北师大版八年级上册2 平方根导学案

这是一份北师大版八年级上册2 平方根导学案，共23页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题2.1 平方根（知识讲解）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质


知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】
类型一、求一个数的平方根
1．计算：．
【答案】2．
【分析】根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．
解：

．
【点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键．
【变式1】计算：．
【答案】解：-1
【分析】按照绝对值、乘方、算术平方根法则进行计算即可．
解：原式

．
【点拨】本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算，解题关键是熟练掌握相关法则并准确进行计算．
【变式2】计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
【答案】3+2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|
＝4﹣8×0.125+1+2﹣1
＝4﹣1+1+2﹣1
＝3+2．
【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
类型二、利用算术平方根非负性求解
2．已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒
【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；
（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；
②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．
解：（1）∵，
∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，
∴a=-3，b=1，c=5，
数轴表示如下：

（2）①由题意可得：1.5秒后，
点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，
点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，
0.5-（-1.5）=2，
∴A，C两点相距2个单位长度；
②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，
若点A在点C左侧，
则-3+t+4=5-3t，
解得：t=1；
若点A在点C右侧，
则-3+t=5-3t+4，
解得：t=3，
综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【点拨】本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，解题的关键是理解运动过程，掌握数轴上两点间距离的表示方法．
举一反三：
【变式1】 解答下列各题．
（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）依据非负数的性质，即可得到a，b的值，进而得出 的值．
（2）依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的值，进而得到的值．
解：（1）∵，
∴，
解得 ，
又∵ab＜0，
∴ ，
∴＝[3﹣(﹣2)]-2＝5-2＝．
（2）∵，
∴，
解得x＝5，
∴y＝1，
∴==5．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及非负数的性质，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
【变式2】先化简，再求值：，其中与互为相反数．
【答案】ab；-6．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab）
=2a2-2ab-2a2+3ab
= ab，
∵与互为相反数，
∴|a+2|+=0，
∴a+2=0，，
解得：a=-2，，
当a=-2，b=3时，
原式=-6．
【点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分
3．已知a为的整数部分，b－1是400的算术平方根，求的值．
【答案】6
试题分析：首先得出的范围进而得出a的值，进而利用算术平方根的定义得出b的值，即可得出答案．
试题解析：
解：∵a为的整数部分，＜＜，
∴a＝15，
∵b－1是400的算术平方根，
∴b－1＝20，
解得：b＝21，
∴＝＝6．
【点拨】：此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a的值是解题关键．
举一反三：
【变式1】 设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
【变式2】已知＝3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+3c的平方根．
【答案】a =5、 b =2、c =6；a+b+3c的平方根是±5
解：分析：根据求出a的值，根据3a+b-1的平方根是±4求出b的值，根据c是的整数部分求出c的值，把求得的值代入a+b+3c，然后求出入a+b+3c的平方根即可.
详解：∵，
∴，
a=5；
∵3a+b-1的平方根是±4，
∴3a+b-1=16，
b=2;
∵c是的整数部分,6<<7,
∴c=6;
∴a+b+3c=5+2+18=25,
∴a+b+3c的平方根是.
【点拨】：本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键.
类型四、与算术平方根的规律问题
4填写下表，仔细观察后回答下列问题：
x
0


1
4
9
16








（1）当正数x的值逐渐增大时，x的算术平方根的变化规律是 ．
（2）假设0＜x1＜x2，则与的大小关系是 ．
（3）从表中你还发现一个正数n的算术平方根与n的大小关系．
【答案】（1）逐渐增大；（2）<；（3）当0＜n＜1时，，当时≤n．
【分析】（1）根据算术平方根的意义，可得答案，从而找到规律；
（2）根据表格可得：被开方数越大，算术平方根越大；
（3）根据表格分两种情况可得出算术平方根与n的大小关系结论.
解：补全表格如下：
x
0


1
4
9
16

0


1
2
3
4
（1）当正数x的值逐渐增大时，x的算术平方根的变化规律是逐渐增大
故答案为：逐渐增大；
（2）根据表格可得0＜x1＜x2时，<
故答案为<；
（3）根据表格可得：
当0＜n＜1时，，当时≤n．
【点拨】本题考查了算术平方根，解题的关键理解题意，认真观察找出算术平方根与正数的关系．
举一反三：
【变式1】 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得.请同学们观察下表：

16
0.16
0.0016
1600
160000
…

4
0.4
0.04
40
400
…
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来）
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：
①0.0206；②2060000.
【答案】（1）（说法不唯一，合理即可）被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位;（2）①；②.
【分析】（1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可；
（2）①根据（1）总结的规律，计算即可；
②根据（1）总结的规律，计算即可；
解：（1）由表可知：被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位（说法不唯一，合理即可）;
（2）①根据（1）总结规律，；
②根据（1）总结规律，．
【点拨】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解决此题的关键．
【变式2】计算下列各式并观察：
①________，②________，③________，④________，通过上述各式，你能发现什么规律，用自己的语言叙述出来：__________________.
【答案】①90；
②9；
③0.9；
④0.09;
（5）一个数缩小为原来的，则它的算术平方根变为原来的
【分析】根据算术平方根的定义直接求出8100，81，0.81，0.0081的算术平方根，进而得出数据变化规律．
解：根据算术平方根的求法得出：
①，②，③，④，通过上述各式，发现的规律是：一个数缩小为原来的则它的算术平方根变为原来的．
【点拨】此题主要考查算术平方根的求法以及数据变化规律等知识点，根据已知得出数据变化规律是中考的考查重点，同学们应重点掌握．
类型五、算术平方根的实际应用
5如图所示的方格，请画出2个不同的正方形，满足以下条件①面积小于9；②所画正方形的顶点都在方格的顶点上，③边长是无理数，并写出面积，边长．

面积为_______ 面积为_______
边长为_______ 边长为_______
【分析】根据题意画出图形，如图所示，求出面积，利用算术平方根的定义求出边长即可．
解：根据题意得：

第一个图中，面积为5，边长为；
第二个图中，面积为2，边长为．
【点拨】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】 列方程解应用题
小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3:2，纸片面积为294cm2．
（1）请你帮小明求出纸片的周长；
（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14）
【答案】（1）纸片的周长为70cm；（2）小明不能裁出想要的圆形纸片．理由见解析．
【分析】（1）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，根据长方面的面积列方程求解，从而求得纸片周长；
（2）设完整圆形纸片的半径为rcm，根据圆的面积公式列方程求得半径长，从而求解．
解：（1）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
得 3x·2x=294
∵x>0，∴x=7
∴长方形的长为21cm，宽为14cm
∴2（21+14）=70cm
答：纸片的周长为70cm；
（2）小明不能裁出想要的圆形纸片，理由如下：
设完整圆形纸片的半径为rcm，
得 3.14r2=157 解得： r=（负值舍去）
∴r=
∵>7 ∴2 r=2>14
∴小明不能裁出想要的圆形纸片．
【点拨】本题考查算术平方根的实际应用，准确理解题意列方程求解是解题关键．
【变式2】（1）已知，且，求的值
（2）已知数a与b互为相反数，c与d互为倒数，，求式子的值．
（3）已知，，z是9的算术平方根，求的平方根．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】由已知分别得到或，，进而确定满足题意；
由已知可知，，，代入所求式子即可；
由已知可知，，，代入所求式子即可．
解：，
或，
，
，
，
；
与b互为相反数，
，
与d互为倒数，
，
，
，
；
，
，
，
，
是9的算术平方根，
，
．
∴2x+y-z的算术平方根为
【点拨】本题考查实数的性质；熟练掌握相反数、倒数、平方根、绝对值的性质是解题的关键．
类型六、平方根概念的理解
6 已知：实数，满足．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数的两个平方根分别为和时，求的值．
【答案】（1），；（2）4
【分析】（1）根据二次根式和平方的非负性可得到，，运算求解即可；
（2）根据一个正数的平方根为一对相反数，列式运算即可．
解：（1），；
（2）依题意，得．
即．
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，一个数平方根，熟悉掌握概念是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知和是一个正数的两个不同的平方根，求m的值和这个正数．
【答案】m=5，这个正数是49．
【分析】由平方根的性质列出关于m的方程，代入2m-3或m-12可得这个正数．
解：根据题意知2m-3+ m-12=0，
解得m=5，
则2m-3=7，m-12=-7，
∴这个正数的两个平方根是±7，
故这个正数是49．
【点拨】本题考查了平方根，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
【变式2】已知3a－1的算术平方根是，2是3a+b－1的平方根，求a＋2b的平方根．
【答案】．
【分析】根据算术平方根和平方根的定义可求出a、b的值，代入，即可求出的平方根．
解：根据题意可知，解得．
将代入得：，
即2是的平方根，
∴，解得，
∴．
∴的平方根是．
【点拨】本题考查算术平方根和平方根，特别注意算术平方根和平方根的区别．
类型七、求一个数的平方根
7 已知一个正数m的两个不同的平方根是2a＋3和1－3a，求m的值．
【答案】121
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0，求出a的值，然后求出这个数的平方根，最后根据平方根的平方即可求出m的值．
解：根据题意得：(2a+3)+(1-3a)=0，
2a+3+1-3a=0，
解得：a=4，
∴这个数的其中一个平方根为2×4+3=11
∴m=112=121．
【点拨】本题考查平方根的定义，熟练掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为0．
举一反三：
【变式1】 （1）已知，是9的算术平方根，___________________________的平方根＝___________．
（2）已知数与互为相反数，与互为倒数，，式子____________．
（3）已知，且，则__________
【答案】（1）5，4，3，；（2）；（3）6或-6或0
【分析】（1）根据算术平方根的定义求出x，y，z，再代入计算，最后求出的平方根；
（2）根据相反数，倒数，有理数的加法得到a+b=0，cd=1，x=-2，再代入计算；
（3）根据绝对值的意义和性质得到x和y的取值，再代入计算．
解：（1）∵，是9的算术平方根，
∴x=5，y=4，z=3，
∴==11，
∴的平方根为；
（2）∵与互为相反数，与互为倒数，，
∴a+b=0，cd=1，x=-2，
∴==；
（3）∵，
∴x=±3，y=±3，
∵，
∴x+y≤0，
∴x=3，y=-3，或x=-3，y=3，或x=-3，y=-3，
∴6或-6或0．
【点拨】本题考查了代数式求值，相反数，倒数的定义，算术平方根和平方根的定义，属于基础知识，要熟练掌握相应的运算方法．
【变式2】若+|b—1|+（c—）2=0，求a＋b的平方根及c的值．
【答案】a＋b的平方根是±，c的值是．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：由题意得，3a−6＝0，b−1＝0，c−＝0，
解得a＝2，b＝1，c＝，
a＋b＝2＋1＝3，
所以，a＋b的平方根是±，c的值是．
【点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
类型八、求代数式的平方根
8 已知，，求下列各式的值．
（1）；（2）
【答案】(1) ；(2)．
【分析】(1) 根据x2+y2=（x-y）2+2xy，把已知的式子代入即可求解．
(2)根据 ，求出，再开方求x+y即可．
解：，，
(1)
(2) ，
∴．
【点拨】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题关键．
举一反三：
【变式1】 已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．
【答案】
【分析】根据题意可求出及的值，从而可得出a与b的值，继而可求出的平方根．
解：由题意得：，，
解得：，，
∴，
∴的平方根为：．
【点拨】本题主要考查了平方根，难度不大，解题的关键是求a、b的值．
【变式2】 已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
【答案】±．
【分析】分别根据2b+1的平方根是±3，3a+2b-1的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出2b+3a的值，求出其平方根即可．
解：由题意可知：
2b+1=（±3）2=9，
∴b=4，
3a+2b-1=42=16，
∴3a+8-1=16，
∴a=3，
∴2b+3a=8+9=17，
∴2b+3a的平方根±．
【点拨】本题考查的是平方根和算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键．
类型九、已知一个数的平方根，求这个数
9 先化简再求值：，其中．
【答案】；-2
【分析】先用乘法公式和整式运算法则进行化简，再代入求值即可．
解：，
，
，
，
∴原式；
【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算．
举一反三：
【变式1】 已知．
（1）已知的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果都是同一个数的平方根，求这个数．
【答案】（1）a=-8；（2）1或9．
【分析】（1）根据平方运算，可得（1-a）的值，求解可得答案；
（2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得a的值，根据平方运算，可得答案．
解：（1）∵x的算术平方根是3，
∴1-a=9，
∴a=-8；
（2）x，y都是同一个数的平方根，
∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0，
解得a=2，或a=4，
当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1，
当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9，
答：这个数是1或9．
【点拨】本题考查了平方根和算术平方根，注意第（2）问符合条件的答案有两个，小心漏解．
【变式2】已知2a-1的平方根为±3，3a+b-1的算术平方根为4．
（1）求a、b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
【答案】（1）a=5，b=2；（2）3．
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值即可；
（2）把a，b的值代入代数式进行计算即可得解．
解：（1）∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，
∴a=5，
∵3a+b-1的算术平方根是4，
∴3a+b-1=16，
∴3×5+b-1=16，
∴b=2，
（2）把a=5，b=2代入a+2b得：
a+2b=5+2×2=9
a+2b的算术平方根是3．
【点拨】本题考查了算术平方根与平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
类型十、利用平方根解方程
10求式中的值：．
【答案】
【分析】结合题意，根据平方根的性质计算，即可得到答案．
解：∵
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的性质，从而完成求解．
举一反三：
【变式1】 解方程．
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2），；（3），．
【分析】（1）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（2）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（3）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
解：（1）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
（2）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
即或，
解得，；
（3）移项得：
两边同时开平方得：；
即或，
解得，．
【点拨】本题考查利用平方根解方程．解题思想是两边同时开平方，降次，将二次降为一次求解．
【变式2】解方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）移项、系数化为1后，两边直接开平方即可；
（2）两边同时开平方，解关于x的一元一次方程即可．
解：（1），
移项得：，
系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
（2），
两边同时开平方得：，
即，
，．
【点拨】本题考查利用平方根解方程．其原理就是两边同时开平方，降次，将二次方程化为一次方程求解．
类型十、平方根的应用
11已知的算术平方根是3，的平方根是±4，是的10倍，求的平方根．
【答案】．
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a，b的方程组，求得a，b的值，然后求得c的值，接下来求得的值，最后求它的算术平方即可．
解：由题意得，
∴a=5，b=2，
∵，0.3×10=3，
∴c=3，
∴，
∴的平方根是．
【点拨】可不是主要考查了算术平方根和平方根的定义，熟练掌握相关定义和方法是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知＝x，＝2，z是9的平方根，求2x＋y－5z的值．
【答案】值为－1或29
分析：根据算术平方根和平方根的定义求出x、y、z的值，然后代入代数式求值即可．
解：∵＝x，
∴x＝5，
又∵＝2，
∴y＝4，
又∵z是9的平方根，
∴z＝±3，
∴分两种情况：
当z＝＋3时，2x＋y−5z＝2×5＋4−5×3＝−1；
当z＝−3时，2x＋y−5z＝2×5＋4−5×（−3）＝29．
综上所述，2x＋y－5z的值为－1或29.
【点拨】：此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
【变式2】把一个长为、宽为的长方形（），沿图1中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，并将块小长方形彼此不重叠拼成一个正方形（如图2）
（1）图2中大正方形的边长为 ；小正方形（阴影部分）的边长为 ．（用含的代数式表示）．
（2）利用图2存在的面积关系，直接写出下列三个代数式之间的等量关系： ．
（3）如图3，已知长方形的周长为，面积为，试求该长方形长与宽的差．

【答案】（1）a+b，a-b；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）.
【分析】（1）由操作可知，图1中每个小长方形的长为a，宽为b，根据图2求出边长即可；
（2）由每个小长方形的长为a，宽为b，可得每个小长方形的面积为ab，根据图2中阴影部分的面积表示即可得解；
（3）设长方形长为2a，宽为2b，由长方形的周长为，面积为，可得2（a+b）=3，4ab=1，由（2）的结论可得，得到，进而求出的值即可.
解：（1）由操作可知，图1中每个小长方形的长为a，宽为b，
则图2中大正方形的边长为a+b，小正方形（阴影部分）的边长为a-b；
故答案为a+b，a-b；
（2）∵每个小长方形的长为a，宽为b，
∴每个小长方形的面积为ab，
∴（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）设长方形长为2a，宽为2b，
∵长方形的周长为，面积为，
∴2（a+b）=3，4ab=1，
∵（a-b）2=（a+b）2-4ab，
∴，
∴或（不合题意，舍去）．
∴，
即该长方形长与宽的差为.
【点拨】本题主要考查完全平方公式，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．