人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示备课课件ppt

3.1.2函数的表示法（第1课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·全国·高一单元测试）在下列图形中，能表示函数关系的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数关系与任意垂直于轴的直线最多有1个交点判断即可.

【详解】由题意，ABC与垂直于轴的直线可能有多于1个交点，D与任意垂直于轴的直线最多有1个交点可得D正确.

故选：D

2．（2021·陕西·咸阳市实验中学高一阶段练习）第十四届全运会游泳比赛在西安奥体中心游泳跳水馆举行，标准泳池的长为50米，宽为21米，在女子100米自由泳比赛中，能表示选手速度v随时间t变化的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据运动员从开始加速、匀速，减速为，再加速，即可得正确选项.

【详解】运动员初始速度为，从开始加速，排除选项C，

由于标准泳池的长为50米，

运动员在游到50米之前先加速，匀速，再迅速减速为，然后加速游回去，

故选项A、B不正确，选项D正确；

故选：D.

3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（       ）

A．3 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据图象可得，进而根据表格得.

【详解】由题图可知，由题表可知，故．

故选:D．

4．（2022·全国·高一课时练习）若函数和分别由下表给出，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义计算．

【详解】当x＝1时，；当x＝2时，；当x＝3时，．

综上，不等式的解集为．

故选：C．

5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.

【详解】解：方法一（配凑法）∵，

∴.

方法二（换元法）令，则，∴，

∴.

故选：A

二、多选题

6．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于选项A、B、D，代入化简判断即可；对于选项C，分类讨论再化简判断即可．

【详解】对于选项A，

f（）x，﹣f（x）x，故满足“倒负”变换；

对于选项B，

f（）x，﹣f（x）x，故不满足“倒负”变换；

对于选项C，

当0＜x＜1时，f（）＝﹣x，﹣f（x）＝﹣x，

当x＝1时，f（1）＝0，成立，

当x＞1时，f（），﹣f（x），

故满足“倒负”变换；

对于选项D，

f（），﹣f（x），故不满足“倒负”变换；

故选：AC．

7．（2022·全国·高一）下列各图中，可能是函数图象的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用函数的概念选出正确答案.

【详解】B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．

故选：ACD．

8．（2022·全国·高一课时练习）下列各图中，不可表示函数的图象的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】函数图像是函数的一种表示方法，根据函数的定义，可判断各图像是否可以表示函数.

【详解】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x，都有唯一的函数值y与它对应，因此，只有选项D正确，选项ABC都错误.

故选：ABC

9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（       ）

A． B．

C．函数的定义域是 D．函数的值域是

【答案】AD

【分析】根据图像分析各选项即可.

【详解】选项A：由图像可得，所以，A正确；

选项B：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出的确定值，B错误；

选项C：由图像可得函数的定义域为，C错误；

选项D：由图像可得函数的值域为，D正确.

故选：AD.

三、解答题

10．（2021·全国·高一专题练习）某种笔记本每个5元，买x（x∈{1，2，3，4}）个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象.

【答案】，图象答案见解析

【分析】根据已知条件求得函数解析式，并画出图象

【详解】依题意：，

图象为：

11．（2021·全国·高一专题练习）某问答游戏的规则是：共5道选择“题”，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法､图象法､解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系.

【答案】列表、图象见解析，解析法(x∈{0，1，2，3，4，5}).

【分析】根据题设描述，应用列表法每个x对应的y值，再在直角坐标系中描点得到图象，进而写出函数的解析式及定义域.

【详解】该函数关系用列表表示为：

该函数关系用图象表示，如图所示

该函数关系用解析表示为（x∈{0，1，2，3，4，5}）.

12．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象在第二象限交于点，过点A作轴，垂足为D，AD＝CD．

(1)求一次函数的表达式；

(2)已知点满足CE＝CA，求a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点A在反比例函数图象上可得m，然后结合图形求点C坐标，再由点A、C坐标代入一次函数可解；

（2）由勾股定理求AC，然后讨论点E位置可得.

（1）∵点在反比例函数的图象上，

∴，∴．

∵轴，∴AD＝2，OD＝1，∴CD＝AD＝2，

∴OC＝CD－OD＝1，∴．

把点，代入中，得，解得，

∴一次函数的表达式为．

（2）在Rt△ADC中，，∴，

当点E在点C的左侧时，，当点E在点C的右侧时，，

∴a的值为．

13．（2022·湖南·高一课时练习）已知圆的直径为4，将该圆的内接矩形（四个点都在圆周上）的面积表示为它的一边的长的函数，并求出其定义域．

【答案】，定义域：

【分析】求出矩形另一边长后可得面积，小于直径可得定义域．

【详解】由题意，

，

显然小于直径，所以，即定义域为．

14．（2022·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象：

(1)；

(2)．

【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可；

（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.

（1）因为函数，画出其图象如图所示．

（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示，

【能力提升】

一、单选题

1．（2022·全国·高一期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令班级人数的个位数字为，则（），结合题意讨论写出对应值，由取整函数的定义写出函数关系式.

【详解】设班级人数的个位数字为，令，（），

当时，，当时，，

综上，函数关系式为.

故选：B.

二、多选题

2．（2022·全国·高一课时练习）若函数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.

【详解】令，则，所以，则，故C错误；

，故A正确；，故B错误；

（且），故D正确．

故选：AD．

三、填空题

3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______.

【答案】

【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.

【详解】解：令，则，所以，

所以，

故的解析式为，其值域为.

故答案为：.

4．（2022·全国·高一课时练习）对任意的，若函数的大致图象如图所示（两侧的射线均平行于x轴），则满足条件的a，b的值可以分别为______.

【答案】1，（答案不唯一）

【分析】将化为分段函数，逐段与图像对应，根据图像在各段上的变化规律，进而确定解析式的各项系数，进而即得.

【详解】当时，，

由题图可知；

当时，

由题图可知；

当时，，

由题图又可得出①②两式，

由①和③两式可得，此时②和④均成立.

故可取，（注：答案不唯一，满足且即可）

故答案为：1，（答案不唯一）

四、解答题

5．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；

（2）已知，求函数的解析式；

（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.

（2）方程组法：已知关于与的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出.

（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.

【详解】（1）设，由得：c＝1.

由得：，

整理得，

∴，则，

∴.

（2）∵，①

∴，②

②×2－①得：，

∴.

（3）令，则，

∴.

6．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域与函数的定义域的交集为D，若对任意的，都有，则称函数是集合M的元素．

(1)判断函数和是不是集合M中的元素，并说明理由；

(2)设函数，且（k，b为常数，且k≠0），试求函数的解析式；

(3)已知 ，，试求实数a，b应满足的关系．

【答案】(1)不是集合M的元素，是集合M的元素，理由见解析

(2)或

(3)

【分析】（1）欲判断函数，是否是的元素，只须验证对任意，是否成立；

（2）根据函数，且，利用待定系数法可求、的值，即可求的解析式；

（3）根据定义，问题可转换为对一切定义域中恒成立，建立等式，从而可得：恒成立，即.

（1）因为对任意的，，所以．

因为对任意的，，所以，

故不是集合M的元素，是集合M的元素．

（2）因为函数，且，

所以，

所以，解得或，

所以或．

（3）

易知与的定义域的交集D由满足的x构成．

因为，所以对恒成立，所以，即对恒成立，故．

7．（2022·全国·高一课时练习）设是一次函数，且，求的解析式.

【答案】或

【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解.

【详解】设，则

,

所以，解得或，

所以函数的解析式为或.

8．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，求函数的解析式；

（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；

（3）已知，求函数的解析式；

（4）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．

【答案】（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【分析】（1）直接用换元法即可求得解析式.

（2）直接用待定系数法即可求得解析式.

（3）直接用构造方程组法即可求得解析式.

（4）直接用赋值法即可求得解析式.

【详解】（1）方法一 设，则，，即，所以，所以（）.

方法二 因为，所以．

（2）因为是二次函数，所以设．由，

得．

由，得，整理得，所以，所以

所以．

（3）因为，①             

所以，②

，得，

所以．

（4）方法一 令，则，所以．

方法二 令，则，即，令，则．

9．（2022·湖南·高一课时练习）学校要印刷一批资料，现要求纸面上､下各留4cm空白，左､右各留3cm空白，中间排版部分要求面积为.写出纸张面积与中间排版部分宽度间的函数解析式，确定其定义域，再计算出，，的值.

【答案】，，，

【分析】由纸张排版部分宽度为，排版部分要求面积为，可知排版部分长为，即可求得纸张面积的表达式，再代入求值即可.

【详解】因为纸张排版部分宽度，排版部分要求面积为

所以排版部分长为，纸张的宽为，纸张的长为

所以纸张面积

故