平行四边形的面积、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题关键．

12．120

【分析】根据多边形的内角和，可得该五边形的内角和等于540°，可得到关于x的方程，即可求解．

【详解】解：根据题意得：该五边形的内角和等于，

∴，

解得：．

故答案为：120.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和问题，一元一次方程的应用，熟练掌握多边形的内角和等于，其中n为多边形的边数是解题的关键．

13．360

【分析】根据图示这几个角是一个四边形的四个内角，故．

【详解】解：∵，，

．

故答案为：360．

【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，正确掌握三角形外角的性质是解题关键．

14．18

【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得内角的度数，进而求解．

【详解】正五边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角等于90°，

，

故答案为：18．

【点睛】本题考查了正五边形和正方形的性质，多边形的内角和定理，即，熟练掌握知识点是解题的关键．

15．54

【分析】先解出正五边形的内角，再解出 ，最后利用三角形内角和即可求出．

【详解】解：正五边形的内角，即，

由题可知，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查正多边形的内角，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

16．84°

【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．

【详解】解：如图，

由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，

则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，

所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°

故答案为84°．

【点睛】本题考查多边形内角与外角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

17．     12     72

【分析】（1）先求出正六边形与正五边形的每个内角，然后结合图形求解即可；

（2）由等边对等角得出，结合图形利用四边形内角和求解即可．

【详解】（1）∵正六边形中，

∴，

∵正五边形中，

∴，

∴；

（2）∵，，

∴，

由（1）的方法可得，

∴，

∴.

故答案为：①12；②72．

【点睛】题目主要考查正多边形内角和及等边对等角的性质，熟练掌握正多边形内角和定理是解题关键．

18．108°##108度

【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，先求出图②中∠FMB的度数，再根据折叠的性质得到图③中∠BMF和∠EFM的度数，根据平行线的性质即可求出图③中∠CFM的度数，最后用∠CFM-∠EFM即可．

【详解】解：第一次折叠后，

∵∠B′EF＝∠BEF，∠FEM＝24°，

∴∠B′EM＝2∠FEM＝48°，

∵，

∴∠B′EM＝∠FMB＝48°，∠B′EF＝∠EFM＝24°，

第二次折叠后，

∵，

∴∠BMF＝∠FMB″＝48°，∠BMF+∠MFC＝180°，

∴∠MFC＝180°﹣48°＝132°，

∵∠MFC＝∠EFM+EFC，

∴∠EFC＝132°﹣24°＝108°．

故答案为：108°．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．

19．多边形的边数为7

【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1260°，列出方程求解即可．

【详解】解：设多边形的边数是，由题意得，

，

解得：．

答：多边形的边数为7．

【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练应用多边形的内角和定理是解题的关键．

20．（1）60；（2）100．

【分析】（1）根据三角形的外角性质求解即可；

（2）根据四边形内角和是360°求解即可．

【详解】解：（1）由三角形的外角性质得，x+（x+10）＝x+70，

即2x+10＝x+70，

解得，x＝60．

（2）根据四边形的内角和为360°得，

x+（x+10）+90+60＝360，

解得，x＝100．

【点睛】本题考查了多边形的内角和，根据题意列出正确的方程是解题的关键．

21．150°

【分析】先根据邻补角的定义求出∠ADC的度数，再根据四边形的内角和求出∠B的度数．

【详解】解：∵∠ADE为四边形ABCD的一个外角，且∠ADE＝125°，

∴∠ADC=180°-∠ADE＝55°，

∵∠A+∠B+∠C+∠ADE＝360°，

∴∠B=360°-∠A-∠C-∠ADE＝360°-80°-75°-55°=150°．

【点睛】此题考查了多边形外角定义，多边形的内角和，熟记多边形的内角和进行计算是解题的关键．

22．（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）根据四边形的内角和是求解即可；

（2）根据四边形的内角和是得到∠EAD+∠DFE＝，根据邻补角的定义可求出∠EAD＝∠CFE，再根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CFE，最后根据三角形的内角和是180°，即可求解．

【详解】（1）解：∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝，

四边形AEFD的内角和是，

∵∠D＝，∠EAD＝，

∴∠DFE＝﹣∠D﹣∠EAD﹣∠AEF＝；

（2）证明：∵四边形AEFD的内角和是，∠AEF＝，∠D＝，

∴∠EAD+∠DFE＝，

∵∠DFE+∠CFE＝，

∴∠EAD＝∠CFE，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠EAD，

∴∠BAE＝∠CFE，

∵∠B+∠BAE+∠AEB＝，∠C+∠CFE+∠CEF＝，∠AEB＝∠CEF，

∴∠B＝∠C．

【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，熟记三角形的内角和等于 与四边形的内角和等于是解题的关键．

23．这个多边形的边数为10，这个多边形的内角和为1440°

【分析】结合多边形的内角与相邻外角的关系构建方程求出每个外角，根据多边形外角和为360°即可得边数，利用多边形内角和公式即可求出内角和.

【详解】设外角为a，则内角为4a，

∴a+4a =180°，

解得：a=36°，

∴边数：=10，

内角和：.

∴这个多边形的边数为10，这个多边形的内角和为1440°.

【点睛】本题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与相邻外角互补和外角和的特征．

24．（1） ；（2）130°；（3）

【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明与、的数量关系；

（2）结合（1）的结论，根据与的平分线．，，即可求的度数；

（3）结合（1）的结论，根据、分别是四边形外角、的角平分线．进而可以写出、与的的数量关系．

【详解】解：（1）猜想：，

，

又，

；

（2），，

，

又、分别平分与，

，，

，

；

（3）、分别是四边形外角、的角平分线．

，，

由（1）可知：

，

，

，

．

答：、与的的数量关系为．

【点睛】本题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角．