初中北师大版2 一定是直角三角形吗导学案

这是一份初中北师大版2 一定是直角三角形吗导学案，共5页。学案主要包含了典型例题等内容，欢迎下载使用。

学习目标：


经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。


掌握勾股定理逆定理和他的简单应用


重点难点：


重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题


难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题


1．把握勾股定理的逆定理；


2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。


学习过程


1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：


a+b= c，那么这个三角形是直角三角形。


注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。


1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：


（1）首先求出最大边（如c）；


（2）验证a+b与c是否具有相等关系；


若c2=a2+b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。


若c2 ≠a2+b，则△ABC不是直角三角形。


2．直角三角形的判定方法小结：


（1）三角形中有两个角互余；


（2）勾股定理的逆定理；


3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。


四、典型例题


例1. 在中，，于D，求证：


（1）


（2）


分析：在图中有与三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。


证明：


（1）





（2）又








即





例2、 已知中，，求AC边上的高线的长。


分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。


解：


为，且


作于D


设，则








答：AC边上的高线长为。




















例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，





求证：AB2－AD2=BD·DC


思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。


由AB=ACBE=EC


结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得


AB2－AD2=BE2－DE2


AB2=AE2+BE2


AD2=AE2+DE2


由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是


AB2－AD2=BD·CD


AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)


结合图形知：BE+DE=BD


BE－DE=CE－DE=CD








例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四边形ABCD


思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求


AC2=AB2+BC2=32+42=25


在△CAD中，我们又可发现：


AC2+AD2=25+122=169


DC2=132=169


∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知


∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°


此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。


S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD








例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且EC = , 求证: EFA = 90


分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。


证明: 设正方形ABCD的边长为4a


则EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a


在RtABE中


在RtADF中


在RtECF中


由上述结果可得


由勾股定理逆定理可知AEF为Rt, 且AE是最大边, 即AFE = 90





例6、 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。


思路分析：依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有 EF2=AE2+AF2


设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 ①








本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.