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初中数学1 圆精品练习题
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这是一份初中数学1 圆精品练习题，文件包含第9讲圆的相关概念及基本性质-九年级数学下册同步精品讲义北师大版解析版docx、第9讲圆的相关概念及基本性质-九年级数学下册同步精品讲义北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。
第9讲 圆的相关概念及基本性质
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知识精讲
知识点01 圆的定义
1）圆：
描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心
集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。
2）基本概念
①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径）
②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦）
③直径：经过圆心的弦（如AB）
④弧：圆上任意两点间的部分（如AC）
⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆
⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等）
3）确定一个圆的两要素（圆心、半径）
4）圆的任一半径长度都相等
5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度
6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等；
7）C=2r S=
注：①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；
③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。
【知识拓展】（2021·山西晋中市·）如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条故选B
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【即学即练1】（2021·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号）
【答案】①③④
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确；
③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．
【即学即练2】（2021·安徽定远县第一初级中学初三月考）下列说法中,正确的是( )
A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】B
【解析】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C.长度相等的弧是等弧，错误；D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选：B.
【即学即练3】（2021·江苏中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】C
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选C．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
【即学即练4】（2021·广东）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系
1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角
2）规定旋转一周为360°，即圆周角为360°
3）①C=2r ②半圆弧长=12C ③弧长= （n为圆心角）
4）等圆（半径相同）或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长相等；
5）前提条件：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②对应的弦长相等；③对应的弧长相等。这3个条件中，已知其中任1条件，必可推导出另外2条件（知一推二）。
注：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
【知识拓展】（2021·广东九年级期中）如果在中的两条弦和的弦心距分别为和，且，那么两弦和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据弦心距的概念可求得AE和CF的长度,比较两者大小，后结合垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，进而可比较和的大小关系，即可求解.
【详解】如图，由勾股定理可得AE=CF=.
因为OE>OF，OA＝OC(两者都是圆的半径) 所以AE
【即学即练1】（2020·江苏盐城初三月考）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】证明（1）∵AB=CD，∴，
即，∴；
（2）∵，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
【即学即练2】（2021•建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【解答】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，
∴，∴，即．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点03 圆的对称性、垂径定理及推论和重要公式
1）圆是轴对称图，对称轴为直径，有无数条
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
3）实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫作圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
4）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
证明：连AO、BO
∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL）
∴AE=EB，∴AD=BD AC=CB
5）知二推三（推论）
①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④AC=CB；⑤AD=BD
垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。
6）重要公式：设半径为r，AB=a，OE=d，根据勾股定理：
圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。
【知识拓展】（2020·江苏镇江初三月考）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.
【解析】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；
③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，
正确的有2个，故选：B.
【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.
【即学即练1】（2021·广西中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【即学即练2】（2021·江苏九年级二模）P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，故选：C．
【点睛】此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算．
【即学即练3】（2021·辽宁九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】作于，于，连接，，首先利用勾股定理求得的长，然后判定四边形是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得的长．
【详解】解：作于，于，连接，，
∵于，，∴，，
∴，同理可得：，
∵弦、互相垂直，∴，
∵于，于，∴，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
【即学即练4】（2021·湖北九年级其他模拟）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：，，
，，，
，，，
又，是的中位线，，故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
知识点04圆周角定理及推论
1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等
∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等
2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结：
在同圆或等圆中，有如下关系：
即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。
3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°）
4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆
证明：∵∠A=90° ∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径
∵∠D=90° ∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∴四点共圆.
【知识拓展】（2021·江苏张家港初三期末）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．45° C．35° D．30°
【答案】D
【解析】直接根据圆周角定理求解．连结OC，如图，
∵=，∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．故选D．
考点：圆周角定理．
【即学即练1】（2021•南沙区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．105° C．75° D．165°
【分析】首先利用邻补角求得∠BCD的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解析】∵∠BCE＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝150°，故选：A．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，难度不大．
【即学即练2】(2020.江苏省初三期末)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
【答案】D
【解析】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，
∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.
【即学即练3】（2021•姑苏区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出∠AOC的度数，再根据△AOC为等腰三角形即可求出∠BAC的度数．
【解析】连接OC，如下图所示：
∵∠ADC＝125°对应优弧，∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°，
而△AOC为等腰三角形，∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝35°，故A、C、D错误，故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理求圆心角的度数是解题关键，本题注意找到∠ADC所对的弧为优弧即可．
【即学即练4】（2021•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解析】∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠E∠FOB＝70°故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
知识点05圆的内接四边形
1）如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。
2）圆内接四边形对角互补
证明：连接BO，CO
∵∠A是优弧AB的圆周角 ∠D是劣弧AB的圆周角 ∴∠A+∠D=180°
【知识拓展】（2021•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据弧、弦、圆心角之间的关系求出∠ABD＝∠CBD＝30°，求出∠BDC，再求出答案即可．
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，∴，∴∠DBC＝∠ABD30°，
∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°，
∵E为的中点，∴∠CDE＝∠BDEBDC＝30°，故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
【即学即练1】（2021•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（ ）
A．140° B．125° C．110° D．105°
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠DAO，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠CAB，求出∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC＝180°，再求出答案即可．
【解析】∵∠AOD＝40°，OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO（180°﹣∠AOD）＝70°，
∵AC平分∠DAB，∴∠CABDAB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠ADC＝180°﹣55°＝125°，故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，注意：直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补．
【即学即练2】（2021•前郭县三模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解析】∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵∠BDC＝20°，∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【即学即练3】（2020·江苏丹徒初三期中）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在弧AD上，∠E的度数为____．
【答案】
【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°-∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
【解析】连接BD，∵∠C+∠BAD=180°，∴∠BAD=180°﹣110°=70°，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，
∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD=180°，∴∠E=180°﹣55°=125°．故答案为：.
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
【即学即练4】（2021•张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ °；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；
【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
【即学即练5】（2021•永嘉县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．（1）求证：AB＝AP；（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
【分析】（1）利用等角对等边证明即可．（2）利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵C为的中点，∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD6，∴PB2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PCPB，∴PC．
【点评】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
能力拓展
题型1 利用圆的半径解题
解题技巧：在同圆或等圆中，圆的半径相等。此类题型，常常连接半径，构造等腰三角形或全等三角形。
1．（2021•济南九年级专项）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解析】∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
2．（2021·江苏景山中学）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．
【答案】
【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，证得，求出，根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：作OD⊥AB，∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，
∵⊙O的半径是2，∴，∵OA=OB，∴，
∴弦AB所对的圆心角，故答案为： ．
【点睛】此题考查直角三角形直角边等于斜边一半的性质，圆的半径相等的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．
3.（2020•天宁区初三期中）如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为 ．
【分析】由四边形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接AO，OF，∵四边形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，
∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2020·四川凉山初三零模）如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
【答案】
【分析】证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC＝CO，求出BO＝2AB，连接AO，半径AO＝5，再根据勾股定理列方程，即可求出AB的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠DCO＝90°，
又∵∠POM＝45°，∴∠CDO＝45°，∴CD＝CO，∴BO＝BC+CO＝BC+CD，∴BO＝2AB，
连接AO，如图：∵MN＝10，∴AO＝5，又∵在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
∴AB2+（2AB）2＝52，解得：AB＝，则正方形ABCD的边长为．
【点睛】此题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出△DCO是等腰直角三角形，得出BO＝2AB，作出辅助线，利用勾股定理列出关于AB的方程．
5．（2020·上海黄浦初三二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解析】解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中， ，∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，则 ①
BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，则 ②
②－①得： 把代入①得：（舍）
∴BC＝2a＝3．
【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·贵州紫云初三期末）如图，在中，，的中点．（1）求证：三点在以为圆心的圆上；（2）若，求证：四点在以为圆心的圆上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结OC，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA=OB=OC，所以A，B，C三点在以O为圆心，OA长为半径的圆上；（2）连结OD，可得OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上.
【解析】（1）连结OC，在中，，的中点，
∴OC=OA=OB，∴三点在以为圆心的圆上；
（2）连结OD，∵，∴OA=OB=OC=OD，
∴四点在以为圆心的圆上.
【点睛】此题考查了圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，所以证明几个点共圆，只需要证明这几个点到某个定点的距离相等即可.
题型2 垂径定理的证明、计算及应用
解题技巧：如下图，垂径定理中，“知二推三”。
①CD过圆心；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④AC=CB；⑤AD=BD
上述5个条件中，已知任意2个条件，则我们可以直接得出另外3个条件也成立。因此，若在圆中满足上述的任2条件，则圆关于CD对称，△AEO≌△BEO，∠AEO=∠BEO=90°。
作垂直于弦的直径得到直角，借助勾股定理将弦与半径联系起来求解。常见辅助线是向弦作垂线（作中线），并连接圆心与弦的端点，构造出直角三角形AOE（或直角三角形BOE）。
解题技巧：此类题型，需要利用垂径定理来解决图中的计算问题。具体求解方法，与题型2的方法相同。
1．（2021·湖南）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
【答案】
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：由题意得：，，，
，，是等腰直角三角形，，故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
2．（2021·四川九年级期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
【答案】20cm
【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，
∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP20（cm）；故答案为：20cm．
．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．
3．（2021·合肥寿春中学九年级期末）我国古代数学经典著作《九章算术》，中记载了一个这样的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺四寸，问径几何？”意思是：有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝14寸（1尺＝10寸）．则这根圆形木材的直径是_____寸．
【答案】50
【分析】由题意得OE⊥AB，由垂径定理可得AD＝BD＝AB＝7寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理得出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，AB＝14寸，∴AD＝BD＝AB＝7寸，
设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，
在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+72＝r2，
解得：r＝25，∴木材直径为2×25＝50（寸）；故答案为：50．
【点睛】本题考查垂径定理以及勾股定理的应用；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4．（2021·黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
【答案】1cm或7cm．
【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4−3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故填1cm或7cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．
5．（2021·湖南）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为________．
【答案】cm
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长即可．
【详解】如图：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD＝OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝＝＝cm，
由垂径定理得：AB＝2cm．故答案为：cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.
6．（2021·四川九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
【答案】A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【详解】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，∴AH36，
∵⊙O的半径为26，∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×24＝48．故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
7．（2021•渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DHCD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：则CH＝DHCD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，
∴OH2，∴AH2，
∴AC＝AH﹣CH＝22．
【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
题型3 弧、弦、圆心角关系的计算
解题技巧：此类题型，主要考察以下几个知识点
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半
②在等圆或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长、圆周角相等。
③半圆（直径）所对的圆周角是90°。
1．（2020 •郁南县期末）如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
【分析】求出∠AOE，可得结论．
【解析】∵点C、D为的三等分点，∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝150°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021•绵阳市九年级一模）如图，以O为圆心的，C、D三等分，连MN、CD，下列结论错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD
【分析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，根据圆周角定理判断A；根据等边三角形的判定定理和性质定理判断B；根据垂径定理、平行线的判定定理判断C，根据两点之间线段最短判断D．
【解析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，
∵，∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；
∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，
∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，
∵，∴∠AOB＝20°，B选项结论正确，不符合题意；
∵OE⊥CD，∴，∴，∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理、平行线的判定，掌握圆心角、弧、弦直径的关系定理是解题的关键．
3．（2020•扬州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝ ．
【分析】连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AMAB，CNCD，再由∠AMN＝∠CNM得出∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，再由OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM＝CN，由此即可得出结论．
【解析】连接OM，ON，OA，OC，∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴AMAB，CNCD，
∵∠AMN＝∠CNM，∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，，∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，∴AB＝CD＝6．故答案是：6．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．（2021•庐阳区期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【解析】∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
5．（2021·黄石市教育局九年级一模）如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是______．
【答案】24°
【分析】连接，得到等腰，结合已知条件求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 的度数是48°，
的度数是 故答案是：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，掌握以上知识点是解题的关键．
6．（2021•孟津县一模）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【分析】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．
【解析】连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，
而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，
即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
题型4 弧、弦、圆心角关系的证明
解题技巧：证弦相等，只需要证明对应圆心角或弧相等即可；
同样，证弧相等只需证对应弦或圆心角相等即可；证圆心角相等，只需证明对应弧或弦相等即可。
1．（2020·四川成都外国语学校初三）已知：△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24．
【解析】试题分析：（1）OD⊥BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；
（2）由垂径定理可知：，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；
试题解析：（1）∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知：点H是BC的中点，∵点O是AB的中点，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH；
（2）∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知：，∴∠BAD=∠CAD，∵，∴∠ABC=∠ADC，∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，∴∠ACD=∠APB，
2.（2020•建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【解答】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，
∴，∴，即．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．（2020·江苏盐城初三一模）如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．
求证：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得＝；（2）连接AC，由＝得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.
【解析】证明：（1）∵AD＝BC∴＝
∴－＝－即＝∴AB＝CD
（2）连接AC
∵＝∴∠ACB＝∠DAC∴AE＝CE
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.
4．（2020·江苏建湖初三一模）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE．
【答案】证明见解析．
【分析】由AB=CD知，得AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠A=∠C可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】解:证明：∵AB=CD，∴，
即，∴，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠A=∠C，
在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
题型5 运用圆周角定理建立角之间的关系
解题方法：圆周角定理在解中，主要用在角度的转换当中：同弧或等弧对应的圆周角等于圆心角的一半。
1．（2021•安徽二模）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 ．
【分析】根据圆周角定理，可得：∠A﹣∠C＝10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB＝∠A+∠C＝60°；联立两式可求得∠A的度数．
【解析】由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．故答案为：35°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
2.（2021•黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为
【分析】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
【解答】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∵∠DCE＝40°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P∠AOB＝70°，
∵A、C、B、P四点共圆，∴∠P+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初三一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
【答案】B
【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．
【解析】如图，连接AO，BO，CO，DO，
∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵点C是弧BD的中点，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．
4．（2021•长清区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°．
（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB＝30°，BC＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理∠BAD＝∠BCD，∠ADB＝90°，求出∠BAD＝45°，再根据直角三角形的性质求出答案即可；（2）连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CDB，再解直角三角形求出AB即可．
【解析】（1）∵∠BCD＝45°，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝5，∴AB＝2BC＝10，∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
5．（2021•杨浦区二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；
（2）如果3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，，∴△DAC≌△EAC（SAS），∴CE＝CD；
（2）如图2，连接CA，
∵3，∴∠AOD＝3∠COD，∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，∴∠ADO＝36°，∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，∴∠ODC＝72°，∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，∴∠ADC＝∠AEC＝108°，∴∠AOD＝∠AEC，∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵OD＝OC，∴平行四边形OCFD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（2021•和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解析】（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，∴20°+∠CDB＝2∠CDB，∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查圆的有关概念和性质，熟练掌握圆周角定理和推论是解题关键．
7．（2021·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F， AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，交⊙O于G（1）求证：∠BAF=∠DAE；（2）若AB=4，DE=2，∠B=45°，求AG的长
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)连接BF，得到∠BAF=90°-∠ABF，由圆内角四边形对角互补得到∠AEF=180°-∠ABF，再由∠DAE=∠AEF-90°即可证明；(2)由∠ABE=45°得到△ABE为等腰直角三角形，进而求出AE的长，利用勾股定理求出AD的长；再连接GE，由圆内接四边形对角互补得到∠AGE=135°，进而得到∠DGE=45°，△GDE为等腰直角三角形，最后AG=AD-GD即可求解．
【详解】解：(1) 如图，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°-∠ABF，
∵在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠ABF=180°，∴∠AEF=180°-∠ABF，
又∠AEF是△DAE的一个外角，∴∠DAE=∠AEF-∠90°=180°-∠ABF-90°=90°-∠ABF，∴∠BAF=∠DAE；
(2)∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=45°时，△AEB为等腰直角三角形，∴AE=BE=，
在Rt△ADE中，AD=，连接GE，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠AGE=180°-∠B=135°，∴∠DGE=180°-135°=45°，
又AD⊥DE，∴△GDE为等腰直角三角形，∴GD=DE=2，∴AG=AD-GD=，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形对角互补，勾股定理求线段长等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．
题型6 内接四边形
解题方法：此类题型，常考查内接四边形对边互补这个性质。若四边形是圆的内接四边形，且告知一个角的度数n，则对角的度数为180°－n。内接四边形的性质和四边形内角和通常结合起来用。
注：此性质仅在内接四边形中满足，若不是圆的内接四边形，是不满足这个性质的。
1．（2020·江苏洪泽初三期中）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
【答案】A
【分析】在⊙O取点，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．
【解析】解：如图，在⊙O取点，连接
四边形为⊙O的内接四边形，
．故选A
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．
2．（2021·广东省初三期中）如图，四边形内接于⊙O，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠CDE=∠ABC，再由圆周角定理得出∠DCE=∠BAC，根据ASA证明△ABC≌△CDE即可得出结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠ABC，∵∴∠DCE=∠BAC，
在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE∴AC=CE故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质．
3．（2021•建邺区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝122°，则另一个外角∠DAF＝ ．
【分析】直接利用圆内接四边形的性质对角互补即可得出答案．
【解析】∵∠DCE＝122°，∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠BAD＝180°﹣58°＝122°，∴∠FAD＝180°﹣122°＝58°．故答案为：58°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确掌握对角关系是解题关键．
4．（2021•雨花区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，∠A＝50°，则∠CBD的度数为 ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C是的中点，∴，∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD（180°﹣130°）＝25°，故答案为：25°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
5.（2020•碑林区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（ ）
A．18° B．20° C．25° D．40°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，
∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠ABC＝90°，∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
6.（2020•姑苏区一模）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180° B．120° C．100° D．150°
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝25°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠EBC+∠ADC＝150°．
【解答】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE，
∵的度数为60°，∴∠ABE＝∠ADE＝30°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，
∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
7.（2020•张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ °；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；
【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
题型7 圆的多解问题
解题技巧：圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合条件的线段或角会出现不止一种情况，计算是要考虑多解的情况。
1．（2020·黑龙江初三期末）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．2＋ B． C．2＋或2－ D．4＋2或2－
【答案】C
【解析】由题意可得，如图所示，
存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD==，∴=BC•A1D==；
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD==，∴S△A2BC=BC•A2D ==，
由上可得，△ABC的面积为或，故选C．
2．（2021·山东初三期中）己知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是__________．
【答案】1或7
【分析】连接OA，OC，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，由AB∥CD，根据垂径定理得到AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，再根据勾股定理可计算出OF＝4，OE＝3，然后分类讨论：当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF．
【解析】如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，∴EF⊥CD．∵的直径为10，∴OA=OC=5
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝3, OF＝＝4
①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE＝1；
②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7．
则AB与CD间的距离为1或7．故答案为：1或7．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
3．（2021·河北 中考模拟）问题背景：
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=2CD，从而得出结论：AC+BC=2CD．
简单应用：（1）在图①中，若AC=2，BC=22，则CD= ．
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，，若AB=13，BC=12，求CD的长．
拓展规律：（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）。（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=13AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是 ．
【答案】（1）3；（2）1722；（3）2(n-m)2；（4）2PQ=1+356AC或2PQ=35-16AC．
分析：（1）由题意可知：AC+BC=2CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=2CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．
【解析】（1）由题意知：AC+BC=2CD，∴2+22=2CD，∴CD=3，；
（2）连接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵，∴AD=BD，将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③，∴∠EAD=∠DBC，∵∠DBC+∠DAC=180°，∴∠EAD+∠DAC=180°，∴E、A、C三点共线，∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理可求得：AC=5，∵BC=AE，∴CE=AE+AC=17，∵∠EDA=∠CDB，∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB=90°，∵CD=ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE=2CD，∴CD=1722；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图④
由（2）的证明过程可知：AC+BC=2D1C，∴D1C=2(m+n)2，又∵D1D是⊙O的直径，∴∠DCD1=90°，∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：，∴D1D2=AB2=m2+n2，∵D1C2+CD2=D1D2，∴CD2=m2+n2-(m+n)22=(m-n)22，∵m＜n，∴CD=2(n-m)2；
（3）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，连接CQ，PC，∵AC=BC，∠ACB=90°，点P是AB的中点，∴AP=CP，∠APC=90°，又∵CA=CE，点Q是AE的中点，∴∠CQA=90°，设AC=a，∵AE=13AC，∴AE=13a，∴AQ=12AE=16a，由勾股定理可求得：CQ=356a，由（2）的证明过程可知：AQ+CQ=2PQ，∴2PQ=16a+356aa，∴2PQ=1+356AC；
当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，连接CQ、CP，同理可知：∠AQC=∠APC=90°，设AC=a，∴AQ=12AE=16a，由勾股定理可求得：CQ=356a，由（3）的结论可知：PQ=22（CQ﹣AQ），∴2PQ=35-16AC．
综上所述，线段PQ与AC的数量关系是2PQ=1+356AC或2PQ=35-16AC．
考点：圆的综合题；探究型；分类讨论；和差倍分；压轴题．
题型8 最值问题（对称性问题）
解题技巧：直径垂直于弦，则弦的两个端点关于直径对称。利用对称性，解决最值问题。
1．（2021·黑龙江初三期中）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．
【答案】2
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
【解析】解：连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴
∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=，即PA+PB的最小值.
【点睛】本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.
2．（2021•黄埔区二模）如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 ．
【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），根据垂径定理及圆周角定理可得∠DOA′＝∠AOD＝60°，最后由勾股定理可得答案．
【解析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′||CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|3cm．故答案为：3cm．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆满周角定理、垂径定理是解决此题关键．
3．（2020·江苏丹徒初三期中）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆过点A（20，0），直线y＝kx﹣6k＋8与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值为____．
【答案】
【分析】根据直线y=kx-6k+8必过点D（6，8），求出最短的弦CB是过点D且与该圆过点D的直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（20，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
【解析】解：∵直线y=kx-6k+8=k（x-6）+8，∴k（x-6）=y-8，
∵k有无数个值，∴x-6=0，y-8=0，解得x=6，y=8，∴直线必过点D（6，8），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（6，8），∴由勾股定理得：OD=10，
∵以原点O为圆心的圆过点A（20，0），∴圆的半径为20，∴OB=20，
∴BD=，∴BC的长的最小值为2BD=；故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图像性质、垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，解题关键是求出BC最短时的位置．
4．（2020·江苏崇川南通田家炳中学初三期中）如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．
【答案】3．
【分析】如图，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解析】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD＝30°，∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，
又∵OA＝OA′＝3，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，由轴对称的性质正确确定P点的位置是解题的关键．
5．（2020•涵江区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，则m的最小值为 ．
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出OPAB＝OB＝m；根据勾股定理求出OC，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，可得出结果．
【解析】∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），
∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，∴OPAB＝OB＝m，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，
∵C（3，4），∴OC5，∴OP的最小值为：5﹣2＝3．故答案为：3．
【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形性质，点与圆的位置关系等知识，明确当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，是解决问题的关键．
6．（2021•黄埔区二模）如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 ．
【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），根据垂径定理及圆周角定理可得∠DOA′＝∠AOD＝60°，最后由勾股定理可得答案．
【解析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′||CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|3cm．故答案为：3cm．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆满周角定理、垂径定理是解决此题关键．
7．（2020秋•盐城期末）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用三角形三边的关系，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解析】连接OB，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BCAB＝2，
在Rt△OBC中，OC11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD5，∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．故答案为6．
【点评】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
8．（2020·遵化市阳光燕山学校初三）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，连接OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最大．根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的长；在Rt△OPQ中，根据勾股定理求得PQ的长．
【解析】解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB．在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=．
连接OQ，在Rt△OPQ中，．
（2） ∵∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC．
OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=．∴PQ长的最大值为．
考点：解直角三角形；勾股定理．
分层提分
题组A 基础过关练
1.若点P到⊙O的最小距离为6 cm，最大距离为8 cm，则⊙O的半径是 。
【答案】1cm或7cm
【解析】考虑两种情况
2.设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为m，且关于x的方程2x2－2x＋m－1＝0有实数根，试确定点P与⊙O的位置关系．
【答案】点P在⊙O内或⊙O上
【解析】由题意知b2－4ac＝(－2)2－4×2×(m－1)≥0，即m≤2.
而⊙O的半径r＝2，∴m≤r.
∴点P在⊙O内或⊙O上．
3.下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
【答案】B
【解析】紧扣定义即可
4.如图，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是多少？
【答案】125°
【解析】如图，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
由⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，
可以证明OD＝OE＝OF，
即∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
所以∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)
＝180°－＝90°＋∠A＝125°.
5.如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【解析】连半径，解直角三角形即可得。
6.如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
【答案】A
【解析】由圆周角定理易得。
题组B 能力提升练
1.如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．
【解析】当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC，
当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.
理由：连接OC，
在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，
同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4.如果以点A为圆心，AC长为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是( )
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上
C．点D在⊙A内 D．无法确定
【答案】A
【解析】提示：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
3.如图所示，在⊙O中，如果＝，那么AB＝________，∠AOB＝∠______；若OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE______OF.
【答案】CD ∠COD ＝
【解析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。
4.如图所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是________．
【答案】51°
【解析】根据弧相等则边相等，等边对等角，平角是180°等可求。
5.下列命题中正确的有（ ）
①垂直于弦的直径平分这条弦；
②与弦垂直的直线必过圆心；
③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】D
【解析】根据垂径定理的逆定理易得。
6.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）
A．140° B．110° C．90° D．70°
【答案】D
【解析】提示：圆内接四边形对角互补。
7.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆周角为 ．
【答案】45°或135°
【解析】注意考虑两种情况。
题组C 培优拔尖练
1.设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为OP，且OP的长是关于x的方程x2－3x＋2＝0的实数根，试确定点P与⊙O的位置关系．
【解析】解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，∴当OP＝1时，点P在⊙O内；当OP＝2时，点P在⊙O上．故点P在⊙O内或⊙O上．
2.如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
【解析】证明：如图所示，连接AC，
∵C，D是的三等分点．∴AC＝CD，
∴∠AOC＝∠DOB＝30°.
又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴△AOE≌△BOF，
∴AE＝BF.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，∴∠ACO＝∠OAC＝75°.
又∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAE＝45°.
∵∠AEC＝∠AOC＋∠OAE＝30°＋45°＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，∴AE＝BF＝CD.
3.如图，已知A，B，C是半径为2的⊙O上的三个点，其中A是的中点，连接AB，AC，点D，E分别在弦AB，AC上，且满足AD＝CE.
(1)求证：OD＝OE；
(2)连接BC，当BC＝2时，求∠DOE的度数．
【解析】(1)证明：连接OA，OB，OC，
∵A是的中点，∴∠AOB＝∠AOC.
∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO.
∵AD＝CE，∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE.
(2)连接BC交OA于点F，由条件可知AO是BC的垂直平分线，
∴OA⊥BC，BF＝CF＝.
在Rt△BFO中，OF＝＝，∴BF＝OF，∴∠AOB＝45°.
∵△AOD≌△COE，∴∠AOD＝∠COE，∴∠BOD＝∠AOE，∴∠DOE＝∠AOB＝45°.
4.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
【答案】8
【解析】根据垂径定理易得。
5.某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
【解析】由垂径定理得BF＝AB＝1.5 m，OE⊥AB，
设圆O的半径为x m，则OF＝(x－1) m.
在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625.
即圆O的半径是1.625 m.
6.如图所示，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点M，AD与CB交于点E.若所对的圆心角为72°，所对的圆心角为18°，求∠M＋∠AEC的度数．
【解析】根据题意，得∠A＝∠C＝9°，∠ABC＝36°。
∵∠AEC＝∠A＋∠ABC，∴∠AEC＝9°＋36°＝45°.
又∵∠ABC＝∠C＋∠M，∴∠M＝∠ABC－∠C＝36°－9°＝27°，
∴∠M＋∠AEC＝27°＋45°＝72°。
第9讲 圆的相关概念及基本性质
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知识精讲
知识点01 圆的定义
1）圆：
描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心
集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。
2）基本概念
①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径）
②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦）
③直径：经过圆心的弦（如AB）
④弧：圆上任意两点间的部分（如AC）
⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆
⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等）
3）确定一个圆的两要素（圆心、半径）
4）圆的任一半径长度都相等
5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度
6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等；
7）C=2r S=
注：①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；
③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。
【知识拓展】（2021·山西晋中市·）如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条故选B
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【即学即练1】（2021·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号）
【答案】①③④
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确；
③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．
【即学即练2】（2021·安徽定远县第一初级中学初三月考）下列说法中,正确的是( )
A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】B
【解析】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C.长度相等的弧是等弧，错误；D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选：B.
【即学即练3】（2021·江苏中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】C
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选C．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
【即学即练4】（2021·广东）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系
1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角
2）规定旋转一周为360°，即圆周角为360°
3）①C=2r ②半圆弧长=12C ③弧长= （n为圆心角）
4）等圆（半径相同）或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长相等；
5）前提条件：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②对应的弦长相等；③对应的弧长相等。这3个条件中，已知其中任1条件，必可推导出另外2条件（知一推二）。
注：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
【知识拓展】（2021·广东九年级期中）如果在中的两条弦和的弦心距分别为和，且，那么两弦和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据弦心距的概念可求得AE和CF的长度,比较两者大小，后结合垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，进而可比较和的大小关系，即可求解.
【详解】如图，由勾股定理可得AE=CF=.
因为OE>OF，OA＝OC(两者都是圆的半径) 所以AE
【即学即练1】（2020·江苏盐城初三月考）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】证明（1）∵AB=CD，∴，
即，∴；
（2）∵，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
【即学即练2】（2021•建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【解答】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，
∴，∴，即．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点03 圆的对称性、垂径定理及推论和重要公式
1）圆是轴对称图，对称轴为直径，有无数条
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
3）实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫作圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
4）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
证明：连AO、BO
∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL）
∴AE=EB，∴AD=BD AC=CB
5）知二推三（推论）
①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④AC=CB；⑤AD=BD
垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。
6）重要公式：设半径为r，AB=a，OE=d，根据勾股定理：
圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。
【知识拓展】（2020·江苏镇江初三月考）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.
【解析】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；
③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，
正确的有2个，故选：B.
【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.
【即学即练1】（2021·广西中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【即学即练2】（2021·江苏九年级二模）P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，故选：C．
【点睛】此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算．
【即学即练3】（2021·辽宁九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】作于，于，连接，，首先利用勾股定理求得的长，然后判定四边形是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得的长．
【详解】解：作于，于，连接，，
∵于，，∴，，
∴，同理可得：，
∵弦、互相垂直，∴，
∵于，于，∴，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
【即学即练4】（2021·湖北九年级其他模拟）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：，，
，，，
，，，
又，是的中位线，，故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
知识点04圆周角定理及推论
1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等
∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等
2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结：
在同圆或等圆中，有如下关系：
即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。
3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°）
4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆
证明：∵∠A=90° ∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径
∵∠D=90° ∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∴四点共圆.
【知识拓展】（2021·江苏张家港初三期末）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．45° C．35° D．30°
【答案】D
【解析】直接根据圆周角定理求解．连结OC，如图，
∵=，∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．故选D．
考点：圆周角定理．
【即学即练1】（2021•南沙区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．105° C．75° D．165°
【分析】首先利用邻补角求得∠BCD的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解析】∵∠BCE＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝150°，故选：A．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，难度不大．
【即学即练2】(2020.江苏省初三期末)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
【答案】D
【解析】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，
∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.
【即学即练3】（2021•姑苏区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出∠AOC的度数，再根据△AOC为等腰三角形即可求出∠BAC的度数．
【解析】连接OC，如下图所示：
∵∠ADC＝125°对应优弧，∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°，
而△AOC为等腰三角形，∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝35°，故A、C、D错误，故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理求圆心角的度数是解题关键，本题注意找到∠ADC所对的弧为优弧即可．
【即学即练4】（2021•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解析】∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠E∠FOB＝70°故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
知识点05圆的内接四边形
1）如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。
2）圆内接四边形对角互补
证明：连接BO，CO
∵∠A是优弧AB的圆周角 ∠D是劣弧AB的圆周角 ∴∠A+∠D=180°
【知识拓展】（2021•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据弧、弦、圆心角之间的关系求出∠ABD＝∠CBD＝30°，求出∠BDC，再求出答案即可．
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，∴，∴∠DBC＝∠ABD30°，
∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°，
∵E为的中点，∴∠CDE＝∠BDEBDC＝30°，故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
【即学即练1】（2021•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（ ）
A．140° B．125° C．110° D．105°
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠DAO，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠CAB，求出∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC＝180°，再求出答案即可．
【解析】∵∠AOD＝40°，OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO（180°﹣∠AOD）＝70°，
∵AC平分∠DAB，∴∠CABDAB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠ADC＝180°﹣55°＝125°，故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，注意：直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补．
【即学即练2】（2021•前郭县三模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解析】∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵∠BDC＝20°，∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【即学即练3】（2020·江苏丹徒初三期中）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在弧AD上，∠E的度数为____．
【答案】
【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°-∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
【解析】连接BD，∵∠C+∠BAD=180°，∴∠BAD=180°﹣110°=70°，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，
∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD=180°，∴∠E=180°﹣55°=125°．故答案为：.
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
【即学即练4】（2021•张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ °；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；
【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
【即学即练5】（2021•永嘉县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．（1）求证：AB＝AP；（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
【分析】（1）利用等角对等边证明即可．（2）利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵C为的中点，∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD6，∴PB2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PCPB，∴PC．
【点评】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
能力拓展
题型1 利用圆的半径解题
解题技巧：在同圆或等圆中，圆的半径相等。此类题型，常常连接半径，构造等腰三角形或全等三角形。
1．（2021•济南九年级专项）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解析】∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
2．（2021·江苏景山中学）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．
【答案】
【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，证得，求出，根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：作OD⊥AB，∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，
∵⊙O的半径是2，∴，∵OA=OB，∴，
∴弦AB所对的圆心角，故答案为： ．
【点睛】此题考查直角三角形直角边等于斜边一半的性质，圆的半径相等的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．
3.（2020•天宁区初三期中）如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为 ．
【分析】由四边形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接AO，OF，∵四边形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，
∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2020·四川凉山初三零模）如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
【答案】
【分析】证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC＝CO，求出BO＝2AB，连接AO，半径AO＝5，再根据勾股定理列方程，即可求出AB的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠DCO＝90°，
又∵∠POM＝45°，∴∠CDO＝45°，∴CD＝CO，∴BO＝BC+CO＝BC+CD，∴BO＝2AB，
连接AO，如图：∵MN＝10，∴AO＝5，又∵在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
∴AB2+（2AB）2＝52，解得：AB＝，则正方形ABCD的边长为．
【点睛】此题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出△DCO是等腰直角三角形，得出BO＝2AB，作出辅助线，利用勾股定理列出关于AB的方程．
5．（2020·上海黄浦初三二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解析】解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中， ，∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，则 ①
BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，则 ②
②－①得： 把代入①得：（舍）
∴BC＝2a＝3．
【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·贵州紫云初三期末）如图，在中，，的中点．（1）求证：三点在以为圆心的圆上；（2）若，求证：四点在以为圆心的圆上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结OC，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA=OB=OC，所以A，B，C三点在以O为圆心，OA长为半径的圆上；（2）连结OD，可得OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上.
【解析】（1）连结OC，在中，，的中点，
∴OC=OA=OB，∴三点在以为圆心的圆上；
（2）连结OD，∵，∴OA=OB=OC=OD，
∴四点在以为圆心的圆上.
【点睛】此题考查了圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，所以证明几个点共圆，只需要证明这几个点到某个定点的距离相等即可.
题型2 垂径定理的证明、计算及应用
解题技巧：如下图，垂径定理中，“知二推三”。
①CD过圆心；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④AC=CB；⑤AD=BD
上述5个条件中，已知任意2个条件，则我们可以直接得出另外3个条件也成立。因此，若在圆中满足上述的任2条件，则圆关于CD对称，△AEO≌△BEO，∠AEO=∠BEO=90°。
作垂直于弦的直径得到直角，借助勾股定理将弦与半径联系起来求解。常见辅助线是向弦作垂线（作中线），并连接圆心与弦的端点，构造出直角三角形AOE（或直角三角形BOE）。
解题技巧：此类题型，需要利用垂径定理来解决图中的计算问题。具体求解方法，与题型2的方法相同。
1．（2021·湖南）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
【答案】
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：由题意得：，，，
，，是等腰直角三角形，，故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
2．（2021·四川九年级期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
【答案】20cm
【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，
∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP20（cm）；故答案为：20cm．
．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．
3．（2021·合肥寿春中学九年级期末）我国古代数学经典著作《九章算术》，中记载了一个这样的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺四寸，问径几何？”意思是：有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝14寸（1尺＝10寸）．则这根圆形木材的直径是_____寸．
【答案】50
【分析】由题意得OE⊥AB，由垂径定理可得AD＝BD＝AB＝7寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理得出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，AB＝14寸，∴AD＝BD＝AB＝7寸，
设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，
在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+72＝r2，
解得：r＝25，∴木材直径为2×25＝50（寸）；故答案为：50．
【点睛】本题考查垂径定理以及勾股定理的应用；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4．（2021·黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
【答案】1cm或7cm．
【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4−3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故填1cm或7cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．
5．（2021·湖南）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为________．
【答案】cm
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长即可．
【详解】如图：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD＝OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝＝＝cm，
由垂径定理得：AB＝2cm．故答案为：cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.
6．（2021·四川九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
【答案】A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【详解】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，∴AH36，
∵⊙O的半径为26，∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×24＝48．故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
7．（2021•渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DHCD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：则CH＝DHCD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，
∴OH2，∴AH2，
∴AC＝AH﹣CH＝22．
【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
题型3 弧、弦、圆心角关系的计算
解题技巧：此类题型，主要考察以下几个知识点
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半
②在等圆或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长、圆周角相等。
③半圆（直径）所对的圆周角是90°。
1．（2020 •郁南县期末）如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
【分析】求出∠AOE，可得结论．
【解析】∵点C、D为的三等分点，∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝150°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021•绵阳市九年级一模）如图，以O为圆心的，C、D三等分，连MN、CD，下列结论错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD
【分析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，根据圆周角定理判断A；根据等边三角形的判定定理和性质定理判断B；根据垂径定理、平行线的判定定理判断C，根据两点之间线段最短判断D．
【解析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，
∵，∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；
∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，
∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，
∵，∴∠AOB＝20°，B选项结论正确，不符合题意；
∵OE⊥CD，∴，∴，∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理、平行线的判定，掌握圆心角、弧、弦直径的关系定理是解题的关键．
3．（2020•扬州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝ ．
【分析】连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AMAB，CNCD，再由∠AMN＝∠CNM得出∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，再由OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM＝CN，由此即可得出结论．
【解析】连接OM，ON，OA，OC，∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴AMAB，CNCD，
∵∠AMN＝∠CNM，∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，，∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，∴AB＝CD＝6．故答案是：6．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．（2021•庐阳区期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【解析】∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
5．（2021·黄石市教育局九年级一模）如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是______．
【答案】24°
【分析】连接，得到等腰，结合已知条件求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 的度数是48°，
的度数是 故答案是：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，掌握以上知识点是解题的关键．
6．（2021•孟津县一模）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【分析】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．
【解析】连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，
而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，
即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
题型4 弧、弦、圆心角关系的证明
解题技巧：证弦相等，只需要证明对应圆心角或弧相等即可；
同样，证弧相等只需证对应弦或圆心角相等即可；证圆心角相等，只需证明对应弧或弦相等即可。
1．（2020·四川成都外国语学校初三）已知：△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24．
【解析】试题分析：（1）OD⊥BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；
（2）由垂径定理可知：，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；
试题解析：（1）∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知：点H是BC的中点，∵点O是AB的中点，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH；
（2）∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知：，∴∠BAD=∠CAD，∵，∴∠ABC=∠ADC，∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，∴∠ACD=∠APB，
2.（2020•建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【解答】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，
∴，∴，即．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．（2020·江苏盐城初三一模）如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．
求证：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得＝；（2）连接AC，由＝得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.
【解析】证明：（1）∵AD＝BC∴＝
∴－＝－即＝∴AB＝CD
（2）连接AC
∵＝∴∠ACB＝∠DAC∴AE＝CE
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.
4．（2020·江苏建湖初三一模）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE．
【答案】证明见解析．
【分析】由AB=CD知，得AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠A=∠C可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】解:证明：∵AB=CD，∴，
即，∴，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠A=∠C，
在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
题型5 运用圆周角定理建立角之间的关系
解题方法：圆周角定理在解中，主要用在角度的转换当中：同弧或等弧对应的圆周角等于圆心角的一半。
1．（2021•安徽二模）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 ．
【分析】根据圆周角定理，可得：∠A﹣∠C＝10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB＝∠A+∠C＝60°；联立两式可求得∠A的度数．
【解析】由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．故答案为：35°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
2.（2021•黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为
【分析】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
【解答】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∵∠DCE＝40°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P∠AOB＝70°，
∵A、C、B、P四点共圆，∴∠P+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初三一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
【答案】B
【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．
【解析】如图，连接AO，BO，CO，DO，
∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵点C是弧BD的中点，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．
4．（2021•长清区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°．
（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB＝30°，BC＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理∠BAD＝∠BCD，∠ADB＝90°，求出∠BAD＝45°，再根据直角三角形的性质求出答案即可；（2）连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CDB，再解直角三角形求出AB即可．
【解析】（1）∵∠BCD＝45°，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝5，∴AB＝2BC＝10，∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
5．（2021•杨浦区二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；
（2）如果3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，，∴△DAC≌△EAC（SAS），∴CE＝CD；
（2）如图2，连接CA，
∵3，∴∠AOD＝3∠COD，∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，∴∠ADO＝36°，∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，∴∠ODC＝72°，∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，∴∠ADC＝∠AEC＝108°，∴∠AOD＝∠AEC，∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵OD＝OC，∴平行四边形OCFD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（2021•和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解析】（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，∴20°+∠CDB＝2∠CDB，∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查圆的有关概念和性质，熟练掌握圆周角定理和推论是解题关键．
7．（2021·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F， AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，交⊙O于G（1）求证：∠BAF=∠DAE；（2）若AB=4，DE=2，∠B=45°，求AG的长
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)连接BF，得到∠BAF=90°-∠ABF，由圆内角四边形对角互补得到∠AEF=180°-∠ABF，再由∠DAE=∠AEF-90°即可证明；(2)由∠ABE=45°得到△ABE为等腰直角三角形，进而求出AE的长，利用勾股定理求出AD的长；再连接GE，由圆内接四边形对角互补得到∠AGE=135°，进而得到∠DGE=45°，△GDE为等腰直角三角形，最后AG=AD-GD即可求解．
【详解】解：(1) 如图，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°-∠ABF，
∵在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠ABF=180°，∴∠AEF=180°-∠ABF，
又∠AEF是△DAE的一个外角，∴∠DAE=∠AEF-∠90°=180°-∠ABF-90°=90°-∠ABF，∴∠BAF=∠DAE；
(2)∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=45°时，△AEB为等腰直角三角形，∴AE=BE=，
在Rt△ADE中，AD=，连接GE，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠AGE=180°-∠B=135°，∴∠DGE=180°-135°=45°，
又AD⊥DE，∴△GDE为等腰直角三角形，∴GD=DE=2，∴AG=AD-GD=，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形对角互补，勾股定理求线段长等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．
题型6 内接四边形
解题方法：此类题型，常考查内接四边形对边互补这个性质。若四边形是圆的内接四边形，且告知一个角的度数n，则对角的度数为180°－n。内接四边形的性质和四边形内角和通常结合起来用。
注：此性质仅在内接四边形中满足，若不是圆的内接四边形，是不满足这个性质的。
1．（2020·江苏洪泽初三期中）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
【答案】A
【分析】在⊙O取点，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．
【解析】解：如图，在⊙O取点，连接
四边形为⊙O的内接四边形，
．故选A
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．
2．（2021·广东省初三期中）如图，四边形内接于⊙O，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠CDE=∠ABC，再由圆周角定理得出∠DCE=∠BAC，根据ASA证明△ABC≌△CDE即可得出结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠ABC，∵∴∠DCE=∠BAC，
在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE∴AC=CE故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质．
3．（2021•建邺区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝122°，则另一个外角∠DAF＝ ．
【分析】直接利用圆内接四边形的性质对角互补即可得出答案．
【解析】∵∠DCE＝122°，∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠BAD＝180°﹣58°＝122°，∴∠FAD＝180°﹣122°＝58°．故答案为：58°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确掌握对角关系是解题关键．
4．（2021•雨花区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，∠A＝50°，则∠CBD的度数为 ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C是的中点，∴，∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD（180°﹣130°）＝25°，故答案为：25°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
5.（2020•碑林区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（ ）
A．18° B．20° C．25° D．40°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，
∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠ABC＝90°，∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
6.（2020•姑苏区一模）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）
A．180° B．120° C．100° D．150°
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝25°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠EBC+∠ADC＝150°．
【解答】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE，
∵的度数为60°，∴∠ABE＝∠ADE＝30°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，
∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
7.（2020•张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ °；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；
【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
题型7 圆的多解问题
解题技巧：圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合条件的线段或角会出现不止一种情况，计算是要考虑多解的情况。
1．（2020·黑龙江初三期末）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．2＋ B． C．2＋或2－ D．4＋2或2－
【答案】C
【解析】由题意可得，如图所示，
存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD==，∴=BC•A1D==；
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD==，∴S△A2BC=BC•A2D ==，
由上可得，△ABC的面积为或，故选C．
2．（2021·山东初三期中）己知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是__________．
【答案】1或7
【分析】连接OA，OC，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，由AB∥CD，根据垂径定理得到AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，再根据勾股定理可计算出OF＝4，OE＝3，然后分类讨论：当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF．
【解析】如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，∴EF⊥CD．∵的直径为10，∴OA=OC=5
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝3, OF＝＝4
①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE＝1；
②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7．
则AB与CD间的距离为1或7．故答案为：1或7．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
3．（2021·河北 中考模拟）问题背景：
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=2CD，从而得出结论：AC+BC=2CD．
简单应用：（1）在图①中，若AC=2，BC=22，则CD= ．
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，，若AB=13，BC=12，求CD的长．
拓展规律：（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）。（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=13AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是 ．
【答案】（1）3；（2）1722；（3）2(n-m)2；（4）2PQ=1+356AC或2PQ=35-16AC．
分析：（1）由题意可知：AC+BC=2CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=2CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．
【解析】（1）由题意知：AC+BC=2CD，∴2+22=2CD，∴CD=3，；
（2）连接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵，∴AD=BD，将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③，∴∠EAD=∠DBC，∵∠DBC+∠DAC=180°，∴∠EAD+∠DAC=180°，∴E、A、C三点共线，∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理可求得：AC=5，∵BC=AE，∴CE=AE+AC=17，∵∠EDA=∠CDB，∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB=90°，∵CD=ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE=2CD，∴CD=1722；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图④
由（2）的证明过程可知：AC+BC=2D1C，∴D1C=2(m+n)2，又∵D1D是⊙O的直径，∴∠DCD1=90°，∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：，∴D1D2=AB2=m2+n2，∵D1C2+CD2=D1D2，∴CD2=m2+n2-(m+n)22=(m-n)22，∵m＜n，∴CD=2(n-m)2；
（3）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，连接CQ，PC，∵AC=BC，∠ACB=90°，点P是AB的中点，∴AP=CP，∠APC=90°，又∵CA=CE，点Q是AE的中点，∴∠CQA=90°，设AC=a，∵AE=13AC，∴AE=13a，∴AQ=12AE=16a，由勾股定理可求得：CQ=356a，由（2）的证明过程可知：AQ+CQ=2PQ，∴2PQ=16a+356aa，∴2PQ=1+356AC；
当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，连接CQ、CP，同理可知：∠AQC=∠APC=90°，设AC=a，∴AQ=12AE=16a，由勾股定理可求得：CQ=356a，由（3）的结论可知：PQ=22（CQ﹣AQ），∴2PQ=35-16AC．
综上所述，线段PQ与AC的数量关系是2PQ=1+356AC或2PQ=35-16AC．
考点：圆的综合题；探究型；分类讨论；和差倍分；压轴题．
题型8 最值问题（对称性问题）
解题技巧：直径垂直于弦，则弦的两个端点关于直径对称。利用对称性，解决最值问题。
1．（2021·黑龙江初三期中）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．
【答案】2
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
【解析】解：连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴
∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=，即PA+PB的最小值.
【点睛】本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.
2．（2021•黄埔区二模）如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 ．
【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），根据垂径定理及圆周角定理可得∠DOA′＝∠AOD＝60°，最后由勾股定理可得答案．
【解析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′||CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|3cm．故答案为：3cm．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆满周角定理、垂径定理是解决此题关键．
3．（2020·江苏丹徒初三期中）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆过点A（20，0），直线y＝kx﹣6k＋8与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值为____．
【答案】
【分析】根据直线y=kx-6k+8必过点D（6，8），求出最短的弦CB是过点D且与该圆过点D的直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（20，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
【解析】解：∵直线y=kx-6k+8=k（x-6）+8，∴k（x-6）=y-8，
∵k有无数个值，∴x-6=0，y-8=0，解得x=6，y=8，∴直线必过点D（6，8），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（6，8），∴由勾股定理得：OD=10，
∵以原点O为圆心的圆过点A（20，0），∴圆的半径为20，∴OB=20，
∴BD=，∴BC的长的最小值为2BD=；故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图像性质、垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，解题关键是求出BC最短时的位置．
4．（2020·江苏崇川南通田家炳中学初三期中）如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．
【答案】3．
【分析】如图，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解析】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD＝30°，∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，
又∵OA＝OA′＝3，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，由轴对称的性质正确确定P点的位置是解题的关键．
5．（2020•涵江区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，则m的最小值为 ．
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出OPAB＝OB＝m；根据勾股定理求出OC，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，可得出结果．
【解析】∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），
∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，∴OPAB＝OB＝m，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，
∵C（3，4），∴OC5，∴OP的最小值为：5﹣2＝3．故答案为：3．
【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形性质，点与圆的位置关系等知识，明确当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，是解决问题的关键．
6．（2021•黄埔区二模）如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 ．
【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），根据垂径定理及圆周角定理可得∠DOA′＝∠AOD＝60°，最后由勾股定理可得答案．
【解析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′||CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|3cm．故答案为：3cm．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆满周角定理、垂径定理是解决此题关键．
7．（2020秋•盐城期末）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用三角形三边的关系，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解析】连接OB，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BCAB＝2，
在Rt△OBC中，OC11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD5，∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．故答案为6．
【点评】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
8．（2020·遵化市阳光燕山学校初三）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，连接OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最大．根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的长；在Rt△OPQ中，根据勾股定理求得PQ的长．
【解析】解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB．在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=．
连接OQ，在Rt△OPQ中，．
（2） ∵∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC．
OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=．∴PQ长的最大值为．
考点：解直角三角形；勾股定理．
分层提分
题组A 基础过关练
1.若点P到⊙O的最小距离为6 cm，最大距离为8 cm，则⊙O的半径是 。
【答案】1cm或7cm
【解析】考虑两种情况
2.设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为m，且关于x的方程2x2－2x＋m－1＝0有实数根，试确定点P与⊙O的位置关系．
【答案】点P在⊙O内或⊙O上
【解析】由题意知b2－4ac＝(－2)2－4×2×(m－1)≥0，即m≤2.
而⊙O的半径r＝2，∴m≤r.
∴点P在⊙O内或⊙O上．
3.下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
【答案】B
【解析】紧扣定义即可
4.如图，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是多少？
【答案】125°
【解析】如图，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
由⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，
可以证明OD＝OE＝OF，
即∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
所以∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)
＝180°－＝90°＋∠A＝125°.
5.如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【解析】连半径，解直角三角形即可得。
6.如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
【答案】A
【解析】由圆周角定理易得。
题组B 能力提升练
1.如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．
【解析】当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC，
当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.
理由：连接OC，
在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，
同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4.如果以点A为圆心，AC长为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是( )
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上
C．点D在⊙A内 D．无法确定
【答案】A
【解析】提示：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
3.如图所示，在⊙O中，如果＝，那么AB＝________，∠AOB＝∠______；若OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE______OF.
【答案】CD ∠COD ＝
【解析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。
4.如图所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是________．
【答案】51°
【解析】根据弧相等则边相等，等边对等角，平角是180°等可求。
5.下列命题中正确的有（ ）
①垂直于弦的直径平分这条弦；
②与弦垂直的直线必过圆心；
③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】D
【解析】根据垂径定理的逆定理易得。
6.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）
A．140° B．110° C．90° D．70°
【答案】D
【解析】提示：圆内接四边形对角互补。
7.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆周角为 ．
【答案】45°或135°
【解析】注意考虑两种情况。
题组C 培优拔尖练
1.设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为OP，且OP的长是关于x的方程x2－3x＋2＝0的实数根，试确定点P与⊙O的位置关系．
【解析】解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，∴当OP＝1时，点P在⊙O内；当OP＝2时，点P在⊙O上．故点P在⊙O内或⊙O上．
2.如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
【解析】证明：如图所示，连接AC，
∵C，D是的三等分点．∴AC＝CD，
∴∠AOC＝∠DOB＝30°.
又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴△AOE≌△BOF，
∴AE＝BF.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，∴∠ACO＝∠OAC＝75°.
又∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAE＝45°.
∵∠AEC＝∠AOC＋∠OAE＝30°＋45°＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，∴AE＝BF＝CD.
3.如图，已知A，B，C是半径为2的⊙O上的三个点，其中A是的中点，连接AB，AC，点D，E分别在弦AB，AC上，且满足AD＝CE.
(1)求证：OD＝OE；
(2)连接BC，当BC＝2时，求∠DOE的度数．
【解析】(1)证明：连接OA，OB，OC，
∵A是的中点，∴∠AOB＝∠AOC.
∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO.
∵AD＝CE，∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE.
(2)连接BC交OA于点F，由条件可知AO是BC的垂直平分线，
∴OA⊥BC，BF＝CF＝.
在Rt△BFO中，OF＝＝，∴BF＝OF，∴∠AOB＝45°.
∵△AOD≌△COE，∴∠AOD＝∠COE，∴∠BOD＝∠AOE，∴∠DOE＝∠AOB＝45°.
4.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
【答案】8
【解析】根据垂径定理易得。
5.某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
【解析】由垂径定理得BF＝AB＝1.5 m，OE⊥AB，
设圆O的半径为x m，则OF＝(x－1) m.
在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625.
即圆O的半径是1.625 m.
6.如图所示，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点M，AD与CB交于点E.若所对的圆心角为72°，所对的圆心角为18°，求∠M＋∠AEC的度数．
【解析】根据题意，得∠A＝∠C＝9°，∠ABC＝36°。
∵∠AEC＝∠A＋∠ABC，∴∠AEC＝9°＋36°＝45°.
又∵∠ABC＝∠C＋∠M，∴∠M＝∠ABC－∠C＝36°－9°＝27°，
∴∠M＋∠AEC＝27°＋45°＝72°。
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