九年级数学下册同步培优【人教版】专题过关练习专题27.5相似三角形的应用

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专题27.5相似三角形的应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019秋•行唐县期末）在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（　　）A．13 B．12 C．2倍 D．3倍【分析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出CDAB=OFOE=618=13（相似三角形的对应高的比等于相似比），由此即可解决问题．【解析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，∴CDAB=OFOE=618=13（相似三角形的对应高的比等于相似比），∴CD=13AB，故选：A．2．（2018秋•丹江口市期末）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB离地面的距离为（　　）m．A．2.1 B．2 C．1.8 D．1.6【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出两三角形的相似比，再利用对应高的比也等于相似比进而得出答案．【解析】∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∵AB＝2m，CD＝6m，∴ABCD=13，∵点P到CD的距离是2.7m，设AB离地面的距离为：xm，∴2.7-x2.7=13，解得：x＝1.8，故选：C．3．（2019秋•桂林期末）某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树AB的高度时，发现树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．经测量，落在墙壁上影高CD为2米，落在地面上的影长BC为5米，同一时间测得8米高的国旗杆影长是4米，则树高为（　　）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在墙上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与国旗杆，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．【解析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．根据题意可得：48=5x，解得：x＝10．∴树高是2+10＝12（米），故选：C．4．（2019秋•潜山市期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m．A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．【解析】由相似三角形的性质，设树高x米，则520-5=1.7x，∴x＝5.1m．故选：B．5．（2019秋•北海期末）如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（　　）A．5m B．6m C．7m D．8m【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．【解析】设长臂端点升高x米，则0.5x=116，∴x＝8．故选：D．6．（2020•福田区校级模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（　　）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解析】在△DEF和△DBC中，∠D=∠D∠DEF=∠DCB，∴△DEF∽△DBC，∴DEEF=CDBC，即4020=8BC，解得：BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．故选：D．7．（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上AE处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（　　）米．A．6 B．8 C．9 D．10【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的CF．CA是CF的影子，然后加上AE加上树高即可．【解析】过点A作AF∥DE交CD于点F，则DF＝AE＝4m，△CAF∽△C′CD′．∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：3＝CF：6．∴CF＝4．∴DC＝4+4＝8（m）．即：这棵树高8m．故选：B．8．（2020•新都区模拟）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（　　）A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5米【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．【解析】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．∵AD∥OP，BC∥OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴ADOP=MAMO，BCOP=BNON，则xx+20=1.68，∴x＝5；yy+20-14=1.68，∴y＝1.5，∴x﹣y＝3.5，故变短了3.5米．故选：D．9．（2018秋•兴庆区校级期中）如图，某数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面上的影长为2.6m，请你帮她算一下，这棵树的高度是（　　）A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m【分析】在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得CBBD=10.8，则1.2BD=10.8，解得：BD＝0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6＝3.56（m），再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：x3.56=10.8，∴解得：x＝4.45，∴树高是4.45m．故选：C．10．（2020春•工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（　　）A．3m B．3.2m C．3.4m D．3.6m【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例，进而得出答案．【解析】连接AC，过点M作MF⊥PF，∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，∴21.5=PF1.8，解得：PF＝2.4，∴PQ＝PF+FQ＝PF+MN＝2.4+0.8＝3.2（m），故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为　8.8　m．【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．12．（2019秋•沈河区期末）小明测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m，则这棵树的高度是　3　m．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【解析】根据题意可得：△ADE∽△ABC，即AEAC=DEBC，设这棵树的高为x，则2x=1.21.8，解得x＝3m．即这棵树的高度为3米．故答案为：3．13．（2020秋•山阳区校级月考）如图，已知小华、小强的身高分别为1.8m，1.5m，路灯的高度为3.6m．小华、小强在同一盏路灯下的影长分别为2.3m，2m、则小华、小强之间的水平距离为　5.1cm　．【分析】作出图形，得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列式计算即可求解．【解析】如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴CDAB=DEBE，FNFB=MNAB，由题意得：DE＝2.3，CD＝1.8，FN＝2，MN＝1.5，AB＝3.6，即1.83.6=2.3BE，2FB=1.53.6，解得：BE＝4.6m，BF=245，∴BD＝BE﹣DE＝2.3，BN＝BF﹣FN=145=2.8，∴DN＝5.1（cm），答：小华、小强之间的水平距离为5.1cm，故答案为：5.1cm．14．（2020•岳麓区校级模拟）我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？译文：今要测量海岛上一座山峰AH的高度，在B处和D处竖立标杆BC和DE，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔1000步（1丈＝10尺，1步＝6尺），并且AH，CB和DE在同一平面内．从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰AH的高度是　1255步　．【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．【解析】由题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，∴∠AHF＝∠CBF，∵∠AFB＝∠CFB，∴△CBF∽△AHF，∴BCAH=BFHF，同理可得 DEHA=DGHG，∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，∴3HA=123HB+123，3HA=127HB+1127，解得HB＝30750，HA＝753丈＝1255步，故答案为：1255步．15．（2019秋•长清区期末）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为　13.5　米．【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【解析】∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CDAB=EDEB，即1.5AB=22+16，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.516．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　7　米．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴ACBD=AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC＝7（米），故答案为：7．17．（2020春•大丰区期中）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为　4.2　米．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，再根据同一时刻物高与影长成正比求出AE的长，进而可得出结论．【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴AEED=10.9，即AE2.7=10.9，解得：AE＝3m，∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．故答案为：4.2．18．（2019秋•萍乡期末）如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE＝3m，那么这棵树CD的高为　5.1　m．【分析】首先判定△ABE∽△CDE，再根据相似三角形的性质可得ABCD=EBDE，然后再代入数据计算即可．【解析】∵AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD，∴△ABE∽△C′DE，∵CD在水中的倒影为C′D，∴△ABE∽△C′DE，∴ABCD=EBDE，又∵AB＝1.7，BE＝3，BD＝12，∴1.7CD=312-3，∴CD＝5.1，故答案为：5.1．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2017秋•龙马潭区校级月考）小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ＝4m，BP＝5m．（1）小明距离路灯多远？（2）求路灯高度．【分析】（1）易得△QAB∽△QCD，那么可得ABCD=BQQD，同理可得ABEF=BPPF，根据CD＝EF，可得一个比例式，把相关数值代入可得所求数值；（2）根据（1）得到的比例式及数值，计算可得路灯高度．【解析】（1）设DB＝xm，∵AB∥CD，∴∠QBA＝∠QDC，∠QAB＝∠QCD，∴△QAB∽△QCD，ABCD=BQQD，同理可得：ABEF=BPPF，∵CD＝EF∴BQDQ=BPPF，∴4x+4=55+27-x∴x＝12，即小明距离路灯12m．（2）由ABCD=BQQD得1.5DC=412+4，∴CD＝6即路灯高6m．20．（2019秋•立山区期中）如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米．（1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母．（2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）首先由题意可证得△ABG∽△CDG与△ADB∽△EDF，又由相似三角形的对应边成比例与点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，即可求得CD与EF的高，则可求得答案．【解析】（1）如图2所示；（2）由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°．又∵∠AGD为公共角，∴△ABG∽△CDG．∴ABCD=BGDG．∵DF＝100米，点B是DF的中点，∴BD＝BF＝50米，∵AB＝5米，BG＝10米，∴5CD=1050+10，∴CD＝30（米）．又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，∴△ADB∽△EDF，∴ABEF=DBDF=12，∴EF＝2AB＝10（米）∴CD﹣EF＝20（米）答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米．21．（2019秋•扬州期中）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．小亮由B处沿BO所在的方向行走的过程中，当小亮离开灯杆的距离OB＝4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，小亮的影长是多少m？【分析】根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．【解析】先设OP＝x米，则当OB＝4.2米时，BE＝1.6米，∴ABOP=BEOE，即1.6x=1.61.6+4.2，∴x＝5.8；当OD＝6米时，设小亮的影长是y米，∴DFDF+OD=CDOP，∴y6+y=1.65.8，∴y=167．即小亮的影长是167米．22．（2019秋•建湖县期末）如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处、窗户的最低点落在地板是A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得AQ＝1m，AB＝2m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．【分析】首先根据QD＝QE＝1m，可得∠QAD＝45°，然后证明PH＝PA，再证明△PBH∽△QBC，可得CQPH=BQBP，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．【解析】∵DQ⊥BP，∴∠CQB＝90°，∵QD＝1m，QA＝1m，∴∠QAD＝45°，∵PH⊥PB，∴∠HAP＝45°，∴PH＝PA，设PH＝PA＝xm，∵PH⊥PB，CQ⊥PB，∴PH∥CQ，∴△PBH∽△QBC，∴1.5+1x=1+2x+2解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．答：窗外的路灯PH的高度是10m．23．（2019秋•沭阳县期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长．【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝6﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解析】（1）∵正方形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，（2）设EG＝EF＝x∵△AEF∽△ABC∴EFBC=AKAD，∴x13=6-x6，∴x=7819，∴正方形零件的边长为7819cm．24．（2019秋•浦东新区校级月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解析】如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC=ADAC，∴x5=12-x12，x=6017，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED＝x，S△ABC=12AC•BC=12AB•CP，12×5＝13CP，CP=6013，同理得：△CDG∽△CAB，∴DGAB=CQCP，∴x13=6013-x6013，x=780229＜6017，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是6017（步）．