数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程一等奖ppt课件

[对应学生用书P115]

1．已知直线ax－by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形(　　)

A．是锐角三角形　　　　 B．是直角三角形

C．是钝角三角形     D．不存在

B　[直线与圆相切，则圆心到切线的距离d＝＝1，

∴a2＋b2＝c2，故三角形为直角三角形．]

2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上的点到直线4x－3y－2＝0的最近距离为1，则圆的半径r为(　　)

A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．9

A　[由圆的方程可知圆心为(3，－5)，

圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5.依题意知，d－r＝1，∴r＝4.]

3．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为(　　)

A．－或     B．

C．－或     D．

A　[∵∠POQ＝120°，∴点O到直线y＝kx＋1的距离d＝.又d＝＝，∴k＝±.]

4．(多选题)(2020·山东潍坊市高三月考)实数x，y，满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　)

A．的最大值为    B．的最小值为－

C．的最大值为     D．的最小值为－

CD　[由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0为圆心是C，半径为1的圆，

则为圆上的点与定点P的斜率的值，

设过P点的直线为y＝k，即kx－y－k＝0，

则圆心到直线kx－y＋k＝0的距离d≤r，即≤1，

∴3k2≤1，∴－≤k≤，

∴∈，即的最大值为，最小值为－.故选C、D.]

5．圆x2＋y2＝4上与直线l：4x－3y＋12＝0距离最小的点的坐标是(　　)

A．(，)     B．(，－)

C．(－，)     D．(－，－)

C　[圆的圆心(0，0)，过圆心与直线4x－3y＋12＝0垂直的直线方程为3x＋4y＝0.

3x＋4y＝0与x2＋y2＝4联立可得x2＝，所以它与x2＋y2＝4的交点坐标是(－，)，(，－).又圆上一点与直线4x－3y＋12＝0的距离最小，所以所求的点的坐标为(－，).]

6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A．－或－     B．－或－

C．－或－     D．－或－

D　[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3).由题意知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.]

7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．10    B．20    C．30    D．40

B　[圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意，最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为

|AC||BD|＝×10×4＝20.]

8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，则k的取值范围是(　　)

A．(，2)

B．(－2，－)

C．(－∞，－2)∪(－，)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－)∪(2，＋∞)

C　[圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2.

∵圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，∴<<3，

∴k的取值范围是(－∞，－2)∪(－，)∪(2，＋∞).]

9．(多空题)设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则 的最大值为__________，最小值为________.

＋2　－2　[的几何意义，即为动点P(x，y)到定点(1，1)的距离．因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，因此表示点(1，1)与该圆上点的距离．

易知点(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，结合图易得的最大值为＋2＝＋2，最小值为－2＝－2.]

10．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．

(1)求的最大值和最小值；

(2)求x＋y的最大值和最小值．

解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2.

(1)(转化为斜率的最值问题求解)

表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示．

设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，

由圆心C(3，3)到切线的距离等于圆C的半径，

可得＝2，解得k＝.

所以的最大值为，最小值为.

(2)(转化为截距的最值问题求解)

设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．

由圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2，

即|b－6|＝2，解得b＝6±2.

所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.

11．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)

A．[1－2，1＋2 ]     B．[1－，3]

C．[－1，1＋2 ]     D．[1－2，3]

D　[数形结合，利用图形进行分析．由y＝3－得(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，它表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，＝2，得b＝1－2.当直线过(0，3)时，解得b＝3，∴1－2≤b≤3.]

12．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋y2－2y＝2     B．x2＋y2＋2y＝2

C．x2＋y2－2y＝1     D．x2＋y2＋2y＝1

D　[∵直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，

∴直线mx＋y＋1＝0始终过圆的圆心(0，－1).

又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆的半径r＝＝.

∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.]

13．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是____________.

(x＋1)2＋y2＝5　[由题意知CA⊥PA，∴|CP|2＝|CA|2＋|PA|2.

有C(－1，0)，|CA|＝2，|PA|＝1，

设P的坐标为(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝5.]

14．(多空题)圆x2＋(y＋4)2＝4上的点到直线l：x＋y＝1的距离的最大值为______________，最小值为__________．

＋2　－2　[由图可知，x2＋(y＋4)2＝4的圆心C(0，－4)，半径r＝2.

由题意，得圆上的点到直线l的距离的最小值为dmin＝－2＝－2，最大值dmax＝＋2＝＋2.]

15．已知P(－1，2)为圆x2＋y2＝8内一定点．

(1)求过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程；

(2)求过点P且被圆所截得的弦最长的直线方程．

解　已知圆心C(0，0)，半径r＝2.

(1)当弦与PC垂直时，过点P且被圆所截得的弦最短．因为kPC＝＝－2，所以k＝，因此所求的直线方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.

(2)当弦过圆心C时，过点P且被圆所截得的弦最长．

因为kPC＝－2，所以所求的直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0.