初中数学北师大版八年级上册2 一定是直角三角形吗学案

专题1.3  一定是直角三角形吗（知识讲解）

【学习目标】

 1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

 【要点梳理】

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

         （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定最大边（如）.

（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

　【典型例题】

类型一、勾股定理的证明方法

1．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形说明；

【答案】见解析

【分析】根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．

解：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，

∴，

即．

【点拨】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．

举一反三：

【变式1】 数学课上，同学们就勾股定理的验证方法展开热烈的讨论．下面是创新小组验证过程的一部分．请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整．

如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中，，，，，点在线段上，点，在边异侧，拼成的，

试说明：．

验证如下：连接，．

∵点在线段上，

∴．

∵．

【答案】见解析

【分析】由图可结合等积法进行代入求解即可．

解：过程如下：

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题主要考查勾股定理的证明，关键是根据图中的面积法进行验证勾股定理即可．

【变式2】如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）

【答案】详见解析

【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．

解：证明：∵．

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．

【变式3】 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”． 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理．

【答案】见解析

【分析】梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证．

解：如图，

梯形的面积==，

化简可得：=，得证．

【点拨】此题考查了勾股定理的证明，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．

类型二、以弦图为背景的计算题

2．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．

【答案】

【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出，，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．

解：小正方形面积=

4个小直角三角形的面积=

∴

∴

【点拨】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图所示，以的三边为直径分别向外作三个半圆，已如以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半国的面积为．

（1）求证：；

（2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰直角三角形，如图所示，探究（1）中的结论是否仍成立？

【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析.

【解析】

【分析】（1）根据半圆的面积求法分别求出，，，然后根据勾股定理即可得到结论；

（2）根据等腰直角三角形的面积求法分别求出，，，然后根据勾股定理即可得到结论；

解：（1），，，

∵，

；

（2）成立，

，，，

∵，

.

【点拨】该题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．

【变式2】勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．

（1）请利用面积相等证明勾股定理；

（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；

（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4

【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；

（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；

（3）分别求出正方形，正方形，正方形的边长，求出其面积，代入，进一步整理可得解．

解：（1）∵

∴，

∴小正方形的边长=

又大正方形的边长为

∴正方形的面积为，4个全等直角三角形的面积和为，正方形的面积为，

由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;

∴

经过整理可得

（2）∵大正方形的面积是13，

∴

∵，且

∴

∴(负值舍去)

∴

∴小正方形的面积为1；

（3）∵正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，

∴，，

∴正方形的边长为，

∴正方形的面积为．

而正方形的边长为，正方形的边长为，

∴正方形的面积为，正方形的面积为，

∴，

整理得，，

∴（负值舍去）

【点拨】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．

【变式3】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．

（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；

（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；

（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1＋S2＋S3＝16，则S2＝　   ．

【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24；（3）．

【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；

（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；

（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．

解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，

即b2﹣2ab＋a2＝c2﹣2ab，

则a2＋b2＝c2．

（2）24÷4＝6，

设AC＝x，依题意有

（x＋3）2＋32＝（6﹣x）2，

解得：x＝1，

×（3＋1）×3×4

＝×4×3×4

＝24．

故该飞镖状图案的面积是24．

（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1＋S2＋S3＝16，

∴S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x，

∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝16，

∴x＋4y＝，

∴S2＝x＋4y＝．

故填：．

【点拨】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法，还考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1＋S2＋S3＝40求出是解决问题的关键．

类型三、以勾股定理构造图形解决问题

3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：

如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，求池水的深度．

【答案】池水的深度为12尺

【分析】设池水的深度为x尺，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．

解：设池水的深度为x尺，

由题意得，（x+1）2＝x2+（）2，

解得，x＝12，

答：池水的深度为12尺．

【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．

【变式1】 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．

【答案】12米

【分析】设AD为x米，则AB为（10+x）米，根据两只猴子经过的路程一样AC为（15-x）米，BC=15-10=5（米）在Rt△ABC中，∠B=90°，则满足AB2+BC2=AC2，解方程可以求x的值，即可计算树高AB=（10+x）米．

解：设AD为x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，

∵BC=15-10=5（米），

则列方程：，

解得：x=2，

∴AB=10+2=12（米），

答：树高AB是12米．

【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，在题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．

【变式2】 如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点为米远的点处同时开始测量，点为终点．小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由．

【答案】能，米

【分析】设BC=a米，AC=b米，AD=x米，根据勾股定理即可得到结论．

解：Rt△ABC中，∠B=90°，

设BC=a米，AC=b米，AD=x米，

则9+a=x+b=18，

∴a=9米，b=18-x（米），

又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（9+x）2+a2=b2，

∴（9+x）2+92=（18-x）2，

解得：x=3，即AD=3（米），

∴AB=AD+DB=3+9=12米，BC=9米，AC=15米，

∴×5×12=×13h，

解得：h=米，

答：这个直角三角花台底边上的高为米．

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

【变式3】 Rt△AB C中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，△ABP为直角三角形？

【答案】4或12.5

【分析】分当∠AP1B=90°，△ABP1为直角三角形时和当∠BAP2=90°，△ABP2为直角三角形时两种情况讨论即可．

解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：

BC2+AC2=AB2

∴BC2+62=102

∴BC=8，

当∠AP1B=90°，△ABP1为直角三角形时，P1在C处，即BP1=8，

∴8÷2=4（s）；

当∠BAP2=90°，△ABP2为直角三角形时，

设BP2为x，则CP2=x-8

在△ACP2中，由勾股定理得：

AC2+CP22=AP22

∴62+（x-8）2=AP22

在△BAP2中，由勾股定理得：

AB2+AP22=BP22

∴AP22= BP22- AB2=x2-102

∴x2-102=62+（x-8）2

∴x=12.5．

【点拨】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用．

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