初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数1 函数导学案

专题4.7  用待定系数法求一次函数解析式（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解待定系数法的含义；
2. 理解并掌握待定系数法的解题步骤；
3. 初步认识数形结合的思想。

【要点梳理】

要点一、待定系数法的内涵

待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

要点二、待定系数法求一次函数的解析式

    第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）;
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组;
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值;
第四步（写）：写出该函数的解析式。 

从数到形

从形到数

数学的基本思想方法：数形结合

【典型例题】

类型一、待定系数法求解析式-基础篇

1．已知一次函数的图象过和两点．

（1）求此一次函数的解析式；

（2）若点在这个函数图象上，求a．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把两个已知点的坐标代入得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入（1）中的解析式可求出a的值．

解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
把和代入得

，

解得．
所以此一次函数的解析式为；
（2）把代y=3x-1得3a-1=6，
所以．

【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法．

举一反三：

【变式1】已知一次函数的图象过点A（-5，0），B（0，-5）两点，求直线AB的解析式．

【答案】

【分析】设出解析式，用待定系数法求解即可．

解：设AB直线为.把A、B两点坐标代入得：

，解得

．

【点拨】本题考查了用待定系数法求解析式；关键在于能设出解析式，会应用待定系数法．

【变式2】如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2,

（2）点C的坐标是（2，2）.

【分析】待定系数法，直线上点的坐标与方程的．

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式．

（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），

∴，解得．

∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．

（2）设点C的坐标为（x，y），

∵S△BOC=2，∴•2•x=2，解得x=2．

∴y=2×2﹣2=2．

∴点C的坐标是（2，2）．

类型二、待定系数法求解析式-巩固篇

2．如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与直线交于点C，直线l与x轴交于点D．

（1）求直线的解析式：

（2）求点C的坐标；

（3）求的面积．

【答案】（1）y=-2x+8；（2）（2，4）；（3）18

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）联立y=-2x+8和y=x+2，求出x，代入其中一个解析式求出y值，即可得到点C；

（3）求出点D和点E坐标，利用△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积求出结果．

解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，

将A（5，-2），B（1，6）代入，

得：，解得：，

∴直线AB的解析式为：y=-2x+8；

（2）∵直线与直线y=x+2交于点C，

则令-2x+8=x+2，

解得：x=2，代入y=x+2，得y=4，

∴C（2，4）；

（3）∵直线l与x轴交于点D，

∴在y=x+2中，令y=0，则x=-2，

∴D（-2，0），设E为直线AB与x轴交点，

在y=-2x+8中，令y=0，则x=4，

∴E（4，0），

∴△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积==．

【点拨】本题考查了待定系数法求直线的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，能正确求出函数解析式，从而得到相应点的坐标是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．

（1）求k、b的值；

（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标．

【答案】（1）k=-1，b=4；（2）点D的坐标为（0，-4）．

分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．

解：（1）当x=1时，y=3x=3，

∴点C的坐标为（1，3）．

将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b，

得：，

解得：．

（2）当y=0时，有﹣x+4=0，

解得：x=4，

∴点B的坐标为（4，0）．

设点D的坐标为（0，m）（m＜0），

∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3，

解得：m=-4，

∴点D的坐标为（0，-4）．

【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC，找出关于m的一元一次方程．

【变式2】如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．

（1）求m的值及l2的解析式；

（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；

（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．

【答案】（1）m=2，l2的解析式为y=2x；（2）S△AOC﹣S△BOC=15；（3）k的值为或2或﹣．

【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；

（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；

（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣．

解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得

4=﹣m+5，

解得m=2，

∴C（2，4），

设l2的解析式为y=ax，则4=2a，

解得a=2，

∴l2的解析式为y=2x；

（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，

y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，

∴A（10，0），B（0，5），

∴AO=10，BO=5，

∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；

（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，

∴当l3经过点C（2，4）时，k=；

当l2，l3平行时，k=2；

当11，l3平行时，k=﹣；

故k的值为或2或﹣．

【点拨】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．

类型三、待定系数法求解析式-综合篇

3 如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．

（1）求一次函数解析式；

（2）求C点的坐标；

（3）求△AOD的面积．

【答案】（1）y=x+1；（2）C（0，1）；（3）1

试题分析：（1）首先根据正比例函数解析式求得m的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，令x=0求得点C的坐标；
（3）根据（1）中的解析式，令y=0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积．

试题解析：

解：（1）∵正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），
∴2m=2，
m=1．
把（1，2）和（-2，-1）代入y=kx+b，得

解得：

则一次函数解析式是y=x+1；

（2）令x=0，则y=1，即点C（0，1）；

（3）令y=0，则x=-1．

则△AOD的面积=.

【点拨】运用了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法．

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点在轴的负半轴上，且的面积为8，直线和直线相交于点．

（1）求直线的解析式；

（2）在线段上找一点，使得，线段与相交于点．

①求点的坐标；

②点在轴上，且，直接写出的长为　　．

【答案】（1）直线的解析式为；（2）①，，②满足条件的的值为8或．

【分析】（1）求出B，C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．

（2）①连接AD，利用全等三角形的性质，求出直线DF的解析式，构建方程组确定交点E坐标即可．

②如图1中，将线段FD绕点F顺时针旋转90°得到FG，作DE⊥y轴于E，GH⊥y轴于F．根据全等三角形，分两种情形分别求解即可．

解：（1）直线交轴于点，交轴于点，

，，

点在轴的负半轴上，且的面积为8，

，

，则，

设直线的解析式为即，

解得，

故直线的解析式为．

（2）①连接．

点是直线和直线的交点，故联立，

解得，即．

，故，且，

，，

，

，，

即，可求直线的解析式为，

点是直线和直线的交点，

故联立，解得，

即，．

②如图1中，将线段绕点顺时针旋转得到，作轴于I，轴于．

则，

，，

，，

直线的解析式为，

设直线交轴于，则，

，

．

作，则，

可得直线的解析式为，

，

，

综上所述，满足条件的的值为8或．

【点拨】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式,两条直线的交点，利用坐标求线段长度证全等，灵活运用一次函数以及全等是解题的关键.

【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM.

（1）菱形ABCO的边长　   　

（2）求直线AC的解析式；

（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，

①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式；

②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．

【答案】（1）5；（2）直线AC的解析式y=﹣x+；（3）见解析．

【分析】（1）Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；

（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；

（3）根据S△ABC=S△AMB+S△BMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AM上和在MC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．

解：（1）Rt△AOH中，

，

所以菱形边长为5；

故答案为5；

（2）∵四边形ABCO是菱形，

∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．

设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得

，解得，

直线AC的解析式；

（3）设M到直线BC的距离为h，

当x=0时，y=，即M（0，），，

由S△ABC=S△AMB+SBMC=AB•OH=AB•HM+BC•h，

×5×4=×5×+×5h，解得h=，

①当0＜t＜时，BP=BA﹣AP=5﹣2t，HM=OH﹣OM=，

S=BP•HM=×（5﹣2t）=﹣t+；

②当2.5＜t≤5时，BP=2t﹣5，h=，

S=BP•h=×（2t﹣5）=t﹣，

把S=3代入①中的函数解析式得，3=﹣t+，

解得：t=，

把S=3代入②的解析式得，3=t﹣，

解得：t=．

∴t=或．

【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线BC的距离h是关键．