初中数学第六章 一次函数6.5 一次函数与二元一次方程练习题

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6.5 一次函数与二元一次方程

1．（2022·江苏无锡·八年级期末）平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，若点在的内部，则的取值范围为（       ）
A．或 B． C． D．
2．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，直线l1：y＝2x＋b与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，3），则关于x，y的方程组的解为 __________________．

3．（2022·江苏盐城·八年级期末）平面直角坐标系中两直线与如图，则方程组的解是______．

4．（2022·江苏泰州·八年级期末）若直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为______．
5．（2022·江苏南京·八年级期末）已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组的解是_____．
6．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是_____．

7．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，已知一次函数y＝ax＋b的图像与y＝kx的图像相交于点P，则二元一次方程组的解是________．

8．（2022·江苏江苏·八年级期末）一次函数与的图像交点坐标为______．
9．（2022·江苏扬州·八年级期末）若一次函数与的图象交点恰好在一次函数的图象上，则方程组
的解为________．
10．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，直线与直线交于P，则方程组的解是____．

11．（2022·江苏·射阳县第六中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则方程组的解为_____________．

12．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：


(1)求过点P（1，4）且与已知直线y＝﹣2x﹣1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
(2)设（1）中的直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝﹣2x﹣1分别与x轴、y轴交于C、D两点，求四边形ABCD的面积．
13．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，过点C（0，1）的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P（a，2）．

(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积．
14．（2022·江苏镇江·八年级期末）若一次函数y＝kx+b的图像平行于直线y＝﹣x+2，且经过点(﹣2，0)．
(1)试求k、b的值；
(2)求一次函数y＝kx+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积．
15．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，一次函数与y轴交于点C，点A的坐标为．


(1)试判断点A是否在此函数图像上；
(2)若P为y轴上一点，且△APC的面积为6，求点P的坐标．
16．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴正半轴交于点A，与一次函数y＝2x﹣3的图像交于点B（m，1），且OA＝4

(1)求k，b的值；
(2)求一次函数y＝kx＋b，y＝2x﹣3的图像与x轴所围成的三角形的面积．
17．（2022·江苏苏州·八年级期末）如图，已知直线：与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．

(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求四边形的面积．
18．（2022·江苏淮安·八年级期末）一次函数的图像经过点和两点．
(1)求出该一次函数的表达式；
(2)判断是否在这个函数的图像上？
(3)求出该函数图像与坐标轴围成的三角形面积．
19．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与过点的一次函数的图像相交于点．

(1)求一次函数图像相应的函数表达式；
(2)求的面积．
20．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．

(1)求直线l2的函数表达式；
(2)试说明CD＝CE．
(3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．

参考答案：
1．C
【解析】由求出A，B的坐标，根据点的坐标得到点在直线上，求出直线与y轴交点C的坐标，解方程组求出交点E的坐标，即可得到关于m的不等式组，解之求出答案．
解：当中y=0时，得x=-9；x=0时，得y=12，
∴A（-9，0），B（0，12），
∵点的坐标为，
当m=1时，P（3，0）；当m=2时，P（6，-4），
设点P所在的直线解析式为y=kx+b，将（3，0），（6，-4）代入，
∴，
∴点在直线上，
当x=0时，y=4，∴C（0，4），
，解得，∴E（-3，8），
∵点在的内部，
∴，
∴-1 故选：C．
．
此题考查了一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数图象的交点，解一元一次不等式组，确定点在直线上是解题的关键．
2．
【解析】由二元一次方程组与一次函数的关系判断即可得到答案．
解：∵由二元一次方程组与一次函数的关系可知，两条直线的交点坐标即为关于x，y的二元一次方程组的解，反之，成立，
∴关于x，y的方程组的解为：
故答案为：
本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，熟记相关的知识点是解题的重点．
3．
【解析】根据两直线的交点与二元一次方程组的解的关系并观察图象，即可得到答案．
解：由题意知二元一次方程组的解为直线与直线的交点的横、纵坐标
∴由图象知方程组的解为．
本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系．解题的关键在于明确二元一次方程组的解为两直线的交点的横、纵坐标．体会数形结合的思想．
4．(3，5)
【解析】观察直线的解析式，得到直线l1与直线l2分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3与直线l4，故直线l3与直线l4的交点坐标为点(-1， 2)向右平移4个单位，再向上平移3个单位对应的点的坐标．
解：直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到
直线l3：y=k(x-4)+b+ 3(k≠0)与直线l4：y=s(x-4)+t+3(s≠0)，
∵直线l1： y= kx+ b(k≠0)与直线l2：y= sx+ t(s≠0)的交点坐标为(-1，2)，
∴直线l3： y=k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4： y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)的交点坐标为(-1 +4，2+3)，即(3， 5)，
故答案为(3， 5)．
本题考查两条直线相交或平行问题，明确直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3：y= k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4：y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)是解题的关键．
5． ．
【解析】直接根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案.
∵一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），
∴则关于x、y的二元一次方程组的解是
.
本题考查了两函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解这一性质，从而直接求解.
6．
【解析】先把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，则两个一次函数的交点P的坐标为（1，2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
解：把代入，得出，
函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式，
所以关于，的方程组的解是．
故答案为．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．
【解析】结合图象，根据一次函数图象与二元一次方程组的关系即可得出答案．
两条一次函数的交点坐标，即对应的二元一次方程组的解，
因为从图中可以看出交点P(1,1)，所以二元一次方程组的解是，
故答案为：．
本题考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，熟练掌握性质和数形结合思想是本题的关键．
8．
【解析】两函数解析式联立方程组，求出方程组的解即可．
解：联立方程组，得：
，
解得，
∴一次函数与的图像交点坐标为（）
故答案为：．
本题考查了两直线交点坐标的求法，联立方程组是解答此类试题的常用方法．
9．
【解析】将已知函数关系式联立方程组，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得．
解：由解得，
∴一次函数y=3x与一次函数y=2x-2的交点的坐标为（-2，-6），
∴方程组的解为．
故答案为：．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是掌握两个一次函数的交点即为方程组的解．
10．
解：∵直线与直线交于P，
∴方程组的解为：，
故答案为：.
11．
【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标进行判断即可得解．
解：∵函数与的图像交于点
∴方程组即的解为：．
故答案是：
本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
12．(1)y＝﹣2x+6，见解析
(2)

【解析】（1）根据直线l与直线平行，设直线l的解析式为，再将点代入即可求解；
（2）根据直线与直线的解析式，求出点A、B、C、D的坐标，再利用即可求解．
（1）解：∵直线l与直线平行∴设直线l的解析式为∵过点∴解得：∴直线l的解析式为：
（2）如图，
令，得，令，得∴C点的坐标为，D点的坐标为，令，得，令，得，∴点A的坐标，点B的坐标为∴AC=OA+OC=3+= ∴．
本题主要考查了用待定系数法求一次函数、一次函数的性质以及一次函数与坐标轴所构成的几何图形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会将不规则图形分割呈规则几何图形．
13．(1)y＝﹣x+1
(2)

【解析】（1）把点P（a，2）代入y＝2x+4，得到P的坐标为（﹣1，2），设直线l1的解析式为：y＝kx+b，利用待定系数法即可得到结论；
（2）根据l1与x轴相交于B点，得到B的坐标为（1，0），由直线l2与x轴相交于A点，得到A点的坐标为（﹣2，0），根据三角形的面积公式即可得到结论．
(1)
解：∵点P（a，2）在直线y＝2x+4上，
∴2a+4＝2，
∴a＝﹣1，
则P的坐标为（﹣1，2），
设直线l1的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1；
(2)
∵l1与x轴相交于B点，
∴B的坐标为（1，0），
∵直线l2与x轴相交于A点，
∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC3×21×1．
本题考查了两直线相交问题，待定系数法求得一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
14．(1)k=-1，b=-2；
(2)

【解析】（1）根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解；
（2）首先求得函数y=-x-2与x轴、y轴的交点坐标，进一步利用三角形的面积求得答案即可．
（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=-x+2，∴k=-1，∴把点（-2，0）代入y=-x+b得，0=-（-2）+b，解得b=-2，∴k=-1，b=-2；
（2）解：由（1）得k=-1，b=-2，∴一次函数的解析式为y=-x-2，∵函数y=-x-2与x轴、y轴的交点分别为（-2，0）和（0，-2），∴所围成的三角形的面积=．
本题考查一次函数的应用．（1）中需注意两个一次函数平行k值相等；（2）中能正确求得函数与坐标轴的交点是解题关键．
15．(1)在
(2)（0，﹣7）（0，5）

【解析】（1）根据一次函数的定义列得m-1=1，求出m，即可判断；
（2）设点P的坐标为（0，n），由△APC的面积为6，列得，求出n值即可得到点P的坐标．
(1)
解：∵是一次函数，
∴m-1=1，
解得m=2，
∴点A的坐标为（2，3），一次函数解析式为y=2x-1，
当x=2时，y=4-1=3，
∴点A在此函数图象上；
(2)
设点P的坐标为（0，n），
∵△APC的面积为6，点C（0，-1），
∴，
解得n=5或n=-7，
∴点P的坐标为（0，-7）或（0，5）．
此题考查了一次函数的定义，一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与图形面积问题，正确掌握一次函数的综合知识是解题的关键．
16．(1)
(2)

【解析】（1）根据点B（m，1）在一次函数y＝2x﹣3的图像上，求出m的值，从而求出B点坐标，由A、B两点坐标代入一次函数y＝kx＋b列出方程组求出结果；
（2）设一次函数y = 2x一3的图象与x轴的交点为C，求出C点坐标，根据三角形面积公式即可求得结论．
(1)
解： 点B（m，1）在一次函数y＝2x﹣3的图像上，

解得m=2，
B（2，1），
OA＝4，A在x轴上，
A（4，0），
A（4，0），B（2，1）两点在一次函数y＝kx＋b的图像上，
，解得，
(2)
解：如图1，

直线BC：y＝2x﹣3，
C（，0），
A （4，2），B（2，1），
．
答：图像与x轴所围成的三角形的面积为．
此题考查了待定系数法求函数解析式，两直线平行或相交问题，三角形的面积．利用待定系数法求出函数解析式，进而求出函数与坐标轴的交点是解题的关键．
17．(1)y=-x+4
(2)7

【解析】（1）由直线l1：y=kx-2与直线y=x平行，得到直线l1为y=x-2，进而求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l2对应的函数表达式；
（2）根据两直线的解析式求得A、D的坐标，然后根据S四边形ABCE=S△COD-S△AED求解即可．
【小题1】解：∵直线l1：y=kx-2与直线y=x平行，
∴k=1，
∴直线l1为y=x-2，
∵点E（3，m）在直线l1上，
∴m=3-2=1，
∴E（3，1），
设直线l2的解析式为y=ax+b，
把C（0，4），E（3，1）代入得，
解得：，
∴直线l2的解析式为y=-x+4；
【小题2】在直线l1：y=x-2中，令y=0，则x-2=0，
解得x=2，
∴A（2，0），
在直线l2：y=-x+4中，令y=0，则-x+4=0，
解得x=4，
∴D（4，0），
∴S△COD=×4×4=8，S△AED=（4-2）×1=1，
∴S四边形ABCE=S△COD-S△AED=8-1=7．
故四边形AOCE的面积是7．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
18．(1)；
(2)点不在这个函数的图象上，理由见解析；
(3)．

【解析】（1）利用待定系数法解题即可；
（2）把代入一次函数的表达式中，求出y的值，判断是否为-4，即可得出结论；
（3）分别解出一次函数图象与x轴、y轴的交点，再用三角形面积公式解题．
(1)
解：设一次函数的表达式为，代入点和点得，


一次函数的表达式为；
(2)
把代入中得

即点不在这个函数的图象上；
(3)
由（1）知一次函数的表达式为
令
令

该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的特征、三角形面积公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．(1)
(2)12

【解析】(1)将代入中，求出，用待定系数法设：，再将、两点代入即可求解；
(2)过作轴于点，令中，得到，进而求出，再由即可求解．
(1)
解：∵在：的图像上，
∴；
设一次函数图像相应的函数表达式为，
把点，代入得：，
解得，
∴的解析式为：；
(2)
解：过点作轴于点，如下图所示：

令中，得到，
∴
∴，，
∴．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积的求法，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解决本类题的关键．
20．(1)
(2)见解析
(3)或

【解析】（1）将C点和D点坐标代入直线l2：y＝kx+b，即可求出k，b，得到解析式；
（2）首先求出点E的坐标，利用两点之间的距离公式分别求出CD和CE，值相等，即可说明CD＝CE；
（3）当点P在B上方时，OP∥DE，得出直线OP的解析式，跟直线l1联立求解，求出交点P的坐标；当点P在B下方时，设点P关于y轴的对称点Q，链接OQ交直线l1为点P'，同理求出OQ的解析式，从而解决问题．
（1）将C（1，0）和D（0，2）代入直线l2：y＝kx+b得，，解得∴直线l2：y＝-2x+2；
（2）当-2x+2= x﹣4时，x=2∴E(2，-2)∴∴∴CD＝CE；
（3）∵∠POB=∠BDE，∴OP∥DE，∴点P在l1上有两个位置，①当点P在点B上方时，如图，∵OP∥DE，∴直线OP的函数解析式为y=-2x，∴-2x=x-4∴∴∴②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，∴∴直线OQ的解析式为：y=2x∴2x= x-4∴x=-4∴y=-8∴P'（-4，-8）综上所述：或（-4，-8）．
本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，两点之间的距离公式，一次函数中的几何问题．分类讨论思想和转化思想是本题的关键．