初中北师大版6 直线与圆的位置关系第2课时教学设计

3.6 直线和圆的位置关系

第1课时

教学目标

1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力．

2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．

3.会作三角形的内切圆．

教学重难点

【教学重点】

会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．

【教学难点】  

会作三角形的内切圆．

教学过程

（一）导入新课

直线和圆有什么样的位置关系？

（二）讲授新课

探究1：如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？

你能写出一个命题来表述这个事实吗?

过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.

明确：∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴ CD是⊙O的切线.

这个定理实际上就是

d=r                 直线和圆相切

的另一种说法.

探究2：从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?

三角形的内切圆作法：

（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.

（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.

（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求.

探究3：这样的圆可以作出几个呢?为什么?

∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等, 因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.

定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.

分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.

判断题：

1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（   ）

2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （   ）

3.等边三角形的内心和外心重合（   ）

4.三角形的内心一定在三角形的内部（   ）

活动2：探究归纳

内心均在三角形内部

（三）重难点精讲

例1.如图,AB是⊙O的直径, ∠ABT=45°,AT=BA．求证:AT是⊙O的切线.

证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线．   

例2.如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数是              .

（2）若∠A=80°，则∠BOC=          .

（3）若∠BOC=110°，则∠A=         .

答案：（1）120°（2）130°（3）40°

（四）归纳小结

本课主要学习了哪些内容？

1．探索切线的判定条件．

2．作三角形的内切圆．

3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念．

（五）随堂检测

1.如图,已知直线AB 经过⊙O上的点C, 并且AO=OB,CA=CB,那么直线 AB是⊙O的切线吗?

2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？

3.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.　

4.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，

并证明你的结论.

(2)若tan∠ACB=，BC=2，

求⊙O的半径.

5.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.

（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.

（2）如果∠BDE=60，，求PA的长.

6.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.求镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？

【答案】

1. 解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线.

2. 解：过O作OC⊥AB ，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴ ⊙O与直线AB相切.

3. 证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.

∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，

∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　

又∵∠ADB＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，

∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，

又∵∠CAF＝∠CDF，

∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，

故DE是⊙O的切线.

4. 【解析】（1）直线CE与⊙O相切.   

∵四边形ABCD是矩形， 

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ，

又 ∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠AE0+∠DEC=90°，

∴∠OEC=90 °，

∴直线CE与⊙O相切.

（2）∵tan∠ACB=

BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=,AC=   

又∵∠ACB=∠DCE  ∴tan∠DCE=，

∴DE=DC•tan∠DCE=1，

在Rt△CDE中，CE=

设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，

由得

解得：r=   

5. 【解析】（1）PD是⊙O的切线.

连接OD,∵OB=OD,

∴∠ODB=∠PBD.

又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.

又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.

即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,

即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.

（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,

∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.

∵OA=OD,

∴△AOD是等边三角形.

∴∠POD=60°.

∴∠P=∠PDA=30°.

在Rt△PDO中，设OD=x,

∴

∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）

∴PA=1.

6. 提示：AC⊥BC，BC=30米，AC=40米,得AB=50米.由

得M离道路三边的距离为10米.

六．板书设计

3.6.2直线和圆的位置关系

1．切线的判定条件．

2．作三角形的内切圆．

3．三角形的内切圆、三角形的内心的概念．

例题1：     例题2：      例题3：

七、作业布置

课本P93练习1、2
练习册相关练习

八、教学反思