北师大版八年级上册1 函数导学案

专题4.5  一次函数（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；

2.根据一次函数的条件列出解析式；

【要点梳理】

要点一、一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.

要点二、一次函数和正比例函数的关系

当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.

要点三、一次函数的表达式

     求解一次函数表达式时，应结合生产和生活实际，求解一次函数表达式。

【典型例题】

类型一、一次函数的识别

1．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）         （2）                 （3）

（4）          （5）    （6）

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）是一次函数，（2）是正比例函数

【分析】

首先对各选项中的函数关系式进行化简整理，结合一次函数的定义进行分析并作出判断；然后再对整理好的解析式根据正比例函数的定义进行分析判断．

解(1)，∵，，∴ 此函数是一次函数；

(2)，∵，，∴ 此函数是一次函数，也是正比例函数；

(3) ，∵，，∴ 此函数是一次函数；

(4)，∵，，∴ 此函数是一次函数；

(5)，∵，，∴ 此函数是一次函数；

(6)由得：，它与一次函数的形式不符，此函数不是一次函数．

【点拨】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，掌握相关函数的定义是解题的关键．

举一反三：

【变式1】下列函数中，哪些是一次函数？

                        （k，b是常数）

【答案】y=-2x是一次函数.

【分析】

根据一次函数的定义分别进行判断即可．

解（1）自变量x的次数为-1，不是一次函数；

（2）y=-2x是一次函数；

（3）y=x2+2属于二次函数，不是一次函数；

（4）当k=0时，y=kx+b（k、b是常数）是常函数，不是一次函数；

【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．

【变式2】写出下列各题中关于的函数关系式，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数．

（1）长方形的面积为20，长方形的长与宽之间的函数关系式；

（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价元与所买西瓜千克之间的函数关系式；

（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数与星期数之间的函数关系式；

（4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数元与月数之间的函数关系式．

【答案】（1），不是一次函数，也不是正比例函数；（2），是正比例函数，也是一次函数；（3），是一次函数，不是正比例函数；（4），是一次函数，不是正比例函数．

 【分析】

根据题意列出表达式，再根据一次函数及正比例函数的定义进行解答．

解（1），不是一次函数，也不是正比例函数．

（2），是正比例函数，也是一次函数．

（3），是一次函数，不是正比例函数．

（4），是一次函数，不是正比例函数．

【点拨】本题考查了一次函数、正比例函数的定义．一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．

类型二、据一次函数的定义求参数

2．已知函数y＝（k﹣1）x|k|+k2﹣4是关于x的一次函数，求（3k+2）2012的值．

【答案】1

【分析】先根据一次函数的定义求出k的值，然后代入(3k+2)2012计算即可

解：由题意得

|k|=1，且k-1≠0，

解得

k=-1，

∴(3k+2)2012=(-3+2)2012=1．

【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．

举一反三：

【变式1】已知．

（1）满足什么条件时，是一次函数？

（2）满足什么条件时，是正比例函数？

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）形如是一次函数，根据一次函数的定义解题；

（2）形如是正比例函数，根据正比例函数的定义解题.

解（1）：当时为一次函数，

解得．

（2）：当时为正比例函数，

解得．

【点拨】本题考查一次函数、正比例函数的定义，其中涉及绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

【变式2】已知函数．

（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；

（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．

【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为

【分析】

（1）根据一次函数的定义即可求出结论；

（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．

解：（1）由题意可得，n可以取任意实数

解得：m=-2

∴

∴当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；

（2）由题意可得，

解得：

∴

∴当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为．

【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．

类型三、求一次函数自变量或函数值

3 已知一次函数的图象经过点和点．当时，求函数y的值．

【答案】-14

【分析】把点（−1，4）和点（1，−2）代入y＝kx＋b得到一个关于k、b的方程组，从而求解．

解：因为一次函数y＝kx＋b的图象经过点（−1，4）和点（1，−2），

根据题意可得：，

解得：，

∴次函数的解析式为：y＝−3x+1，

把x＝5代入解析式可得：y＝−3×5+1＝−14．

【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确解方程组求出k、b的值是解题的关键．

【变式1】已知，则函数是什么函数？当x时，函数值y是多少？

【答案】一次函数，

【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再把a和b的值代入函数解析式即可判断出函数的种类，再把x的值代入求解即可．

解：∵，

∴，，

∴，

∴函数是一次函数，

当x时，

．

【点拨】本题考查的是一次函数的定义，要根据非负数的性质解答，初中非负数有三种：绝对值，偶次方，二次根式，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．

【变式2】已知函数是一次函数，求k和b的取值范围．

【答案】k＝﹣2，b是任意的常数

【分析】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量），因而函数是一次函数的条件是k2﹣3＝1，且k﹣2≠0．

解：根据题意得：

∵是一次函数，

∵k2﹣3＝1，且k﹣2≠0，

∴k＝﹣2或k＝2（舍去）

∴k＝﹣2．

b是任意的常数．

【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．

类型四、一次函数表达式

4．已知 y  2 与 x  1成正比例，且 x  3时 y  4 。

（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；

（2）当 y  1时，求 x 的值。

【答案】（1）y=3x-5；（2）2

【解析】

【分析】

（1）已知y+2与x-1成正比例，即可以设y+2=k（x-1），把x=3，y=4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；

（2）在解析式中令y=1即可求得x的值．

【详解】

解：（1）设y+2=k（x-1），把x=3，y=4代入得：4+2=k（3-1）

解得：k=3，

则函数的解析式是：y+2=3（x-1）

即y=3x-5；

（2）当y=1时，3x-5=1．解得x=2．

【点拨】

此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．

举一反三：

【变式1】若与成正比例，且当时，.

（1）求与的函数关系式

（2）如果点在该函数图象上，求的值.

【答案】（1）y=x+3；（2）m=2.

【分析】

（1）设y-1=k（x+2），把x=2，y=-5代入求出k的值，进而可得出y与x的函数关系式；
（2）直接把点（m，5）代入（1）中一次函数的解析式即可．

   解：（1）设  （）   

当x＝2时，y＝5   

5-1=(2+2)k             

∴k=1

当K＝10时

y-1=x+2

y=x+3

（2）当点（m，5）在该函数图象上

∴5=m+3

∴m=2

【点拨】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解答此题的关键．

【变式2】已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x．

（1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）；

（2）当x＝3时，求y的值．

【答案】（1）y＝10﹣x；（2）7．

【分析】

（1）根据矩形周长公式得到x与y的关系，进而得到y关于x的函数解析式；

（2）把x＝3代入（1）中解析式即可．

解：（1）依题意得2x+2y＝20，

即y＝10﹣x，

∴y关于x的函数解析式为y＝10﹣x．

（2）把x＝3代入y＝10﹣x，得：

y＝10﹣3＝7，

∴x＝3时，y的值为7．

【点拨】本题考查一次函数解析式，以及函数的值；根据矩形的周长公式得到x与y的关系是解题关键．