数学九年级下册6 直线与圆的位置关系优秀精练

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第10讲 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系目标导航知识精讲知识点01 圆的确定1）经过一个已知点A可画无数个圆。2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。【知识拓展】（2021·江苏初三期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）【即学即练1】（2020·江苏苏州·初三月考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块知识点02 点和圆的位置关系1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则：P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内dr无交点【知识拓展】（2021·福建·厦门双十中学九年级期中）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则反映直线l与圆O位置关系的图形（ ）A． B． C． D．【即学即练1】（2021·河北·滦南县宋道口镇初级中学九年级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　）A．3 B．4 C．4.8 D．5知识点05切线的判定与性质1）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径2）证圆的切线有两种方法： = 1 \* GB3 ①连半径，证垂直，即已知半径，证明直线与这条半径垂直 = 2 \* GB3 ②作垂线，证半径，即作出圆心到直线的垂线，证明垂线段长等于半径注：已知圆的切线时，作过切点的半径是常用的辅助线，因为圆的切线垂直于过切点的半径。【知识拓展】（2021·福建省福州第一中学九年级期中）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，如果∠APB＝60°，PA＝6，那么弦AB的长是（ ）A．3 B．6 C．6 D．10【即学即练1】（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18．将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处．连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（ ）A． B． C． D．【即学即练2】（2021·安徽芜湖·模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)【即学即练3】（2021·广东普宁·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则【即学即练4】（2021·湖北江汉·九年级期中）已知：如图，P为⊙O外一点，射线PO交⊙O于点A，B，C为⊙O上一点，连AC，BC，过点O作OD⊥AC于点E，交直线PC于点D，∠AOD＝∠PCA．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．知识点06切线长定理1）经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段叫作这点到圆的切线长。2）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则： = 1 \* GB3 ①PA=PB； = 2 \* GB3 ②∠APO=∠BPO； = 3 \* GB3 ③PO是AB的垂直平分线【知识拓展】（2021·山东青岛·九年级单元测试）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）A．10 B．18 C．20 D．22【即学即练1】（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE．若∠B＝70°，则∠CED为（ ）A．70° B．65° C．55° D．35°【即学即练2】（2021·辽宁大洼·九年级期末）如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1知识点07三角形内切圆1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。2）内心特点：内心到三角形三边的距离相等3）三角形四心： = 1 \* GB3 ①外心：三角形外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点。 = 2 \* GB3 ②内心：三角形内切圆的圆心，三内角角平分线的交点。 = 3 \* GB3 ③重心：三条中线的交点。 = 4 \* GB3 ④垂心：三条高的交点。【知识拓展】（2021·重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（ ）A．三角形的外角大于它的任何一个内角 B．边形的外角和为C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．三角形的内心到三角形三个项点的距离相等【即学即练1】（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．【即学即练2】（2021·福建初三其他）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，⊙E为内切圆，若BE=4，则△BCE的面积为___________. 【即学即练3】（2021·新疆乌鲁木齐·初三三模）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；（3）用文字叙述上面证明的结论： ；（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．知识点08圆与圆的位置关系两圆位置关系的性质与判定: (R≥r) ：(1)两圆外离 d>R+r； (2)两圆外切d=R+r； (3)两圆相交R-rr)； (5)两圆内含 dr)。相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.【知识拓展】（2021·上海浦东新·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，那么圆O半径r的取值范围为____．能力拓展题型1 点与圆的位置关系（d与r）解题技巧：点的圆的位置关系，一般用d与r的大小来判定。判断位置关系，关键点就是求解出点与圆心的距离，然后和r比较来判断位置关系。1．（2021•绵阳市九年级期中）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是　 　．2．（2020·湖南浏阳初三期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以顶点A为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则r的取值范围是_____．题型2 直线与圆的位置关系（d与r）解题技巧：直线和圆的位置有三种：相交、相切和相离，判断方法有两种：方法一：根据直线与圆的交点个数判定：方法二：根据直线和圆心距离d与半径r大小关系判定：1．（2021·浙江衢江·九年级期末）如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（　　）A．相切 B．相交 C．相离 D．相似2．（2021·山东潍坊·初三期中）直线、相交于点，射线平分，点在射线上（点与点不重合），如果以点为圆心的圆与直线相离，那么圆与直线的位置关系是　　A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定3．（2021·江苏广陵·九年级期末）已知的半径为3，点P是直线l上的一点，，则直线l与的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交4．（2021·上海·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（ ）A．6 B．10 C．15 D．16题型3 切线的判定解题技巧： 切线的判定： = 1 \* GB3 ①连接圆心与切点，证与切线垂直； = 2 \* GB3 ②过圆心作垂线，证长度为r1．（2021·全国·九年级期末）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点2．（2021·江苏溧水·九年级期中）如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．3．（2021·江苏溧水·九年级期中）如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明．　4．（2021·江苏溧阳·九年级期中）如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．（1）求BD的长．（2）求证：AC是⊙O的切线．5．（2021·广东惠阳高级中学初中部九年级期中）如图，⊙O是ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OCAD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝2，CE＝2，求⊙O的半径和线段BE的长．题型4 切线的性质解题技巧：切线的性质：切点与圆心的连线与切线垂直1．（2021·重庆·西南大学附中九年级期中）如图，PA、PB是的切线，A、B是切点，点C在上，且，则等于（ ）A．58° B．68° C．78° D．124°2．（2021·江苏高淳·九年级期中）已知四边形ABCD中，，，，，，以BC为直径作．（1）如图①，与AD边相切，切点为E，求m的值；（2）就m的取值范围讨论⊙O与边AB、AD除点B外的公共点总个数的情况（直接写出答案）．3．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）如图，从外一点引圆的切线，切点为，连接并延长交圆于点，连接．若，（1）求的度数．（2）若，求的长.4．（2021·北京十四中九年级期中）如图，AB为的直径，C为上一点，的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：；（2）若，．求CD的长．题型5 切线长定理解题技巧：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，且使得左右两边的图形完全对称。1．（2021·江苏邗江·九年级期中）如图、、是圆的切线，切点分别为、、，若，，则的长是______．2．（2021·广东·广州市南武实验学校九年级期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长为__．题型6 三角形的内切圆半径1．（2021·江苏邗江·二模）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率________（填>、<或=）．2．（2020·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）如图所示，三角形ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则它的内切圆半径为 ___cm．3．（2021·江苏工业园区·初三期中）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）A． B． C． D．4．（2020·山东齐河·初三二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．5．（2021·内蒙古松山·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）尺规作图：作三角形ABC的内切圆⊙O，⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹，不写作法．（2）求⊙O的半径r．题型7 三角形的内心和外心解题方法：此类题型，需要抓住三角形内心和外心的特点。 = 1 \* GB3 ①三角形内心：三角形内切圆圆心，即三角形角平分线的交点，内心到三边的距离相等 = 2 \* GB3 ②三角形外心：三角形外接圆圆心，即三角形垂直平分线交点，外心到三顶点距离相等。1．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2020·江苏泰州·中考真题）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．3．（2021·江苏·南师附中树人学校九年级月考）如图，若等边三角形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则______．4．（2021·绵阳市·初三期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；(2)求证：DE=DB．题型8 直线与圆的综合问题（压轴题）1．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，等边内接于⊙，是上任一点（不与、重合），连接、，交于，切⊙于点，交⊙于点．下列结论：①；②；③若，则四边形的面积为；④若，则图中阴影部分的面积为．正确的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）A．5 B．6 C．7 D．83．（2021·广东澄海区·）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长．4．（2021·江苏姜堰·九年级期中）如图，ABC是⊙O的内接三角形，∠ACF=∠B，CF交BA的延长线于点F．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若FC=AB，求证：点A是BF的黄金分割点；（3）若AF=1，CF=2，AC=，求⊙O的直径．5．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，在矩形中，，，，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长半径作，交CE、BD、BC交于F、G、H（任意两点不重合），（1）半径BP的长度范围为______；（2）如图1，连接BF并延长交CD于K，若，求BP；（3）如图2，连接GH，将劣弧HG沿着HG翻折交BD于点M，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由．分层提分题组A 基础过关练1.下列四个命题正确的有(　　)①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心到该三角形三个顶点的距离相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．3.已知：⊙O的半径为2cm，圆心到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（ ）A．1cm B．3cm或2cm C．3cm D．1cm或3cm4.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）5.下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．其中正确的是(　　)A．①② B．①④ C．②④ D．③④6.如图，△ABC中，CA=CB，以BC为直径的半圆O交于AB于D，DE⊥AC于E．求证：DE是半圆O的切线．7.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，连接OP，AB，下列结论不一定正确的是（ ）PA=PB B.OP垂直平分AB C.∠OPA=∠OPB D.PA =AB 8.如图,PA,PB是⊙O的切线,切点为AB,BC是⊙O的直径,连接AB,AC,OP（1）∠APB＝2∠ABC（2）AC∥OP题组B 能力提升练1.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是(　　)A．80° B．160° C．100° D．80°或100°2.已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．4 D．53.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BCA=115°，则∠A的度数为（ ）A．40° B．45° C．50° D．55°4.如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．5.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．求证：CD是⊙O的切线。6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）若BC=5、AC=12，⊙O的半径为R，求R的值．7.如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于点D、E，直径FG在AB上，若BG= EQ \R(,2)-1，则△ABC的周长是 ．8.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为 ．9.如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是 .题组C 培优拔尖练1.已知圆心O到直线m的距离为d，⊙O的半径为r （1）当d、r是方程x2-9x+20=0的两根时，判断直线m与⊙O的位置关系?（2）当d、r是方程 x2-4x+p=0的两根时，直线m与⊙O相切，求p的值2.已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长。4.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．5.已知：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的长．6.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40∘，则∠ACB的大小是（  ）。A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°7.△ABC外切于⊙O，切点分别为点D、E、F，∠A=60°，BC=7，⊙O的半径为．（1）求BF+CE的值； （2）求△ABC的周长．8.如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．